# একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ — কষে দেখি 1.4 সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Koshe Dekhi 1.4) - **Source**: Exam Uttoron.in (https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-1-koshe-dekhi-1-4-solutions) - **Category**: Subject Study Guides - **Author**: Editorial Team - **Published Date**: October 23, 2026 - **Format**: CHAPTER_SOLUTION ## Executive Summary / Quick Takeaways > পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ প্রথম অধ্যায় "একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ" এর কষে দেখি 1.4 (Koshe Dekhi 1.4) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সহজ ও 1-টু-1 ধাপে ধাপে সমাধান। ## Article Content পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের প্রথম অধ্যায় **"একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ" (Quadratic Equations with One Variable)** এর **কষে দেখি 1.4 (Koshe Dekhi 1.4)**-এর শ্রীধর আচার্যের সূত্র ও সমীকরণ সমাধানের প্রতিটি গাণিতিক সমস্যার সম্পূর্ণ ও সহজ 1-টু-1 সমাধান নিচে দেওয়া হলো। ### 1. $4x^2 + (2x - 1)(2x + 1) = 4x(2x - 1)$ এই সমীকরণটির সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব কিনা বুঝে লিখি। **সমাধান:** প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: $4x^2 + (2x - 1)(2x + 1) = 4x(2x - 1)$ বা, $4x^2 + \{(2x)^2 - 1^2\} = 8x^2 - 4x$ বা, $4x^2 + 4x^2 - 1 = 8x^2 - 4x$ বা, $8x^2 - 1 = 8x^2 - 4x$ বা, $8x^2 - 8x^2 + 4x - 1 = 0$ বা, $4x - 1 = 0$ সমীকরণটিতে চলের সর্বোচ্চ ঘাত $1$, অর্থাৎ এটি কোনো দ্বিঘাত সমীকরণ নয়; এটি একটি রৈখিক (একঘাত) সমীকরণ। যেহেতু শ্রীধর আচার্যের সূত্র কেবল একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য, তাই এই সমীকরণটিতে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব নয়। **উত্তর:** **এই সমীকরণটিতে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব নয়।** ### 2. শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি বুঝে লিখি। **সমাধান:** শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কেবল **একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ** যার আদর্শ রূপ $ax^2 + bx + c = 0$ (যেখানে $a, b, c$ বাস্তব সংখ্যা এবং $a \neq 0$)—এর সমাধান করতে পারি। **উত্তর:** **একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের ($ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0$) সমাধান করতে পারি।** ### 3. $5x^2 + 2x - 7 = 0$ এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে $x = \frac{k \pm 12}{10}$ পাওয়া গেলে $k$-এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** প্রদত্ত সমীকরণ: $5x^2 + 2x - 7 = 0$ সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই: $a = 5$, $b = 2$, এবং $c = -7$ শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী, $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \times 5 \times (-7)}}{2 \times 5}$ $= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 140}}{10}$ $= \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{10}$ $= \frac{-2 \pm 12}{10}$ প্রশ্নানুসারে, সমাধানটি $x = \frac{k \pm 12}{10}$ আকারের হলে, তুলনা করে পাই: $k = -2$ **উত্তর:** **$k$-এর মান হবে $-2$।** ### 4. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি: $3x^2 + 11x - 4 = 0$ **সমাধান:** প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই: $a = 3$, $b = 11$, এবং $c = -4$ নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$ $= (11)^2 - 4 \times 3 \times (-4)$ $= 121 + 48 = 169 > 0$ যেহেতু নিরূপক $D > 0$, তাই সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে। শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $= \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{2 \times 3}$ $= \frac{-11 \pm 13}{6}$ হয়, $x = \frac{-11 + 13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ অথবা, $x = \frac{-11 - 13}{6} = \frac{-24}{6} = -4$ **উত্তর:** **নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{1}{3}$ এবং $x = -4$।