# সম্পাদ্য: বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন — 50টি সেরা MCQ ও উত্তর সমাধান (Class 10 Math Chapter 17 MCQ) - **Source**: Exam Uttoron.in (https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-17-construction-tangent-to-a-circle-50-mcq-solutions) - **Category**: Subject Study Guides - **Author**: Editorial Team - **Published Date**: October 24, 2026 - **Format**: MCQ ## Article Content পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের **অধ্যায় 17: সম্পাদ্য: বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Tangent to a Circle)** থেকে মাধ্যমিক ও স্কুল পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ **50টি সেরা বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ)** নিচে দেওয়া হলো। প্রতিটি প্রশ্নের সাথে সঠিক উত্তর এবং বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন পদ্ধতি, অর্ধবৃত্তস্থ কোণের ধর্ম ও স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের ধাপে ধাপে গাণিতিক ও জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া হয়েছে। ### 1. একটি বৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়? **(A)** 1টি    **(B)** 2টি    **(C)** 3টি    **(D)** অসংখ্য **সঠিক উত্তর:** (A) 1টি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি এবং কেবল একটিই স্পর্শক অঙ্কন করা সম্ভব। ### 2. বৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কন করতে হলে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর কত ডিগ্রি কোণ অঙ্কন করতে হয়? **(A)** $45^\circ$    **(B)** $60^\circ$    **(C)** $90^\circ$ (লম্ব)    **(D)** $120^\circ$ **সঠিক উত্তর:** (C) $90^\circ$ (লম্ব) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** স্পর্শক এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্ব হওয়ায় স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধের উপর $90^\circ$ কোণ অঙ্কন করতে হয়। ### 3. বৃত্তের কেন্দ্র না জেনে কেবল বৃত্তচাপ বা বৃত্ত দেওয়া থাকলে স্পর্শক অঙ্কন করতে কোন জ্যামিতিক উপপাদ্য প্রয়োগ করা হয়? **(A)** পিথাগোরাসের উপপাদ্য    **(B)** একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণের উপপাদ্য    **(C)** থেলেসের উপপাদ্য    **(D)** অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য **সঠিক উত্তর:** (B) একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণের উপপাদ্য **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কেন্দ্র ব্যতিরেকে স্পর্শবিন্দুতে যেকোনো জ্যা অঙ্কন করে একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণের সমান কোণ স্পর্শবিন্দুতে বিপরীত পাশে অঙ্কন করে স্পর্শক টানা যায়। ### 4. বৃত্তের ব্যাসের উভয় প্রান্তে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক পরস্পর কেমন হয়? **(A)** পরস্পর লম্ব    **(B)** পরস্পর সমান্তরাল    **(C)** পরস্পরছেদী    **(D)** সমান দৈর্ঘ্যের নয় **সঠিক উত্তর:** (B) পরস্পর সমান্তরাল **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ব্যাসের উভয় প্রান্তে ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল ($90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, অন্তঃস্থ কোণ সম্পূরক)। ### 5. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সেমি। বৃত্তের উপর একটি বিন্দু $A$-তে স্পর্শক অঙ্কন করলে কেন্দ্র $O$ থেকে স্পর্শকের দূরত্ব কত? **(A)** 0 সেমি    **(B)** 4 সেমি    **(C)** 8 সেমি    **(D)** 2 সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 4 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্বই হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 4 সেমি। ### 6. একটি বৃত্তের পরিধির উপর $A$ ও $B$ বিন্দু দুটি এমন যে তারা একটি ব্যাসের বিপরীত প্রান্তে অবস্থিত নয়। তাদের স্পর্শক দুটি পরস্পরকে— **(A)** ছেদ করবে    **(B)** কখনোই ছেদ করবে না    **(C)** সমান্তরাল হবে    **(D)** সমপাতিত হবে **সঠিক উত্তর:** (A) ছেদ করবে **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ব্যাস ব্যতীত যেকোনো জ্যা-এর প্রান্তবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি সমান্তরাল হয় না, তারা বৃত্তের বাইরে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে। ### 7. বৃত্তের উপরিস্থিত বিন্দুতে স্কেল ও পেনসিল কম্পাস দিয়ে লম্ব অঙ্কনে কত মাপের বৃত্তচাপ ব্যবহার করা হয়? **(A)** যেকোনো সুবিধাজনক ব্যাসার্ধের    **(B)** কেবল ব্যাসার্ধের সমান    **(C)** ব্যাসের সমান    **(D)** 1 সেমি **সঠিক উত্তর:** (A) যেকোনো সুবিধাজনক ব্যাসার্ধের **ব্যাখ্যা / সমাধান:** নির্দিষ্ট বিন্দুতে লম্ব অঙ্কনের জন্য যেকোনো সুবিধাজনক ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ কেটে $90^\circ$ কোণ তৈরি করা হয়। ### 8. একটি বৃত্তের জ্যা $AB$-এর দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের সমান। $A$ ও $B$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত? **(A)** $30^\circ$    **(B)** $60^\circ$    **(C)** $120^\circ$    **(D)** $90^\circ$ **সঠিক উত্তর:** (C) $120^\circ$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** জ্যা ব্যাসার্ধের সমান হওয়ায় $\triangle OAB$ সমবাহু, ফলে কেন্দ্রে কোণ $\angle AOB = 60^\circ$। স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ = $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$। ### 9. একটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কন করতে ন্যূনতম কী কী জ্যামিতিক সরঞ্জাম আবশ্যক? **(A)** চাঁদা ও স্কেল    **(B)** স্কেল ও পেনসিল কম্পাস    **(C)** সেট স্কয়ার    **(D)** কেবল স্কেল **সঠিক উত্তর:** (B) স্কেল ও পেনসিল কম্পাস **ব্যাখ্যা / সমাধান:** মাধ্যমিকের সম্পাদ্য নীতি অনুযায়ী কেবলমাত্র স্কেল ও পেনসিল কম্পাস ব্যবহার করেই $90^\circ$ কোণ ও স্পর্শক অঙ্কন করতে হয়। ### 10. বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তটিকে কয়টি বিন্দুতে স্পর্শ করে? **(A)** কেবল 1টি বিন্দুতে    **(B)** 2টি বিন্দুতে    **(C)** অসীম সংখ্যক বিন্দুতে    **(D)** কোনো বিন্দুতেই নয় **সঠিক উত্তর:** (A) কেবল 1টি বিন্দুতে **ব্যাখ্যা / সমাধান:** স্পর্শকের সংজ্ঞানুযায়ী তা বৃত্তের সাথে কেবলমাত্র 1টি সাধারণ স্পর্শবিন্দু বজায় রাখে। ### 11. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ওই বৃত্তের উপর কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা সম্ভব? **(A)** 1টি    **(B)** 2টি    **(C)** 3টি    **(D)** অসংখ্য **সঠিক উত্তর:** (B) 2টি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** বৃত্তের বাইরের যেকোনো বিন্দু থেকে ওই বৃত্তের উপর সর্বাধিক 2টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়। ### 12. বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক অঙ্কন করার প্রথম ধাপে কী করতে হয়? **(A)** বৃত্তের ব্যাস আঁকতে হয়    **(B)** বহিঃস্থ বিন্দু ও কেন্দ্র যুক্ত করে রেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করতে হয়    **(C)** কোণের সমদ্বিখণ্ডক আঁকতে হয়    **(D)** ত্রিভুজ আঁকতে হয় **সঠিক উত্তর:** (B) বহিঃস্থ বিন্দু ও কেন্দ্র যুক্ত করে রেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করতে হয় **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কেন্দ্র $O$ এবং বহিঃস্থ বিন্দু $P$ যোগ করে $OP$-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করে মধ্যবিন্দু $M$ নির্ণয় করতে হয়। ### 13. বহিঃস্থ বিন্দু থেকে স্পর্শক অঙ্কনে $OP$-এর মধ্যবিন্দু $M$ নির্ণয় করে কোন ব্যাসার্ধের বৃত্ত বা বৃত্তচাপ অঙ্কন করা হয়? **(A)** $OP$    **(B)** $MO$ বা $MP$    **(C)** মূল বৃত্তের ব্যাসার্ধের    **(D)** যেকোনো মাপের **সঠিক উত্তর:** (B) $MO$ বা $MP$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $M$ কে কেন্দ্র করে $MO$ (বা $MP$)-কে ব্যাসার্ধ ধরে একটি সহায়ক বৃত্ত বা বৃত্তচাপ অঙ্কন করা হয়। ### 