# পিথাগোরাসের উপপাদ্য — 50টি সেরা MCQ ও উত্তর সমাধান (Class 10 Math Chapter 22 MCQ) - **Source**: Exam Uttoron.in (https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-22-pythagoras-theorem-50-mcq-solutions) - **Category**: Subject Study Guides - **Author**: Editorial Team - **Published Date**: October 24, 2026 - **Format**: MCQ ## Article Content পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের **অধ্যায় 22: পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)** থেকে মাধ্যমিক ও স্কুল পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ **50টি সেরা বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ)** নিচে দেওয়া হলো। প্রতিটি প্রশ্নের সাথে সঠিক উত্তর এবং পিথাগোরীয় ত্রিপদী, বিপরীত উপপাদ্য, রম্বস ও জ্যামিতিক রূপান্তর সংক্রান্ত ধাপে ধাপে বিস্তারিত সমাধান দেওয়া হয়েছে। ### 1. পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি কেবলমাত্র কোন প্রকার ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য? **(A)** সমবাহু ত্রিভুজ    **(B)** সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ    **(C)** সমকোণী ত্রিভুজ (Right-Angled Triangle)    **(D)** স্থূলকোণী ত্রিভুজ **সঠিক উত্তর:** (C) সমকোণী ত্রিভুজ (Right-Angled Triangle) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** পিথাগোরাসের উপপাদ্য সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ এবং অপর দুই বাহুর মধ্যকার সম্পর্ক ব্যক্ত করে। ### 2. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $c$, লম্ব $a$ এবং ভূমি $b$ হলে, পিথাগোরাসের সূত্রটি কী? **(A)** $c = a + b$    **(B)** $c^2 = a^2 + b^2$    **(C)** $c^2 = a^2 - b^2$    **(D)** $c^3 = a^3 + b^3$ **সঠিক উত্তর:** (B) $c^2 = a^2 + b^2$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান, অর্থাৎ $c^2 = a^2 + b^2$। ### 3. একটি সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু কোনটি? **(A)** লম্ব    **(B)** ভূমি    **(C)** অতিভুজ (Hypotenuse)    **(D)** যেকোনো বাহু হতে পারে **সঠিক উত্তর:** (C) অতিভুজ (Hypotenuse) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহু অর্থাৎ অতিভুজ সর্বদা ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহু হয়। ### 4. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটি 6 সেমি ও 8 সেমি হলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 9 সেমি    **(B)** 10 সেমি    **(C)** 12 সেমি    **(D)** 14 সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 10 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** অতিভুজ = $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ সেমি। ### 5. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 13 সেমি এবং একটি বাহু 12 সেমি হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 5 সেমি    **(B)** 6 সেমি    **(C)** 7 সেমি    **(D)** 8 সেমি **সঠিক উত্তর:** (A) 5 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** অপর বাহু = $\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ সেমি। ### 6. কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে, প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি কত? **(A)** $45^\circ$    **(B)** $60^\circ$    **(C)** $90^\circ$ (সমকোণ)    **(D)** $180^\circ$ **সঠিক উত্তর:** (C) $90^\circ$ (সমকোণ) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য (Converse of Pythagoras Theorem) অনুযায়ী প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি অবশ্যই সমকোণ বা $90^\circ$ হবে। ### 7. $\triangle ABC$-এ $AB^2 + BC^2 = AC^2$ হলে কোন কোণটি সমকোণ? **(A)** $\angle A$    **(B)** $\angle B$    **(C)** $\angle C$    **(D)** কোনোটিই নয় **সঠিক উত্তর:** (B) $\angle B$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** বৃহত্তম বাহু $AC$-এর বিপরীত কোণ হলো $\angle B$, ফলে $\angle B = 90^\circ$। ### 8. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটি $a$ একক হলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** $2a$    **(B)** $a\sqrt{2}$    **(C)** $a\sqrt{3}$    **(D)** $\frac{a}{\sqrt{2}}$ **সঠিক উত্তর:** (B) $a\sqrt{2}$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** অতিভুজ = $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$। ### 9. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $8\sqrt{2}$ সেমি হলে, সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 4 সেমি    **(B)** 8 সেমি    **(C)** 16 সেমি    **(D)** $4\sqrt{2}$ সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 8 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \implies a = 8$ সেমি। ### 10. $\triangle ABC$-এ $c^2 < a^2 + b^2$ হলে ত্রিভুজটি কেমন ত্রিভুজ (যেখানে $c$ বৃহত্তম বাহু)? **(A)** সমকোণী    **(B)** সূক্ষ্মকোণী (Acute-angled)    **(C)** স্থূলকোণী    **(D)** সমবাহু **সঠিক উত্তর:** (B) সূক্ষ্মকোণী (Acute-angled) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** বৃহত্তম বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হলে ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী হয়। ### 11. নিচের কোন সংখ্যামালাটি একটি পিথাগোরীয় ত্রিপদী (Pythagorean Triplet)? **(A)** 3, 4, 6    **(B)** 5, 12, 13    **(C)** 6, 8, 12    **(D)** 7, 9, 11 **সঠিক উত্তর:** (B) 5, 12, 13 **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$। সুতরাং $(5, 12, 13)$ একটি পিথাগোরীয় ত্রিপদী। ### 12. বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সেমি, 24 সেমি ও 25 সেমি হলে ত্রিভুজটি কী ধরনের ত্রিভুজ? **(A)** সমকোণী ত্রিভুজ    **(B)** স্থূলকোণী ত্রিভুজ    **(C)** সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ    **(D)** সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ **সঠিক উত্তর:** (A) সমকোণী ত্রিভুজ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$। পিথাগোরাসের উপপাদ্য সিদ্ধ করায় ত্রিভুজটি সমকোণী। ### 13. নিচের কোন বাহুগুলি দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়? **(A)** 8, 15, 17    **(B)** 9, 40, 41    **(C)** 6, 10, 11    **(D)** 20, 21, 29 **সঠিক উত্তর:** (C) 6, 10, 11 **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136 \neq 11^2$ (121)। ফলে 6, 10, 11 সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে না। ### 14. $m > 1$ হলে যেকোনো পিথাগোরীয় ত্রিপদী গঠনের সাধারণ রূপ কোনটি? **(A)** $2m, m^2 - 1, m^2 + 1$    **(B)** $m, m+1, m+2$    **(C)** $2m, m, m^2$    **(D)** $m^2, 2m, m+1$ **সঠিক উত্তর:** (A) $2m, m^2 - 1, m^2 + 1$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $(2m)^2 + (m^2 - 1)^2 = 4m^2 + m^4 - 2m^2 + 1 = m^4 + 2m^2 + 1 = (m^2 + 1)^2$। ### 15. যদি একটি পিথাগোরীয় ত্রিপদীর ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 8 হয়, তবে অপর দুটি সংখ্যা কত? **(A)** 15 ও 17    **(B)** 12 ও 14    **(C)** 10 ও 12    **(D)** 16 ও 18 **সঠিক উত্তর:** (A) 15 ও 17 **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $2m = 8 \implies m = 4$। অপর সংখ্যা দুটি = $m^2 - 1 = 15$ এবং $m^2 + 1 = 17$। ত্রিপদীটি $(8, 15, 17)$। ### 16. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলি 9 সেমি, 12 সেমি ও 15 সেমি হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান কত? **(A)** $60^\circ$    **(B)** $90^\circ$    **(C)** $120^\circ$    **(D)** $105^\circ$ **সঠিক উত্তর:** (B) $90^\circ$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$। ত্রিভুজটি সমকোণী হওয়ায় বৃহত্তম কোণটি সমকোণ ($90^\circ$)। ### 17. বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 11 সেমি, 60 সেমি ও 61 সেমি হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? **(A)** 330 বর্গসেমি    **(B)** 660 বর্গসেমি    **(C)** 335.5 বর্গসেমি    **(D)** 120 বর্গসেমি **সঠিক উত্তর:** (A) 330 বর্গসেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2$ (সমকোণী)। ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 11 \times 60 = 330$ বর্গসেমি। ### 18. একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে বাহুগুলির মান কত? **(A)** 2, 4, 6    **(B)** 6, 8, 10    **(C)** 8, 10, 12    **(D)** 4, 6, 8 **সঠিক উত্তর:** (B) 6, 8, 10 **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কেবলমাত্র 6, 8, 10 বাহুত্রয় ক্রমিক জোড় সংখ্যা এবং $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$। ### 19. একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা হলে তারা কোনটি? **(A)** 1, 2, 3    **(B)** 3, 4, 5    **(C)** 2, 3, 4    **(D)** 4, 5, 6 **সঠিক উত্তর:** (B) 3, 4, 5 **ব্যাখ্যা / সমাধান:** 3, 4, 5 হলো একমাত্র ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা যা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু হতে পারে। ### 20. একটি ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য $a, b, c$ এবং $c^2 > a^2 + b^2$ ($c$ বৃহত্তম)। ত্রিভুজটি কেমন? **(A)** সূক্ষ্মকোণী    **(B)** সমকোণী    **(C)** স্থূলকোণী (Obtuse-angled)    **(D)** সমদ্বিবাহু **সঠিক উত্তর:** (C) স্থূলকোণী (Obtuse-angled) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** বৃহত্তম বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি অপেক্ষা বৃহত্তর হলে বৃহত্তম কোণটি স্থূলকোণ হয়, অর্থাৎ ত্রিভুজটি স্থূলকোণী। ### 21. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি হলে তার কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 6 সেমি    **(B)** $6\sqrt{2}$ সেমি    **(C)** 12 সেমি    **(D)** $6\sqrt{3}$ সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) $6\sqrt{2}$ সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** পিথাগোরাস প্রয়োগে কর্ণ = $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ সেমি। ### 22. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 সেমি এবং প্রস্থ 5 সেমি হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 13 সেমি    **(B)** 15 সেমি    **(C)** 17 সেমি    **(D)** 14 সেমি **সঠিক উত্তর:** (A) 13 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কর্ণ $d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ সেমি। ### 23. বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ বিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার মান কত? **(A)** $\frac{\sqrt{3}}{2}a$    **(B)** $\frac{\sqrt{3}}{4}a$    **(C)** $\sqrt{3}a$    **(D)** $\frac{a}{2}$ **সঠিক উত্তর:** (A) $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** উচ্চতা শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির মধ্যবিন্দুতে লম্ব হয়। $h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$। ### 24. একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি হলে ত্রিভুজটির উচ্চতা কত? **(A)** $4\sqrt{3}$ সেমি    **(B)** $8\sqrt{3}$ সেমি    **(C)** 4 সেমি    **(D)** $16\sqrt{3}$ সেমি **সঠিক উত্তর:** (A) $4\sqrt{3}$ সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** উচ্চতা = $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4\sqrt{3}$ সেমি। ### 25. একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 12 সেমি ও 16 সেমি। রম্বসটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 8 সেমি    **(B)** 10 সেমি    **(C)** 14 সেমি    **(D)** 20 সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 10 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। বাহু $a = \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2 + \left(\frac{16}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ সেমি। ### 26. একটি রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য 13 সেমি এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 24 সেমি হলে অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 5 সেমি    **(B)** 10 সেমি    **(C)** 12 সেমি    **(D)** 20 সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 10 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** অর্ধ-কর্ণ $d_2 / 2 = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ সেমি। অপর সম্পূর্ণ কর্ণ = $2 \times 5 = 10$ সেমি। ### 27. রম্বসের বাহু $a$ এবং কর্ণদ্বয় $d_1$ ও $d_2$ হলে এদের মধ্যে সম্পর্ক কোনটি? **(A)** $4a^2 = d_1^2 + d_2^2$    **(B)** $2a^2 = d_1^2 + d_2^2$    **(C)** $a^2 = d_1^2 + d_2^2$    **(D)** $a = d_1 + d_2$ **সঠিক উত্তর:** (A) $4a^2 = d_1^2 + d_2^2$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} \implies 4a^2 = d_1^2 + d_2^2$। ### 28. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং ভূমি 12 সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? **(A)** 48 বর্গসেমি    **(B)** 60 বর্গসেমি    **(C)** 96 বর্গসেমি    **(D)** 120 বর্গসেমি **সঠিক উত্তর:** (A) 48 বর্গসেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** উচ্চতা $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ সেমি। ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$ বর্গসেমি। ### 29. একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $10\sqrt{2}$ সেমি হলে তার ক্ষেত্রফল কত? **(A)** 50 বর্গসেমি    **(B)** 100 বর্গসেমি    **(C)** 200 বর্গসেমি    **(D)** 150 বর্গসেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 100 বর্গসেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** বাহু $a = 10$ সেমি। ক্ষেত্রফল = $10^2 = 100$ বর্গসেমি। ### 30. একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 34 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 60 বর্গসেমি হলে তার কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 13 সেমি    **(B)** 15 সেমি    **(C)** 17 সেমি    **(D)** 12 সেমি **সঠিক উত্তর:** (A) 13 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $l + w = 17$ এবং $lw = 60$। $d^2 = l^2 + w^2 = (l+w)^2 - 2lw = 17^2 - 2(60) = 289 - 120 = 169 \implies d = 13$ সেমি। ### 31. 10 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সেমি দূরবর্তী জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 8 সেমি    **(B)** 12 সেমি    **(C)** 16 সেমি    **(D)** 18 সেমি **সঠিক উত্তর:** (C) 16 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** অর্ধ-জ্যা = $\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$ সেমি। জ্যা-এর মোট দৈর্ঘ্য = $2 \times 8 = 16$ সেমি। ### 32. একটি বৃত্তের 24 সেমি দীর্ঘ একটি জ্যা-এর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 5 সেমি হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? **(A)** 12 সেমি    **(B)** 13 সেমি    **(C)** 15 সেমি    **(D)** 17 সেমি **সঠিক উত্তর:** (B) 13 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** অর্ধ-জ্যা = 12 সেমি। ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = 13$ সেমি। ### 33. $\triangle ABC$-এর $\angle C = 90^\circ$ এবং $BC, CA$-এর উপর যথাক্রমে $D, E$ দুটি বিন্দু অবস্থিত হলে, নিচের কোনটি সঠিক? **(A)** $AE^2 + BD^2 = AB^2 + DE^2$    **(B)** $AE^2 - BD^2 = AB^2 - DE^2$    **(C)** $AE + BD = AB + DE$    **(D)** $AE^2 + BD^2 = 2(AB^2 + DE^2)$ **সঠিক উত্তর:** (A) $AE^2 + BD^2 = AB^2 + DE^2$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** পিথাগোরাস উপপাদ্য চারবার প্রয়োগ করে প্রমাণিত হয় যে $AE^2 + BD^2 = AB^2 + DE^2$। ### 34. $\triangle ABC$-এর $AD$ মধ্যমা হলে অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য কোনটি? **(A)** $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$    **(B)** $AB^2 + AC^2 = AD^2 + BD^2$    **(C)** $AB^2 + AC^2 = 3AD^2$    **(D)** $AB + AC = 2AD$ **সঠিক উত্তর:** (A) $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রে বাহু ও মধ্যমার সম্পর্ক হলো $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$। ### 35. $\triangle ABC$-এ $\angle A = 90^\circ$ এবং $BL, CM$ দুটি মধ্যমা হলে, $4(BL^2 + CM^2)$-এর মান কোনটি? **(A)** $3BC^2$    **(B)** $4BC^2$    **(C)** $5BC^2$    **(D)** $6BC^2$ **সঠিক উত্তর:** (C) $5BC^2$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** উপপাদ্য অনুসারে সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ সংলগ্ন মধ্যমাদ্বয়ের জন্য $4(BL^2 + CM^2) = 5BC^2$ হয়। ### 36. একটি সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর $\angle B = 90^\circ$। $D$ বিন্দু $BC$-এর মধ্যবিন্দু হলে, $AC^2$-এর মান কত? **(A)** $AD^2 + 3CD^2$    **(B)** $AD^2 + CD^2$    **(C)** $2AD^2 - CD^2$    **(D)** $AD^2 + 2CD^2$ **সঠিক উত্তর:** (A) $AD^2 + 3CD^2$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $AC^2 = AB^2 + BC^2 = (AD^2 - BD^2) + (2CD)^2 = AD^2 - CD^2 + 4CD^2 = AD^2 + 3CD^2$। ### 37. একটি সমবাহু ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর $AD \perp BC$ হলে, $3AB^2$-এর