** ### 5. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি: $(x - 2)(x + 4) + 9 = 0$ **সমাধান:** প্রদত্ত সমীকরণ: $(x - 2)(x + 4) + 9 = 0$ বা, $x(x + 4) - 2(x + 4) + 9 = 0$ বা, $x^2 + 4x - 2x - 8 + 9 = 0$ বা, $x^2 + 2x + 1 = 0$ সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই: $a = 1$, $b = 2$, এবং $c = 1$ নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$ যেহেতু নিরূপক $D = 0$, তাই সমীকরণটির বাস্তব ও সমান বীজ আছে। শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $= \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2 \times 1} = \frac{-2}{2} = -1$ **উত্তর:** **নির্ণেয় সমাধান $x = -1$ এবং $x = -1$।** ### 6. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি: $(4x - 3)^2 - 2(x + 3) = 0$ **সমাধান:** প্রদত্ত সমীকরণ: $(4x - 3)^2 - 2(x + 3) = 0$ বা, $16x^2 - 24x + 9 - 2x - 6 = 0$ বা, $16x^2 - 26x + 3 = 0$ সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই: $a = 16$, $b = -26$, এবং $c = 3$ নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$ $= (-26)^2 - 4(16)(3) = 676 - 192 = 484 > 0$ যেহেতু $D > 0$, তাই সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে। ($\sqrt{484} = 22$) শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $= \frac{-(-26) \pm \sqrt{484}}{2 \times 16}$ $= \frac{26 \pm 22}{32}$ হয়, $x = \frac{26 + 22}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2}$ অথবা, $x = \frac{26 - 22}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ **উত্তর:** **নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{3}{2}$ (বা $1\frac{1}{2}$) এবং $x = \frac{1}{8}$।** ### 7. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি: $3x^2 + 2x - 1 = 0$ **সমাধান:** প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই: $a = 3$, $b = 2$, এবং $c = -1$ নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16 > 0$ যেহেতু $D > 0$, তাই সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে। শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $= \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \times 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$ হয়, $x = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ অথবা, $x = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$ **উত্তর:** **নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{1}{3}$ এবং $x = -1$।** ### 8. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি: $3x^2 + 2x + 1 = 0$ **সমাধান:** প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই: $a = 3$, $b = 2$, এবং $c = 1$ নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$ $= (2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8 < 0$ যেহেতু নিরূপকের মান ঋণাত্মক ($D < 0$), তাই এই দ্বিঘাত সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ নেই। **উত্তর:** **প্রদত্ত সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ নেই।** ### 9. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি: $10x^2 - x - 3 = 0$ **সমাধান:** প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই: $a = 10$, $b = -1$, এবং $c = -3$ নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$ $= (-1)^2 - 4(10)(-3) = 1 + 120 = 121 > 0$ যেহেতু $D > 0$, তাই বাস্তব বীজ আছে। ($\sqrt{121} = 11$) শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $= \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2 \times 10} = \frac{1 \pm 11}{20}$ হয়, $x = \frac{1 + 11}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ অথবা, $x = \frac{1 - 11}{20} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}$ **উত্তর:** **নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{3}{5}$ এবং $x = -\frac{1}{2}$।