14. এই সহায়ক বৃত্তটি মূল বৃত্তকে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে? **(A)** 1টি    **(B)** 2টি (স্পর্শবিন্দুদ্বয়)    **(C)** 3টি    **(D)** 4টি **সঠিক উত্তর:** (B) 2টি (স্পর্শবিন্দুদ্বয়) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** সহায়ক বৃত্তটি মূল বৃত্তের পরিধিকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, যে দুটি বিন্দুই হলো নির্ণেয় স্পর্শবিন্দু। ### 15. সহায়ক বৃত্তের সাহায্যে স্পর্শবিন্দু পাওয়ার মূল জ্যামিতিক কারণ কী? **(A)** একান্তর কোণ সমান    **(B)** অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ ($90^\circ$)    **(C)** অনুরূপ কোণ সমান    **(D)** বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ গঠন **সঠিক উত্তর:** (B) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ ($90^\circ$) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $OP$ ব্যাস হওয়ায় পরিধিস্থ কোণটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এবং তার মান $90^\circ$ হয়, যা স্পর্শকের শর্ত পূরণ করে। ### 16. বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত দুটি স্পর্শক $PA$ ও $PB$ হলে, তাদের দৈর্ঘ্যের মধ্যে সম্পর্ক কী? **(A)** $PA > PB$    **(B)** $PA < PB$    **(C)** $PA = PB$    **(D)** $PA = 2PB$ **সঠিক উত্তর:** (C) $PA = PB$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** উপপাদ্য অনুযায়ী বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান, অর্থাৎ $PA = PB$। ### 17. বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ দুটি কেমন হয়? **(A)** অসমান    **(B)** পরস্পর সমান ($\angle POA = \angle POB$)    **(C)** সম্পূরক    **(D)** পূরক **সঠিক উত্তর:** (B) পরস্পর সমান ($\angle POA = \angle POB$) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** স্পর্শকদ্বয় কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে, অর্থাৎ $\angle POA = \angle POB$। ### 18. বহিঃস্থ বিন্দু $P$ ও কেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখা $OP$ স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\angle APB$-কে কী করে? **(A)** সমদ্বিখণ্ডিত করে    **(B)** অসমান অংশে বিভক্ত করে    **(C)** স্পর্শ করে    **(D)** কোনো প্রভাব ফেলে না **সঠিক উত্তর:** (A) সমদ্বিখণ্ডিত করে **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $OP$ রেখাংশ স্পর্শক দুটির অন্তর্ভুক্তি কোণ $\angle APB$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে ($\angle APO = \angle BPO$)। ### 19. বৃত্তের বাইরে কোনো বিন্দু থেকে কেবল 1টি স্পর্শক অঙ্কন করতে চাইলে সহায়ক বৃত্তটির কী অঙ্কন করলেই চলে? **(A)** সম্পূর্ণ বৃত্ত    **(B)** একদিকের কেবল একটি বৃত্তচাপ    **(C)** জ্যা    **(D)** ব্যাস **সঠিক উত্তর:** (B) একদিকের কেবল একটি বৃত্তচাপ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কেবল একটি স্পর্শক অঙ্কনের ক্ষেত্রে যেকোনো একপাশে মূল বৃত্তের উপর একটি ছেদবিন্দু (বৃত্তচাপ কেটে) নির্ধারণ করলেই চলে। ### 20. বহিঃস্থ বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির যত কাছে আসবে, স্পর্শক দুটির মধ্যবর্তী কোণ তত— **(A)** হ্রাস পাবে    **(B)** বৃদ্ধি পাবে    **(C)** একই থাকবে    **(D)** শূন্য হবে **সঠিক উত্তর:** (B) বৃদ্ধি পাবে **ব্যাখ্যা / সমাধান:** বহিঃস্থ বিন্দু বৃত্তের যত নিকটে আসবে, স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ তত বড় হবে এবং পরিধিতে এলে তা $180^\circ$ বা সরলরেখা হবে। ### 21. 3 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সেমি দূরে অবস্থিত বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 3 সেমি    **(B)** 4 সেমি    **(C)** 5 সেমি    **(D)** 6 সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 4 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{OP^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ সেমি। ### 22. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2.5 সেমি। কেন্দ্র থেকে 6.5 সেমি দূরবর্তী বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 5 সেমি    **(B)** 6 সেমি    **(C)** 7 সেমি    **(D)** 5.5 সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 6 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(6.5)^2 - (2.5)^2} = \sqrt{(6.5 + 2.5)(6.5 - 2.5)} = \sqrt{9 \times 4} = \sqrt{36} = 6$ সেমি। ### 23. 4 সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কত দূরে বহিঃস্থ বিন্দু নিলে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ সেমি হবে? **(A)** 6 সেমি    **(B)** 8 সেমি    **(C)** 10 সেমি    **(D)** 12 সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 8 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $OP = \sqrt{r^2 + L^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$ সেমি। ### 24. বৃত্তের কেন্দ্র $O$ থেকে 13 সেমি দূরবর্তী বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 12 সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাস কত? **(A)** 5 সেমি    **(B)** 10 সেমি    **(C)** 12 সেমি    **(D)** 15 সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 10 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ সেমি। অতএব ব্যাস = $2 \times 5 = 10$ সেমি। ### 25. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সেমি এবং কেন্দ্র থেকে বহিঃস্থ বিন্দুর দূরত্ব 10 সেমি। স্পর্শবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 4.8 সেমি    **(B)** 9.6 সেমি    **(C)** 8 সেমি    **(D)** 12 সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 9.6 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** স্পর্শক = 8 সেমি। সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর উচ্চতা $h = \frac{6 \times 8}{10} = 4.8$ সেমি। জ্যা-এর মোট দৈর্ঘ্য = $2 \times 4.8 = 9.6$ সেমি। ### 26. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে দুটি স্পর্শক $PA$ ও $PB$ অঙ্কন করা হলো। চতুর্ভুজ $OAPB$ একটি কী রূপ চতুর্ভুজ? **(A)** সামান্তরিক    **(B)** বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ    **(C)** রম্বস    **(D)** ট্রাপিজিয়াম **সঠিক উত্তর:** (B) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $\angle OAP + \angle OBP = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$। বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হওয়ায় $OAPB$ সর্বদা একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ### 27. যদি $OAPB$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে $\angle AOB = 130^\circ$ হয়, তবে স্পর্শক দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle APB$-এর মান কত? **(A)** $40^\circ$    **(B)** $50^\circ$    **(C)** $60^\circ$    **(D)** $65^\circ$ **সঠিক উত্তর:** (B) $50^\circ$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $\angle APB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$। ### 28. একটি 5 সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের এমন দুটি স্পর্শক অঙ্কন করতে হবে যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $90^\circ$। কেন্দ্র থেকে বহিঃস্থ বিন্দুর দূরত্ব কত হতে হবে? **(A)** $5\sqrt{2}$ সেমি    **(B)** 10 সেমি    **(C)** $5\sqrt{3}$ সেমি    **(D)** 5 সেমি **সঠিক উত্তর:** (A) $5\sqrt{2}$ সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কোণ $90^\circ$ হলে চতুর্ভুজটি বর্গক্ষেত্র হয় যার বাহু $r = 5$ সেমি। কর্ণের দৈর্ঘ্য $OP = r\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ সেমি। ### 29. স্কেল ও পেনসিল কম্পাস দিয়ে $OP$ রেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করতে $O$ ও $P$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে কোন মাপের ব্যাসার্ধের বৃত্তচাপ আঁকতে