# একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ — কষে দেখি 1.3 সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Koshe Dekhi 1.3) - **Source**: Exam Uttoron.in (https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-1-koshe-dekhi-1-3-solutions) - **Category**: Subject Study Guides - **Author**: Editorial Team - **Published Date**: October 23, 2026 - **Format**: CHAPTER_SOLUTION ## Executive Summary / Quick Takeaways > পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ প্রথম অধ্যায় "একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ" এর কষে দেখি 1.3 (Koshe Dekhi 1.3) সমস্ত বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহজ ও 1-টু-1 ধাপে ধাপে সমাধান। ## Article Content পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের প্রথম অধ্যায় **"একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ" (Quadratic Equations with One Variable)** এর **কষে দেখি 1.3 (Koshe Dekhi 1.3)**-এর প্রতিটি বাস্তব সমস্যা ও গাণিতিক প্রশ্নের সম্পূর্ণ ও সহজ 1-টু-1 সমাধান নিচে দেওয়া হলো। ### 1. দুটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার অন্তর $3$ এবং তাদের বর্গের সমষ্টি $117$; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** ধরি, ছোট সংখ্যাটি $= x$ (যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক অখণ্ড, তাই $x > 0$) $\therefore$ অপর (বড়) সংখ্যাটি $= (x + 3)$ শর্তানুসারে, $x^2 + (x + 3)^2 = 117$ বা, $x^2 + x^2 + 6x + 9 = 117$ বা, $2x^2 + 6x + 9 - 117 = 0$ বা, $2x^2 + 6x - 108 = 0$ বা, $x^2 + 3x - 54 = 0$ [উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে] বা, $x^2 + 9x - 6x - 54 = 0$ বা, $x(x + 9) - 6(x + 9) = 0$ বা, $(x + 9)(x - 6) = 0$ হয়, $x + 9 = 0 \implies x = -9$ অথবা, $x - 6 = 0 \implies x = 6$ যেহেতু সংখ্যাটি একটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, তাই $x = -9$ গ্রহণযোগ্য নয়। $\therefore x = 6$ সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি $= 6$ এবং বড় সংখ্যাটি $= (6 + 3) = 9$। **উত্তর:** **নির্ণেয় সংখ্যা দুটি হলো $6$ এবং $9$।** ### 2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা $18$ মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $360$ বর্গমিটার হলে, তার উচ্চতা হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা $= x$ মিটার (যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, $x > 0$) $\therefore$ ত্রিভুজটির ভূমি $= (2x + 18)$ মিটার আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$ শর্তানুসারে, $\frac{1}{2} \times (2x + 18) \times x = 360$ বা, $\frac{1}{2} \times 2(x + 9) \times x = 360$ বা, $x(x + 9) = 360$ বা, $x^2 + 9x - 360 = 0$ বা, $x^2 + 24x - 15x - 360 = 0$ [$24 \times 15 = 360$ এবং $24 - 15 = 9$] বা, $x(x + 24) - 15(x + 24) = 0$ বা, $(x + 24)(x - 15) = 0$ হয়, $x + 24 = 0 \implies x = -24$ অথবা, $x - 15 = 0 \implies x = 15$ যেহেতু ত্রিভুজের উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -24$ $\therefore x = 15$ **উত্তর:** **ত্রিভুজটির উচ্চতা $15$ মিটার।