** ### 10. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি: $10x^2 - x + 3 = 0$ **সমাধান:** প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই: $a = 10$, $b = -1$, এবং $c = 3$ নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$ $= (-1)^2 - 4(10)(3) = 1 - 120 = -119 < 0$ যেহেতু নিরূপকের মান ঋণাত্মক ($D < 0$), তাই সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ নেই। **উত্তর:** **প্রদত্ত সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ নেই।** ### 11. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি: $25x^2 - 30x + 7 = 0$ **সমাধান:** প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই: $a = 25$, $b = -30$, এবং $c = 7$ নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$ $= (-30)^2 - 4(25)(7) = 900 - 700 = 200 > 0$ যেহেতু $D > 0$, তাই সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে। লক্ষ্য করি: $\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}$ শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $= \frac{-(-30) \pm \sqrt{200}}{2 \times 25}$ $= \frac{30 \pm 10\sqrt{2}}{50}$ $= \frac{10(3 \pm \sqrt{2})}{50} = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{5}$ **উত্তর:** **নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{3 + \sqrt{2}}{5}$ এবং $x = \frac{3 - \sqrt{2}}{5}$।** ### 12. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি: $(4x - 2)^2 + 6x = 25$ **সমাধান:** প্রদত্ত সমীকরণ: $(4x - 2)^2 + 6x = 25$ বা, $16x^2 - 16x + 4 + 6x - 25 = 0$ বা, $16x^2 - 10x - 21 = 0$ সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই: $a = 16$, $b = -10$, এবং $c = -21$ নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$ $= (-10)^2 - 4(16)(-21) = 100 + 1344 = 1444 > 0$ যেহেতু $D > 0$, তাই বাস্তব বীজ আছে। ($\sqrt{1444} = 38$) শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী: $x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{1444}}{2 \times 16} = \frac{10 \pm 38}{32}$ হয়, $x = \frac{10 + 38}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2}$ অথবা, $x = \frac{10 - 38}{32} = \frac{-28}{32} = -\frac{7}{8}$ **উত্তর:** **নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{3}{2}$ (বা $1\frac{1}{2}$) এবং $x = -\frac{7}{8}$।** ### 13. সাথি একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুণ অপেক্ষা $6$ সেমি. বেশি। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্যের থেকে $2$ সেমি. কম হয়, তবে সাথির আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** ধরি, সমকোণী ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য $= x$ সেমি. (যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, $x > 0$) $\therefore$ অতিভুজের দৈর্ঘ্য $= (2x + 6)$ সেমি. এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য $= (2x + 6 - 2) = (2x + 4)$ সেমি. পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: $(\text{লম্ব})^2 + (\text{ভূমি})^2 = (\text{অতিভুজ})^2$ বা, $x^2 + (2x + 4)^2 = (2x + 6)^2$ বা, $x^2 + 4x^2 + 16x + 16 = 4x^2 + 24x + 36$ বা, $x^2 + 16x + 16 - 24x - 36 = 0$ বা, $x^2 - 8x - 20 = 0$ সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই: $a = 1, b = -8, c = -20$ শ্রীধর আচার্যের সূত্রে: $x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(-20)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2}$ যেহেতু বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক মান নিয়ে পাই: $x = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$ অতএব বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য: ক্ষুদ্রতম বাহু $= 10$ সেমি. তৃতীয় বাহু $= 2(10) + 4 = 24$ সেমি. অতিভুজ $= 2(10) + 6 = 26$ সেমি. **উত্তর:** **সাথির আঁকা ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $10$ সেমি., $24$ সেমি. এবং $26$ সেমি.।