হয়? **(A)** $OP$-এর অর্ধেকের কম    **(B)** $OP$-এর অর্ধেকের বেশি    **(C)** ঠিক $OP$-এর সমান    **(D)** যেকোনো ক্ষুদ্র মাপ **সঠিক উত্তর:** (B) $OP$-এর অর্ধেকের বেশি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** যেকোনো সরলরেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করতে হলে রেখাংশটির আনুমানিক অর্ধেকের বেশি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে উভয় পাশে বৃত্তচাপ আঁকতে হয়। ### 30. বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুদ্বয়কে কেন্দ্র $O$-এর সাথে যুক্ত করলে গঠিত ত্রিভুজ $\triangle OAB$ সর্বদা কী ধরনের ত্রিভুজ? **(A)** বিষমবাহু    **(B)** সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ    **(C)** সমবাহু ত্রিভুজ    **(D)** স্থূলকোণী ত্রিভুজ **সঠিক উত্তর:** (B) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $OA$ এবং $OB$ উভয়ই একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($OA = OB$), ফলে $\triangle OAB$ সর্বদা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। ### 31. একটি বৃত্তের এমন দুটি স্পর্শক অঙ্কন করতে হবে যাদের মধ্যবর্তী কোণ $60^\circ$। তাদের স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত হতে হবে? **(A)** $60^\circ$    **(B)** $90^\circ$    **(C)** $120^\circ$    **(D)** $150^\circ$ **সঠিক উত্তর:** (C) $120^\circ$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** স্পর্শক দুটির মধ্যবর্তী কোণ ও কেন্দ্রে ব্যাসার্ধ দুটির কোণ পরস্পর সম্পূরক। অতএব কোণ = $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$। ### 32. বৃত্তের এমন দুটি স্পর্শক আঁকতে হবে যারা পরস্পরের উপর লম্ব ($90^\circ$)। বৃত্তের কেন্দ্রে ব্যাসার্ধ দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত আঁকতে হবে? **(A)** $45^\circ$    **(B)** $60^\circ$    **(C)** $90^\circ$    **(D)** $180^\circ$ **সঠিক উত্তর:** (C) $90^\circ$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কেন্দ্রে কোণ = $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$। ### 33. স্পর্শকদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ $45^\circ$ হলে কেন্দ্রে কোণ কত অঙ্কন করতে হয়? **(A)** $45^\circ$    **(B)** $90^\circ$    **(C)** $135^\circ$    **(D)** $150^\circ$ **সঠিক উত্তর:** (C) $135^\circ$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কেন্দ্রে কোণ = $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$। ### 34. স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $30^\circ$ হলে কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ কত হবে? **(A)** $60^\circ$    **(B)** $120^\circ$    **(C)** $150^\circ$    **(D)** $90^\circ$ **সঠিক উত্তর:** (C) $150^\circ$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$। ### 35. একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের উপরিস্থিত দুটি বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি কেন্দ্রে ব্যাসার্ধদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ— **(A)** $90^\circ$ হয়    **(B)** $180^\circ$ হয় (সরলকোণ)    **(C)** $120^\circ$ হয়    **(D)** $60^\circ$ হয় **সঠিক উত্তর:** (B) $180^\circ$ হয় (সরলকোণ) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কেন্দ্রে কোণ $180^\circ$ হলে স্পর্শবিন্দু দুটি ব্যাসের বিপরীত দুই প্রান্তে অবস্থিত হয়, ফলে স্পর্শক দুটি সমান্তরাল হয়। ### 36. নির্দিষ্ট কোণে স্পর্শক যুগল আঁকার সময় প্রথমে কী আঁকা হয়? **(A)** স্পর্শক আঁকা হয়    **(B)** কেন্দ্রে সম্পূরক কোণ বিশিষ্ট দুটি ব্যাসার্ধ আঁকা হয়    **(C)** বহিঃস্থ বিন্দু নেওয়া হয়    **(D)** ছেদক আঁকা হয় **সঠিক উত্তর:** (B) কেন্দ্রে সম্পূরক কোণ বিশিষ্ট দুটি ব্যাসার্ধ আঁকা হয় **ব্যাখ্যা / সমাধান:** প্রথমে কেন্দ্রে সম্পূরক কোণ বিশিষ্ট দুটি ব্যাসার্ধ $OA$ ও $OB$ অঙ্কন করা হয়, তারপর $A$ ও $B$ বিন্দুতে দুটি লম্ব অঙ্কন করা হয়। ### 37. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সেমি। বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ $60^\circ$ হলে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 4 সেমি    **(B)** $4\sqrt{3}$ সেমি    **(C)** $\frac{4}{\sqrt{3}}$ সেমি    **(D)** 8 সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) $4\sqrt{3}$ সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** সমকোণী ত্রিভুজে কোণটি $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$। $\tan 30^\circ = \frac{r}{L} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{L} \implies L = 4\sqrt{3}$ সেমি। ### 38. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি। বহিঃস্থ বিন্দু থেকে স্পর্শকের মধ্যবর্তী কোণ $60^\circ$ হলে কেন্দ্র থেকে বহিঃস্থ বিন্দুর দূরত্ব কত? **(A)** 5 সেমি    **(B)** 10 সেমি    **(C)** $5\sqrt{3}$ সেমি    **(D)** 12 সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 10 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $\sin 30^\circ = \frac{r}{OP} \implies \frac{1}{2} = \frac{5}{OP} \implies OP = 10$ সেমি। ### 39. বৃত্তের কোনো জ্যা-এর দুই প্রান্তে স্পর্শক টানলে স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে কোথায় ছেদ করে? **(A)** বৃত্তের কেন্দ্রে    **(B)** বৃত্তের বাইরে    **(C)** বৃত্তের পরিধিতে    **(D)** কখনোই ছেদ করে না **সঠিক উত্তর:** (B) বৃত্তের বাইরে **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ব্যাস ব্যতীত যেকোনো জ্যা-এর দুই প্রান্তের স্পর্শক দুটি সর্বদা বৃত্তের বহির্ভাগে কোনো বিন্দুতে ছেদ করে। ### 40. কোনো বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন করতে সেট স্কয়ার বা চাঁদা ব্যবহার করা কি মাধ্যমিক পরীক্ষায় গ্রহণযোগ্য? **(A)** হ্যাঁ    **(B)** না, কেবল স্কেল ও কম্পাস ব্যবহার্য    **(C)** কেবল কোণ মাপার জন্য    **(D)** ঐচ্ছিক **সঠিক উত্তর:** (B) না, কেবল স্কেল ও কম্পাস ব্যবহার্য **ব্যাখ্যা / সমাধান:** মাধ্যমিক পরীক্ষার নির্দেশিকা অনুযায়ী সম্পাদ্যের সমস্ত জ্যামিতিক অঙ্কন কেবল স্কেল ও পেনসিল কম্পাস দিয়েই সম্পন্ন করতে হয়। ### 41. দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 5 সেমি ও 3 সেমি। বৃহত্তর বৃত্তের একটি বিন্দু থেকে ক্ষুদ্রতর বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 2 সেমি    **(B)** 4 সেমি    **(C)** 6 সেমি    **(D)** 8 সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 4 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** বৃহত্তর বৃত্তের বিন্দুটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব $R = 5$ সেমি। ক্ষুদ্রতর বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = 3$ সেমি। স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ সেমি। ### 42. দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ 13 সেমি ও 5 সেমি। বৃহত্তর বৃত্তের যে জ্যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তকে স্পর্শ করে তার দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 12 সেমি    **(B)** 18 সেমি    **(C)** 24 সেমি    **(D)** 26 সেমি **সঠিক উত্তর:** (C) 24 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** অর্ধ-জ্যা = $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ সেমি। সম্পূর্ণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = $2 \times 12 = 24$ সেমি। ### 43. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান— এই উপপাদ্যের প্রমাণে কোন সর্বসমতা শর্ত ব্যবহৃত হয়? **(A)** SSS    **(B)** SAS    **(C)** RHS (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)    **(D)** AAA **সঠিক উত্তর:** (C) RHS (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $\triangle OAP$ ও $\triangle OBP$-তে $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$, সাধারণ অতিভুজ $OP$ এবং ব্যাসার্ধ $OA = OB$। ফলে RHS শর্তে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম। ### 44. বৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দু $P$-তে স্পর্শক অঙ্কন করার ক্ষেত্রে $P$ বিন্দুটি বৃত্তের— **(A)** একমাত্র স্পর্শবিন্দু    **(B)** কেন্দ্রবিন্দু    **(C)** বহিঃস্থ বিন্দু    **(D)** ছেদবিন্দু **সঠিক উত্তর:** (A) একমাত্র স্পর্শবিন্দু **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $P$ বিন্দুটি বৃত্ত এবং স্পর্শকের একমাত্র সাধারণ বিন্দু (Point of Contact বা স্পর্শবিন্দু)। ### 45. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সেমি ও 2 সেমি এবং তারা পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। তাদের সাধারণ স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত সাধারণ স্পর্শকটি কেমন স্পর্শক? **(A)** সরল সাধারণ স্পর্শক    **(B)** তির্যক বা প্রত্যক্ষ সাধারণ স্পর্শক    **(C)** অসীম স্পর্শক    **(D)** ছেদক **সঠিক উত্তর:** (B) তির্যক বা প্রত্যক্ষ সাধারণ স্পর্শক **ব্যাখ্যা / সমাধান:** বহিঃস্পর্শবিন্দুগামী সাধারণ স্পর্শকটি বৃত্ত দুটির স্পর্শবিন্দুতে লম্বভাবে থাকে যা একটি সাধারণ স্পর্শক। ### 46. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত স্পর্শক $PT$। যদি $PT = OP$ হয়, তবে $\angle OPT$-এর মান কত? **(A)** $45^\circ$    **(B)** $60^\circ$    **(C)** অসম্ভব (কারণ অতিভুজ সর্বদা বৃহত্তম)    **(D)** $90^\circ$ **সঠিক উত্তর:** (C) অসম্ভব (কারণ অতিভুজ সর্বদা বৃহত্তম) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OPT$-এ $OP$ অতিভুজ। অতিভুজ সমকোণ সংলগ্ন যেকোনো বাহুর ($PT$) সমান হতে পারে না, ফলে এটি জ্যামিতিকভাবে অসম্ভব। ### 47. বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় বৃত্তটিকে স্পর্শ করলে যে চতুর্ভুজ গঠিত হয়, তার কর্ণদ্বয় পরস্পরকে— **(A)** সমকোণে ছেদ করে    **(B)** সমান্তরাল হয়    **(C)** সমান হয়    **(D)** ছেদ করে না **সঠিক উত্তর:** (A) সমকোণে ছেদ করে **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ঘুড়ি বা কাইট আকৃতির চতুর্ভুজ $OAPB$-এর কর্ণদ্বয় $OP$ এবং $AB$ পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। ### 48. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ এবং কেন্দ্র থেকে $P$-এর দূরত্ব $2r$ হলে, স্পর্শক দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত? **(A)** $30^\circ$    **(B)** $45^\circ$    **(C)** $60^\circ$    **(D)** $90^\circ$ **সঠিক উত্তর:** (C) $60^\circ$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $\sin(\angle APO) = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2} \implies \angle APO = 30^\circ$। অতএব সম্পূর্ণ স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ = $2 \times 30^\circ = 60^\circ$। ### 49. সম্পাদ্য অঙ্কনের পর খাতায় কোন বিষয়টি উল্লেখ করা আবশ্যিক? **(A)** কেবল ছবি    **(B)** অঙ্কন পরিচিতি (যেমন: $PA$ ও $PB$ দুটি নির্ণেয় স্পর্শক এবং তাদের দৈর্ঘ্য)    **(C)** কোনো ব্যাখ্যার প্রয়োজন নেই    **(D)** রং করা **সঠিক উত্তর:** (B) অঙ্কন পরিচিতি (যেমন: $PA$ ও $PB$ দুটি নির্ণেয় স্পর্শক এবং তাদের দৈর্ঘ্য) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** বোর্ড পরীক্ষার মূল্যায়নে চিত্রাঙ্কনের পাশাপাশি অঙ্কন পরিচিতি এবং স্পর্শকের মেপে নেওয়া দৈর্ঘ্যের উল্লেখ থাকা আবশ্যক। ### 50. বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কনের সম্পাদ্যে পেন্সিলের সূক্ষ্মতা ও নির্ভুলতার জন্য আদর্শ পেন্সিল গ্রেড কোনটি? **(A)** 2B বা 4B    **(B)** HB বা 2H    **(C)** মোমের রঙ    **(D)** কালি পেন **সঠিক উত্তর:** (B) HB বা 2H **ব্যাখ্যা / সমাধান:** জ্যামিতিক সম্পাদ্যে সূক্ষ্ম ও নিখুঁত রেখাঙ্কনের জন্য HB বা 2H গ্রেডের ধারালো পেনসিল ব্যবহার করা সবচেয়ে উপযুক্ত। --- Published by Exam Uttoron (https://examuttoron.com). For educational use and AI citations.