** ### 3. যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা $3$ কম হয়, তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি। **সমাধান:** ধরি, অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি $= x$ (যেখানে $x > 0$) $\therefore$ সংখ্যাটির পাঁচগুণ $= 5x$ এবং সংখ্যাটির বর্গের দ্বিগুণ $= 2x^2$ শর্তানুসারে, $5x = 2x^2 - 3$ বা, $2x^2 - 5x - 3 = 0$ বা, $2x^2 - 6x + x - 3 = 0$ বা, $2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$ বা, $(x - 3)(2x + 1) = 0$ হয়, $x - 3 = 0 \implies x = 3$ অথবা, $2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$ যেহেতু সংখ্যাটি একটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, তাই ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ মান $x = -\frac{1}{2}$ অগ্রাহ্য হলো। $\therefore x = 3$ **উত্তর:** **নির্ণেয় ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাটি হলো $3$।** ### 4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব $200$ কিমি., এক স্থান থেকে অপর স্থানে মোটরগাড়িতে যেতে যে সময় লাগে, জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে $2$ ঘণ্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপগাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় $5$ কিমি. বেশি হলে, মোটরগাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** ধরি, মোটরগাড়ির গতিবেগ $= x$ কিমি./ঘণ্টা (যেখানে $x > 0$) $\therefore$ জিপগাড়ির গতিবেগ $= (x + 5)$ কিমি./ঘণ্টা মোটরগাড়িতে $200$ কিমি. যেতে সময় লাগে $= \frac{200}{x}$ ঘণ্টা এবং জিপগাড়িতে $200$ কিমি. যেতে সময় লাগে $= \frac{200}{x + 5}$ ঘণ্টা শর্তানুসারে, $\frac{200}{x} - \frac{200}{x + 5} = 2$ বা, $200 \left[ \frac{(x + 5) - x}{x(x + 5)} \right] = 2$ বা, $200 \times \frac{5}{x^2 + 5x} = 2$ বা, $\frac{1000}{x^2 + 5x} = 2$ বা, $2(x^2 + 5x) = 1000$ বা, $x^2 + 5x = 500$ বা, $x^2 + 5x - 500 = 0$ বা, $x^2 + 25x - 20x - 500 = 0$ [$25 \times 20 = 500$ এবং $25 - 20 = 5$] বা, $x(x + 25) - 20(x + 25) = 0$ বা, $(x + 25)(x - 20) = 0$ হয়, $x + 25 = 0 \implies x = -25$ অথবা, $x - 20 = 0 \implies x = 20$ যেহেতু গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -25$ $\therefore x = 20$ **উত্তর:** **মোটরগাড়ির গতিবেগ ছিল ঘণ্টায় $20$ কিমি.।** ### 5. অমিতাদের একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল $2000$ বর্গমিটার এবং তার পরিসীমা $180$ মিটার। অমিতাদের আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** আমরা জানি, আয়তাকার জমির অর্ধপরিসীমা $= \frac{\text{পরিসীমা}}{2} = \frac{180}{2} = 90$ মিটার। $\therefore \text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ} = 90$ মিটার। ধরি, জমির দৈর্ঘ্য $= x$ মিটার $\therefore$ জমির প্রস্থ $= (90 - x)$ মিটার জমির ক্ষেত্রফল $= x(90 - x)$ বর্গমিটার শর্তানুসারে, $x(90 - x) = 2000$ বা, $90x - x^2 = 2000$ বা, $x^2 - 90x + 2000 = 0$ বা, $x^2 - 50x - 40x + 2000 = 0$ [$-50 \times (-40) = 2000$ এবং $-50 - 40 = -90$] বা, $x(x - 50) - 40(x - 50) = 0$ বা, $(x - 50)(x - 40) = 0$ হয়, $x - 50 = 0 \implies x = 50$ অথবা, $x - 40 = 0 \implies x = 40$ যেহেতু আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য সাধারণত প্রস্থ অপেক্ষা বড় হয়: দৈর্ঘ্য $x = 50$ মিটার হলে, প্রস্থ $= (90 - 50) = 40$ মিটার। **উত্তর:** **অমিতাদের আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য $50$ মিটার এবং প্রস্থ $40$ মিটার।