** ### 14. যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল $189$ হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি। **সমাধান:** ধরি, এককের ঘরের অঙ্কটি $= x$ (যেখানে $x$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা) $\therefore$ দশকের ঘরের অঙ্কটি $= 2x$ $\therefore$ সংখ্যাটি $= 10(2x) + x = 20x + x = 21x$ শর্তানুসারে, সংখ্যাটিকে তার এককের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল $189$ হয়: $21x \cdot x = 189$ বা, $21x^2 = 189$ বা, $x^2 = \frac{189}{21} = 9$ বা, $x = \pm 3$ যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক, তাই এককের অঙ্ক ঋণাত্মক হতে পারে না। $\therefore x = 3$ **উত্তর:** **এককের ঘরের অঙ্কটি হলো $3$।** ### 15. সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে $1$ মিটার/সেকেন্ড বেশি। $180$ মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অনিকের থেকে $2$ সেকেন্ড আগে পৌঁছায়। অনিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** ধরি, অনিকের গতিবেগ $= x$ মিটার/সেকেন্ড (যেখানে $x > 0$) $\therefore$ সালমার গতিবেগ $= (x + 1)$ মিটার/সেকেন্ড $180$ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে অনিকের সময় লাগে $= \frac{180}{x}$ সেকেন্ড এবং সালমার সময় লাগে $= \frac{180}{x + 1}$ সেকেন্ড শর্তানুসারে, $\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 1} = 2$ বা, $180 \left[ \frac{(x + 1) - x}{x(x + 1)} \right] = 2$ বা, $\frac{180}{x^2 + x} = 2$ বা, $2(x^2 + x) = 180$ বা, $x^2 + x = 90$ বা, $x^2 + x - 90 = 0$ শ্রীধর আচার্যের সূত্রে: $a = 1, b = 1, c = -90$ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-90)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{-1 \pm 19}{2}$ গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক মান নিয়ে পাই: $x = \frac{-1 + 19}{2} = \frac{18}{2} = 9$ **উত্তর:** **অনিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে $9$ মিটার।** ### 16. আমাদের পাড়ায় একটি বর্গক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে $5$ মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে $3$ মিটার কম প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ঐ বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা $78$ বর্গমিটার কম হলে, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** ধরি, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $= x$ মিটার (যেখানে $x > 3$) $\therefore$ বর্গক্ষেত্রাকার পার্কটির ক্ষেত্রফল $= x^2$ বর্গমিটার আয়তক্ষেত্রাকার পার্কটির দৈর্ঘ্য $= (x + 5)$ মিটার এবং প্রস্থ $= (x - 3)$ মিটার $\therefore$ আয়তক্ষেত্রাকার পার্কটির ক্ষেত্রফল $= (x + 5)(x - 3)$ বর্গমিটার শর্তানুসারে, $(x + 5)(x - 3) = 2x^2 - 78$ বা, $x^2 + 2x - 15 = 2x^2 - 78$ বা, $2x^2 - x^2 - 2x - 78 + 15 = 0$ বা, $x^2 - 2x - 63 = 0$ শ্রীধর আচার্যের সূত্রে: $a = 1, b = -2, c = -63$ $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-63)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{2 \pm 16}{2}$ দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক মান নিয়ে পাই: $x = \frac{2 + 16}{2} = \frac{18}{2} = 9$ **উত্তর:** **বর্গক্ষেত্রাকার পার্কটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $9$ মিটার।