# ভেদ — নিজে করি ও প্রয়োগ সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Chapter 13 Nije Kori & Proyog) - **Source**: Exam Uttoron.in (https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-13-variation-nije-kori-and-proyog-solutions) - **Category**: Subject Study Guides - **Author**: Admin - **Published Date**: October 24, 2026 - **Format**: CHAPTER_SOLUTION ## Executive Summary / Quick Takeaways > পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের ত্রয়োদশ অধ্যায় ভেদ (Variation)-এর যৌগিক ভেদের উপপাদ্য, নিজে করি (13.1, 13.2) এবং মাধ্যমিক পরীক্ষায় সর্বাধিক আসা গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগের (প্রয়োগ 12, 15, 19, 22, 24) পুঙ্খানুপুঙ্খ ধাপে ধাপে সমাধান। ## Article Content পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির **গণিত প্রকাশ** পাঠ্যবইয়ের ত্রয়োদশ অধ্যায় **ভেদ (Variation)** মাধ্যমিক গণিত পরীক্ষার বীজগণিত বিভাগের এক অবিচ্ছেদ্য স্তম্ভ। মাধ্যমিকে 3 নম্বরের প্রশ্ন এবং 2 নম্বরের সংক্ষিপ্ত প্রশ্নে ভেদের উপপাদ্য ভিত্তিক সমস্যা বা প্রয়োগমূলক বাস্তব সমস্যা প্রায় প্রতি বছরই এসে থাকে। এই আর্টিকেলে **যৌগিক ভেদের উপপাদ্যের প্রমাণ**, পাঠ্যবইয়ের সমস্ত **নিজে করি (13.1 ও 13.2)** এবং মাধ্যমিকের সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ **প্রয়োগসমূহ (Starred Applications)** নিখুঁত ধাপে ধাপে উপস্থাপন করা হলো। ## যৌগিক ভেদের উপপাদ্য (Theorem on Joint Variation — পৃষ্ঠা 192) উপপাদ্য: তিনটি চল $x, y, z$ এমন যে $x \propto y$ (যখন $z$ ধ্রুবক) এবং $x \propto z$ (যখন $y$ ধ্রুবক)। তবে প্রমাণ করি যে, $x \propto yz$ হবে যখন $y$ এবং $z$ উভয়ই পরিবর্তনশীল। প্রমাণ (Proof): যেহেতু $x$ এর পরিবর্তন $y$ ও $z$ উভয়ের পরিবর্তনের ওপর নির্ভরশীল, তাই ধরি $y$ এবং $z$ পরিবর্তিত হয়ে যথাক্রমে $y_1$ ও $z_1$ হলো এবং এর ফলে $x$ পরিবর্তিত হয়ে $x_1$ হলো। আমরা এই পরিবর্তনটিকে দুটি ধাপে বিবেচনা করি: **ধাপ 1:** $z$ অপরিবর্তিত বা ধ্রুবক রেখে $y$ পরিবর্তিত হয়ে $y_1$ হলো এবং এর ফলে $x$ পরিবর্তিত হয়ে $x'$ হলো। যেহেতু $x \propto y$ (যখন $z$ ধ্রুবক), সুতরাং: $$\frac{x}{x'} = \frac{y}{y_1} \quad \text{............... (1)}$$ **ধাপ 2:** এখন $y_1$ স্থির রেখে $z$ পরিবর্তিত হয়ে $z_1$ হলো এবং এর ফলে $x'$ পরিবর্তিত হয়ে $x_1$ হলো। যেহেতু $x \propto z$ (যখন $y$ ধ্রুবক), সুতরাং: $$\frac{x'}{x_1} = \frac{z}{z_1} \quad \text{............... (2)}$$ (1) ও (2) নং সমীকরণ গুণ করে পাই: $$\frac{x}{x'} \times \frac{x'}{x_1} = \frac{y}{y_1} \times \frac{z}{z_1}$$ $$\implies \frac{x}{x_1} = \frac{yz}{y_1z_1} \implies \frac{x}{yz} = \frac{x_1}{y_1z_1} = k \quad (\text{অশূন্য ধ্রুবক})$$ $$\therefore x = k \cdot yz \implies x \propto yz$$ $\therefore$ প্রমাণিত হলো যে $x \propto yz$ (যখন $y$ ও $z$ উভয়ই পরিবর্তনশীল)। ## নিজে করি 13.1 (Nije Kori 13.1) — পৃষ্ঠা 189 প্রশ্ন 1: দুটি চল $A$ ও $B$-এর মান দেওয়া আছে: $A = 24, B = 8$ এবং $A = 36, B = 12$। চল দুটির মধ্যে কোন প্রকার ভেদ সম্পর্ক আছে নির্ণয় করি এবং ভেদধ্রুবকের মান লিখি। সমাধান: প্রথম ক্ষেত্রে: $\frac{A}{B} = \frac{24}{8} = 3$ দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: $\frac{A}{B} = \frac{36}{12} = 3$ যেহেতু চল দুটির অনুপাত $\frac{A}{B}$ সর্বদা ধ্রুবক ($= 3$), তাই $A$ ও $B$ **সরলভেদে** রয়েছে। $$\therefore A \propto B \implies A = kB$$ এখানে অশূন্য ভেদধ্রুবক $k = 3$। উত্তর: চল দুটির মধ্যে সরল ভেদ সম্পর্ক রয়েছে এবং ভেদধ্রুবকের মান 3। ## নিজে করি 13.2 (Nije Kori 13.2) — পৃষ্ঠা 192 প্রশ্ন 1: যদি $x \propto \frac{y}{z}$ এবং $y \propto \frac{z}{x}$ হয়, তবে $z$-এর সাথে $x$ ও $y$-এর ভেদ সম্পর্ক কী হবে লিখি। সমাধান: প্রদত্ত $x \propto \frac{y}{z} \implies x = k_1 \cdot \frac{y}{z} \implies xz = k_1 y \quad \text{............... (1)}$ এবং $y \propto \frac{z}{x} \implies y = k_2 \cdot \frac{z}{x} \implies xy = k_2 z \quad \text{............... (2)}$ (1) নং থেকে $y$-এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই: $$xy = k_2 z \implies x \left(\frac{xz}{k_1}\right) = k_2 z$$ উভয়পক্ষকে $z$ ($z \neq 0$) দ্বারা ভাগ করে পাই: $$\frac{x^2}{k_1} = k_2 \implies x^2 = k_1 k_2 \implies x = \sqrt{k_1 k_2} = \text{ধ্রুবক}$$ সুতরাং $x$ একটি ধ্রুবক। (1) হতে: $z \propto y$ (যেহেতু $x$ ধ্রুবক)। উত্তর: $x$ একটি অশূন্য ধ্রুবক এবং $z \propto y$ (সরল ভেদ)। ## মাধ্যমিকের অতি-গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগসমূহ (Starred Board Exam Applications) প্রয়োগ 12 (পৃষ্ঠা 191): যদি $x \propto y$ হয়, তবে প্রমাণ করি যে $x^2 + y^2 \propto x^2 - y^2$। প্রমাণ: প্রদত্ত $x \propto y \implies x = ky$ ($k$ একটি অশূন্য ভেদধ্রুবক, $k \neq \pm 1$)। এখন: $$\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \frac{(ky)^2 + y^2}{(ky)^2 - y^2} = \frac{k^2y^2 + y^2}{k^2y^2 - y^2} = \frac{y^2(k^2 + 1)}{y^2(k^2 - 1)} = \frac{k^2 + 1}{k^2 - 1} = m \quad (\text{ধ্রুবক})$$ $$\implies x^2 + y^2 = m(x^2 - y^2)$$ $\therefore x^2 + y^2 \propto x^2 - y^2$ (প্রমাণিত)। উত্তর: প্রমাণিত হলো যে $x^2 + y^2 \propto x^2 - y^2$। প্রয়োগ 19 (পৃষ্ঠা 193 - মাধ্যমিকে বারবার আসা 3 নম্বরের প্রশ্ন): গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি বড় নিরেট গোলক তৈরি করা হলো। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নতুন গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। সমাধান: ধরি, গোলকের আয়তন = $V$ এবং ব্যাসার্ধ = $r$। শর্তানুসারে: $V \propto r^3 \implies V = k \cdot r^3$ ($k$ একটি অশূন্য ভেদধ্রুবক)। তিনটি ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_1 = 3\text{ cm}$, $r_2 = 4\text{ cm}$, $r_3 = 5\text{ cm}$। $\therefore$ ছোট গোলক তিনটির আয়তন: $$V_1 = k(3^3) = 27k, \quad V_2 = k(4^3) = 64k, \quad V_3 = k(5^3) = 125k$$ $\therefore$ তিনটি গোলকের মোট আয়তন = $V_1 + V_2 + V_3 = 27k + 64k + 125k = 216k$। ধরি, নতুন বড় গোলকটির ব্যাসার্ধ = $R$ সেমি। $\therefore$ নতুন গোলকের আয়তন = $k \cdot R^3$। শর্তানুসারে: $$k \cdot R^3 = 216k$$ উভয়পক্ষ থেকে $k$ ($k \neq 0$) বর্জন করে পাই: $$R^3 = 216 \implies R = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ সেমি}$$ উত্তর: নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি। প্রয়োগ 22 (পৃষ্ঠা 194 - মাধ্যমিকে প্রায়শই আসা 3 নম্বরের প্রশ্ন): একটি চলরাশি $y$ দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি $x$-এর সাথে সরলভেদে এবং অপরটি $x$-এর সাথে ব্যস্তভেদে পরিবর্তিত হয়। $x = 1$ হলে $y = 1$ এবং $x = 2$ হলে $y = 5$ হয়। $x$ ও $y$-এর মধ্যকার সম্পর্ক নির্ণয় করি। সমাধান: ধরি $y = u + v$, যেখানে $u \propto x$ এবং $v \propto \frac{1}{x}$। $\therefore u = k_1 x$ এবং $v = \frac{k_2}{x}$ (যেখানে $k_1, k_2$ অশূন্য ভেদধ্রুবক)। $$\therefore y = k_1 x + \frac{k_2}{x} \quad \text{............... (1)}$$ **শর্ত 1:** $x = 1$ হলে $y = 1$: $$1 = k_1(1) + \frac{k_2}{1} \implies k_1 + k_2 = 1 \quad \text{............... (2)}$$ **শর্ত 2:** $x = 2$ হলে $y = 5$: $$5 = k_1(2) + \frac{k_2}{2} \implies 2k_1 + \frac{k_2}{2} = 5 \implies 4k_1 + k_2 = 10 \quad \text{............... (3)}$$ (3) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই: $$(4k_1 + k_2) - (k_1 + k_2) = 10 - 1$$ $$3k_1 = 9 \implies k_1 = 3$$ (2) নং সমীকরণে $k_1 = 3$ বসালে পাই: $$3 + k_2 = 1 \implies k_2 = 1 - 3 = -2$$ $\therefore$ সমীকরণ (1)-এ $k_1 = 3$ এবং $k_2 = -2$ বসিয়ে পাই: $$y = 3x - \frac{2}{x}$$ উত্তর: $x$ ও $y$-এর মধ্যকার নির্ণেয় সম্পর্ক $y = 3x - \frac{2}{x}$। **ভেদের অঙ্কে সতর্কবার্তা:** ভেদ চিহ্ন ($\propto$) তুলে সমান চিহ্ন ($=$) আনার সময় সর্বদা ডানপাশে *"যেখানে $k$ একটি অশূন্য ভেদধ্রুবক"* বাক্যটি স্পষ্টভাবে লিখতে হবে। এটি না লিখলে মাধ্যমিকে 1 নম্বর কেটে নেওয়া হয়। --- Published by Exam Uttoron (https://examuttoron.com). For educational use and AI citations.