** ### 6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্কটি এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা $3$ কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল $15$ হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** ধরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক $= x$ (যেখানে $x$ একটি পূর্ণসংখ্যা, $3 \le x \le 9$) $\therefore$ দশকের ঘরের অঙ্কটি $= (x - 3)$ $\therefore$ সংখ্যাটি $= 10(x - 3) + x = 10x - 30 + x = 11x - 30$ এবং অঙ্ক দুটির গুণফল $= x(x - 3) = x^2 - 3x$ শর্তানুসারে, $(11x - 30) - (x^2 - 3x) = 15$ বা, $11x - 30 - x^2 + 3x = 15$ বা, $-x^2 + 14x - 30 - 15 = 0$ বা, $-x^2 + 14x - 45 = 0$ বা, $x^2 - 14x + 45 = 0$ বা, $x^2 - 9x - 5x + 45 = 0$ বা, $x(x - 9) - 5(x - 9) = 0$ বা, $(x - 9)(x - 5) = 0$ হয়, $x - 9 = 0 \implies x = 9$ অথবা, $x - 5 = 0 \implies x = 5$ (যাচাই: $x = 9$ হলে সংখ্যাটি $69$, গুণফল $54$, বিয়োগফল $69 - 54 = 15$; $x = 5$ হলে সংখ্যাটি $25$, গুণফল $10$, বিয়োগফল $25 - 10 = 15$। উভয় মানই সিদ্ধ করে।) **উত্তর:** **সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক $5$ অথবা $9$।** ### 7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি $11\frac{1}{9}$ মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নল দুটি আলাদাভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে একটি নল অপর নলটি অপেক্ষা $5$ মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রতিটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** ধরি, প্রথম নলটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগে $= x$ মিনিট (যেখানে $x > 0$) $\therefore$ দ্বিতীয় নলটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগে $= (x + 5)$ মিনিট প্রথম নলটি $1$ মিনিটে পূর্ণ করে চৌবাচ্চার $= \frac{1}{x}$ অংশ এবং দ্বিতীয় নলটি $1$ মিনিটে পূর্ণ করে চৌবাচ্চার $= \frac{1}{x + 5}$ অংশ $\therefore$ দুটি নল একসঙ্গে $1$ মিনিটে পূর্ণ করে $= \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}\right)$ অংশ দুটি নল একসঙ্গে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে $11\frac{1}{9} = \frac{100}{9}$ মিনিটে। $\therefore$ একসঙ্গে $1$ মিনিটে পূর্ণ করে $= 1 \div \frac{100}{9} = \frac{9}{100}$ অংশ শর্তানুসারে, $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{9}{100}$ বা, $\frac{(x + 5) + x}{x(x + 5)} = \frac{9}{100}$ বা, $\frac{2x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{9}{100}$ বা, $9(x^2 + 5x) = 100(2x + 5)$ বা, $9x^2 + 45x = 200x + 500$ বা, $9x^2 + 45x - 200x - 500 = 0$ বা, $9x^2 - 155x - 500 = 0$ বা, $9x^2 - 180x + 25x - 500 = 0$ [$-180 \times 25 = -4500$, $-180 + 25 = -155$] বা, $9x(x - 20) + 25(x - 20) = 0$ বা, $(x - 20)(9x + 25) = 0$ হয়, $x - 20 = 0 \implies x = 20$ অথবা, $9x + 25 = 0 \implies x = -\frac{25}{9}$ যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -\frac{25}{9}$ $\therefore x = 20$ প্রথম নলের সময় লাগে $= 20$ মিনিট এবং দ্বিতীয় নলের সময় লাগে $= 20 + 5 = 25$ মিনিট। **উত্তর:** **নল দুটি পৃথকভাবে যথাক্রমে $20$ মিনিট এবং $25$ মিনিটে চৌবাচ্চাটিকে পূর্ণ করবে।** ### 8. পর্ণা ও পীযূষ একসঙ্গে একটি কাজ $4$ দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজটি করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীযূষের তার চেয়ে $6$ দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কত দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** ধরি, পর্ণা একাকী কাজটি সম্পন্ন করতে সময় নেয় $= x$ দিন (যেখানে $x > 0$) $\therefore$ পীযূষ একাকী কাজটি সম্পন্ন করতে সময় নেয় $= (x + 6)$ দিন পর্ণা $1$ দিনে করে কাজটির $= \frac{1}{x}$ অংশ এবং পীযূষ $1$ দিনে করে কাজটির $= \frac{1}{x + 6}$ অংশ $\therefore$ দুজনে একত্রে $1$ দিনে করে $= \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6}\right)$ অংশ প্রশ্নে দেওয়া আছে, দুজনে একসঙ্গে কাজটি $4$ দিনে সম্পন্ন করে। $\therefore$ একত্রে $1$ দিনে করে $= \frac{1}{4}$ অংশ শর্তানুসারে, $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4}$ বা, $\frac{(x + 6) + x}{x(x + 6)} = \frac{1}{4}$ বা, $\frac{2x + 6}{x^2 + 6x} = \frac{1}{4}$ বা, $x^2 + 6x = 4(2x + 6)$ বা, $x^2 + 6x = 8x + 24$ বা, $x^2 - 2x - 24 = 0$ বা, $x^2 - 6x + 4x - 24 = 0$ বা, $x(x - 6) + 4(x - 6) = 0$ বা, $(x - 6)(x + 4) = 0$ হয়, $x - 6 = 0 \implies x = 6$ অথবা, $x + 4 = 0 \implies x = -4$ যেহেতু কাজের দিন সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -4$ $\therefore x = 6$ **উত্তর:** **পর্ণা একাকী $6$ দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে।** ### 9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে $6$ টাকা কমলে $30$ টাকায় আরও $3$টি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি। **সমাধান:** আমরা জানি, $1$ ডজন $= 12$ টি। ধরি, কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল $= x$ টাকা (যেখানে $x > 6$) $\therefore$ পূর্বে $1$টি কলমের মূল্য ছিল $= \frac{x}{12}$ টাকা। $\therefore$ পূর্বে $30$ টাকায় কলম পাওয়া যেত $= \frac{30}{\frac{x}{12}} = \frac{360}{x}$ টি। কলমের মূল্য ডজনে $6$ টাকা কমলে বর্তমান মূল্য হয় $= (x - 6)$ টাকা প্রতি ডজন। $\therefore$ বর্তমানে $1$টি কলমের মূল্য $= \frac{x - 6}{12}$ টাকা। $\therefore$ বর্তমানে $30$ টাকায় কলম পাওয়া যায় $= \frac{30}{\frac{x - 6}{12}} = \frac{360}{x - 6}$ টি। শর্তানুসারে, $\frac{360}{x - 6} - \frac{360}{x} = 3$ বা, $360 \left[ \frac{x - (x - 6)}{x(x - 6)} \right] = 3$ বা, $360 \times \frac{6}{x^2 - 6x} = 3$ বা, $\frac{2160}{x^2 - 6x} = 3$ বা, $3(x^2 - 6x) = 2160$ বা, $x^2 - 6x = 720$ বা, $x^2 - 6x - 720 = 0$ বা, $x^2 - 30x + 24x - 720 = 0$ [$-30 \times 24 = -720$ এবং $-30 + 24 = -6$] বা, $x(x - 30) + 24(x - 30) = 0$ বা, $(x - 30)(x + 24) = 0$ হয়, $x - 30 = 0 \implies x = 30$ অথবা, $x + 24 = 0 \implies x = -24$ যেহেতু দ্রব্যের মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -24$ $\therefore x = 30$ **উত্তর:** **কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল $30$ টাকা।** ### 10. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা — **(A)** $1$   **(B)** $2$   **(C)** $3$   **(D)** কোনোটিই নয় **সঠিক উত্তর:** (B) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** দ্বিঘাত সমীকরণের সংজ্ঞানুযায়ী, চলের সর্বোচ্চ ঘাত $2$ হওয়ায় যে-কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা সর্বদা $2$ টি। **সঠিক উত্তর:** **(b) $2$** ### 11. $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হলে — **(A)** $a \neq 0$   **(B)** $b \neq 0$   **(C)** $c \neq 0$   **(D)** কোনোটিই নয় **সঠিক উত্তর:** (A) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** যদি $a = 0$ হয়, তবে $ax^2$ পদটি থাকে না এবং সমীকরণটি একঘাত বা রৈখিক সমীকরণ হয়ে যায়। তাই দ্বিঘাত সমীকরণ হওয়ার প্রাথমিক ও আবশ্যক শর্ত হলো $a \neq 0$। **সঠিক উত্তর:** **(a) $a \neq 0$** ### 12. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত — **(A)** $1$   **(B)** $2$   **(C)** $3$   **(D)** কোনোটিই নয় **সঠিক উত্তর:** (B) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** দ্বিঘাত বহুপদী রাশিমালার সর্বোচ্চ ঘাত সর্বদা $2$। **সঠিক উত্তর:** **(b) $2$** ### 13. $4(5x^2 - 7x + 2) = 5(4x^2 - 6x + 3)$ সমীকরণটি হলো একটি — **(A)** রৈখিক সমীকরণ   **(B)** দ্বিঘাত সমীকরণ   **(C)** ত্রিঘাত সমীকরণ   **(D)** কোনোটিই নয় **সঠিক উত্তর:** (A) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** প্রদত্ত