** ### 17. আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তাঁর আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট $350$টি লঙ্কার চারা কিনলেন। সারি ধরে চারা গাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে প্রতি সারিতে সারির সংখ্যার থেকে $24$টি করে বেশি গাছ লাগালে আরও $10$টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** ধরি, জমিতে সারির সংখ্যা $= x$ টি (যেখানে $x > 0$) $\therefore$ প্রতি সারিতে গাছের সংখ্যা $= (x + 24)$ টি $\therefore x$ টি সারিতে মোট রোপণ করা গাছের সংখ্যা $= x(x + 24)$ টি যেহেতু মোট $350$টি চারাগাছের মধ্যে $10$টি অতিরিক্ত থেকে যায়, তাই রোপণ করা মোট গাছের সংখ্যা $= 350 - 10 = 340$ টি। শর্তানুসারে, $x(x + 24) = 340$ বা, $x^2 + 24x - 340 = 0$ শ্রীধর আচার্যের সূত্রে: $a = 1, b = 24, c = -340$ $x = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4(1)(-340)}}{2(1)} = \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 1360}}{2} = \frac{-24 \pm \sqrt{1936}}{2} = \frac{-24 \pm 44}{2}$ সারির সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক মান নিয়ে পাই: $x = \frac{-24 + 44}{2} = \frac{20}{2} = 10$ **উত্তর:** **জমিতে সারির সংখ্যা ছিল $10$ টি।** ### 18. জোসেফ ও কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের চেয়ে $5$ মিনিট সময় কম নেয়। $6$ ঘণ্টা কাজ করে জোসেফ কুন্তলের চেয়ে $6$টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই সময়ে কয়টি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** আমরা জানি, $6$ ঘণ্টা $= 6 \times 60 = 360$ মিনিট। ধরি, একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের সময় লাগে $= x$ মিনিট (যেখানে $x > 5$) $\therefore$ জোসেফের সময় লাগে $= (x - 5)$ মিনিট কুন্তল $360$ মিনিটে জিনিস তৈরি করে $= \frac{360}{x}$ টি এবং জোসেফ $360$ মিনিটে জিনিস তৈরি করে $= \frac{360}{x - 5}$ টি শর্তানুসারে, $\frac{360}{x - 5} - \frac{360}{x} = 6$ বা, $360 \left[ \frac{x - (x - 5)}{x(x - 5)} \right] = 6$ বা, $\frac{360 \times 5}{x^2 - 5x} = 6$ বা, $\frac{1800}{x^2 - 5x} = 6$ বা, $6(x^2 - 5x) = 1800$ বা, $x^2 - 5x = 300$ বা, $x^2 - 5x - 300 = 0$ শ্রীধর আচার্যের সূত্রে: $a = 1, b = -5, c = -300$ $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-300)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 1200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1225}}{2} = \frac{5 \pm 35}{2}$ সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = \frac{5 + 35}{2} = \frac{40}{2} = 20$ মিনিট। অতএব কুন্তলের 1টি জিনিস তৈরিতে সময় লাগে $20$ মিনিট। $\therefore$ কুন্তল $6$ ঘণ্টায় (বা $360$ মিনিটে) জিনিস তৈরি করবে $= \frac{360}{20} = 18$ টি। **উত্তর:** **কুন্তল ওই সময়ে মোট $18$টি জিনিস তৈরি করে।** ### 19. স্থির জলে একটি নৌকার গতিবেগ $8$ কিমি. প্রতি ঘণ্টা। নৌকাটি $5$ ঘণ্টায় স্রোতের অনুকূলে $15$ কিমি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে $22$ কিমি. গেলে স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি। **সমাধান:** ধরি, স্রোতের বেগ $= x$ কিমি./ঘণ্টা (যেখানে $0 < x < 8$) স্থির জলে নৌকার বেগ $= 8$ কিমি./ঘণ্টা $\therefore$ স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকর বেগ $= (8 + x)$ কিমি./ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার কার্যকর বেগ $= (8 - x)$ কিমি./ঘণ্টা অনুকূলে $15$ কিমি. যেতে সময় লাগে $= \frac{15}{8 + x}$ ঘণ্টা এবং প্রতিকূলে $22$ কিমি. যেতে সময় লাগে $= \frac{22}{8 - x}$ ঘণ্টা শর্তানুসারে, $\frac{15}{8 + x} + \frac{22}{8 - x} = 5$ বা, $\frac{15(8 - x) + 22(8 + x)}{(8 + x)(8 - x)} = 5$ বা, $\frac{120 - 15x + 176 + 22x}{64 - x^2} = 5$ বা, $\frac{296 + 7x}{64 - x^2} = 5$ বা, $5(64 - x^2) = 296 + 7x$ বা, $320 - 5x^2 = 296 + 7x$ বা, $5x^2 + 7x + 296 - 320 = 0$ বা, $5x^2 + 7x - 24 = 0$ শ্রীধর আচার্যের সূত্রে: $a = 5, b = 7, c = -24$ $x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(5)(-24)}}{2 \times 5} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 480}}{10} = \frac{-7 \pm \sqrt{529}}{10} = \frac{-7 \pm 23}{10}$ যেহেতু গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক মান নিয়ে পাই: $x = \frac{-7 + 23}{10} = \frac{16}{10} = 1.6$ **উত্তর:** **স্রোতের গতিবেগ ছিল ঘণ্টায় $1.6$ কিমি. (বা $1\frac{3}{5}$ কিমি.)।** --- Published by Exam Uttoron (https://examuttoron.com). For educational use and AI citations.