সমীকরণ: $4(5x^2 - 7x + 2) = 5(4x^2 - 6x + 3)$ বা, $20x^2 - 28x + 8 = 20x^2 - 30x + 15$ বা, $20x^2 - 20x^2 - 28x + 30x + 8 - 15 = 0$ বা, $2x - 7 = 0$ যেহেতু $x^2$ পদটি উভয় পক্ষ থেকে কেটে গিয়ে চলের সর্বোচ্চ ঘাত $1$ থাকে, তাই এটি একটি রৈখিক সমীকরণ। **সঠিক উত্তর:** **(a) রৈখিক সমীকরণ** ### 14. $\frac{x^2}{x} = 6$ সমীকরণটির বীজ/বীজদ্বয় হলো — **(A)** $0$   **(B)** $6$   **(C)** $-6$   **(D)** $0$ ও $6$ **সঠিক উত্তর:** (B) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** প্রদত্ত সমীকরণ: $\frac{x^2}{x} = 6$ যেহেতু হর-এ $x$ রয়েছে, তাই সংজ্ঞাত হওয়ার শর্ত হলো $x \neq 0$। লব ও হর থেকে $x$ ভাগ করে পাই: $x = 6$ (যেহেতু $x = 0$ গ্রহণযোগ্য নয়, তাই একমাত্র বীজ $6$)। **সঠিক উত্তর:** **(b) $6$** ### 15. $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ — সত্য না মিথ্যা? **সমাধান:** বামপক্ষ $= (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ ডানপক্ষ $= x^2 - 6x + 9$ যেহেতু বামপক্ষ ও ডানপক্ষ অভিন্ন এবং $x$-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্যই সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, তাই এটি একটি অভেদ (Identity), কোনো দ্বিঘাত সমীকরণ নয়। **উত্তর:** **বিবৃতিটি মিথ্যা।** ### 16. $x^2 = 25$ সমীকরণের একটিমাত্র বীজ $5$ — সত্য না মিথ্যা? **সমাধান:** $x^2 = 25 \implies x = \pm \sqrt{25} \implies x = \pm 5$ সমীকরণটির দুটি বীজ রয়েছে: $+5$ এবং $-5$। তাই একটিমাত্র বীজ $5$ বলা ভুল। **উত্তর:** **বিবৃতিটি মিথ্যা।** ### 17. যদি $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণটির $a = 0$ এবং $b \neq 0$ হয়, তবে সমীকরণটি একটি __________ সমীকরণ। **সমাধান:** $a = 0$ হলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $0 \cdot x^2 + bx + c = 0 \implies bx + c = 0$ যেহেতু এখানে চলের সর্বোচ্চ ঘাত $1$, তাই এটি একটি রৈখিক সমীকরণ। **উত্তর:** **রৈখিক (Linear)** ### 18. যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই $1$ হয়, তাহলে সমীকরণটি হয় __________। **সমাধান:** বীজদ্বয় $\alpha = 1$ এবং $\beta = 1$ হলে সমীকরণটি হবে: $(x - 1)(x - 1) = 0$ বা, $x^2 - 2x + 1 = 0$ **উত্তর:** **$x^2 - 2x + 1 = 0$** ### 19. $x^2 = 6x$ সমীকরণটির বীজদ্বয় হলো __________। **সমাধান:** $x^2 = 6x \implies x^2 - 6x = 0 \implies x(x - 6) = 0$ হয় $x = 0$ অথবা $x = 6$ **উত্তর:** **$0$ ও $6$** ### 20. $x^2 + ax + 3 = 0$ সমীকরণের একটি বীজ $1$ হলে, $a$-এর মান নির্ণয় করি। **সমাধান:** যেহেতু প্রদত্ত সমীকরণের একটি বীজ $1$, তাই $x = 1$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে। সমীকরণে $x = 1$ বসিয়ে পাই: $1^2 + a(1) + 3 = 0$ বা, $1 + a + 3 = 0$ বা, $a + 4 = 0$ বা, $a = -4$ **উত্তর:** **$a$-এর নির্ণেয় মান $-4$।** ### 21. $x^2 - (2 + b)x + 6 = 0$ সমীকরণের একটি বীজ $2$ হলে, অপর বীজটির মান লিখি। **সমাধান:** আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল $= \frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2\text{-এর সহগ}} = \frac{6}{1} = 6$ যেহেতু একটি বীজ $2$, ধরি অপর বীজটি $\beta$। $\therefore 2 \times \beta = 6 \implies \beta = \frac{6}{2} = 3$ (বিকল্প পদ্ধতি: সমীকরণে $x = 2$ বসালে পাই $4 - 2(2+b) + 6 = 0 \implies 10 - 4 - 2b = 0 \implies 2b = 6 \implies b = 3$। তখন সমীকরণটি হয় $x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0$। সুতরাং অপর বীজ $3$।) **উত্তর:** **অপর বীজটির মান $3$।** --- Published by Exam Uttoron (https://examuttoron.com). For educational use and AI citations.