মান কার সমান? **(A)** $2AD^2$    **(B)** $4AD^2$    **(C)** $AD^2$    **(D)** $6AD^2$ **সঠিক উত্তর:** (B) $4AD^2$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $AD = \frac{\sqrt{3}}{2}AB \implies AD^2 = \frac{3}{4}AB^2 \implies 4AD^2 = 3AB^2$। ### 38. একটি আয়তাকার পার্কের ভেতরের যেকোনো বিন্দু $O$। শীর্ষবিন্দু $A, B, C, D$ হলে কোনটি সত্য? **(A)** $OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2$    **(B)** $OA + OC = OB + OD$    **(C)** $OA^2 + OB^2 = OC^2 + OD^2$    **(D)** $OA \times OC = OB \times OD$ **সঠিক উত্তর:** (A) $OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ব্রিটিশ ফ্ল্যাগ উপপাদ্য (British Flag Theorem) অনুযায়ী $OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2$। ### 39. $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$। $AB = 3$ সেমি, $AC = 4$ সেমি হলে $BD$-এর দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 1.8 সেমি    **(B)** 2.4 সেমি    **(C)** 3.2 সেমি    **(D)** 1.5 সেমি **সঠিক উত্তর:** (A) 1.8 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $BC = 5$ সেমি। $AB^2 = BC \times BD \implies 3^2 = 5 \times BD \implies BD = \frac{9}{5} = 1.8$ সেমি। ### 40. পূর্বোক্ত প্রশ্নে $CD$-এর দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 1.8 সেমি    **(B)** 2.4 সেমি    **(C)** 3.2 সেমি    **(D)** 3.6 সেমি **সঠিক উত্তর:** (C) 3.2 সেমি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $CD = BC - BD = 5 - 1.8 = 3.2$ সেমি (অথবা $AC^2 = BC \times CD \implies CD = \frac{16}{5} = 3.2$ সেমি)। ### 41. একটি 10 মিটার দীর্ঘ মই দেওয়ালের সঙ্গে এমনভাবে রাখা হলো যে তার শীর্ষবিন্দু মাটি থেকে 8 মিটার উঁচুতে একটি জানলাকে স্পর্শ করে। দেওয়াল থেকে মইটির পাদদেশের দূরত্ব কত? **(A)** 4 মিটার    **(B)** 6 মিটার    **(C)** 7 মিটার    **(D)** 8 মিটার **সঠিক উত্তর:** (B) 6 মিটার **ব্যাখ্যা / সমাধান:** দূরত্ব = $\sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ মিটার। ### 42. একটি ব্যক্তি একটি বিন্দু থেকে 24 মিটার পশ্চিমে গিয়ে তারপর 10 মিটার উত্তরে গেলেন। শুরুর বিন্দু থেকে তিনি এখন কত দূরে আছেন? **(A)** 26 মিটার    **(B)** 34 মিটার    **(C)** 28 মিটার    **(D)** 25 মিটার **সঠিক উত্তর:** (A) 26 মিটার **ব্যাখ্যা / সমাধান:** দূরত্ব = $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ মিটার। ### 43. ঝড়ে একটি গাছ মাটি থেকে 5 মিটার উঁচুতে মচকে গিয়ে তার শীর্ষবিন্দু গাছের গোড়া থেকে 12 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করল। ভাঙার পূর্বে সম্পূর্ণ গাছটির উচ্চতা কত ছিল? **(A)** 13 মিটার    **(B)** 17 মিটার    **(C)** 18 মিটার    **(D)** 20 মিটার **সঠিক উত্তর:** (C) 18 মিটার **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ মিটার। সম্পূর্ণ গাছের আদি উচ্চতা = $5 + 13 = 18$ মিটার। ### 44. দুটি উল্লম্ব খুঁটির উচ্চতা যথাক্রমে 6 মিটার ও 11 মিটার এবং তাদের পাদদেশের মধ্যবর্তী দূরত্ব 12 মিটার। তাদের শীর্ষবিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত? **(A)** 12 মিটার    **(B)** 13 মিটার    **(C)** 14 মিটার    **(D)** 15 মিটার **সঠিক উত্তর:** (B) 13 মিটার **ব্যাখ্যা / সমাধান:** উচ্চতার পার্থক্য = $11 - 6 = 5$ মিটার। শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব = $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = 13$ মিটার। ### 45. একটি ঘরের দৈর্ঘ্য 8 মিটার, প্রস্থ 6 মিটার এবং উচ্চতা 5 মিটার হলে, ঘরে রাখা যায় এমন দীর্ঘতম দণ্ডের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** $5\sqrt{5}$ মিটার (প্রায় 11.18 মিটার)    **(B)** 10 মিটার    **(C)** 12 মিটার    **(D)** 14 মিটার **সঠিক উত্তর:** (A) $5\sqrt{5}$ মিটার (প্রায় 11.18 মিটার) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কর্ণ = $\sqrt{8^2 + 6^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 36 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \approx 11.18$ মিটার। ### 46. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলি $(2a - 1)$ সেমি, $2\sqrt{2a}$ সেমি এবং $(2a + 1)$ সেমি হলে ত্রিভুজটি কেমন? **(A)** সমকোণী    **(B)** সমবাহু    **(C)** স্থূলকোণী    **(D)** সমদ্বিবাহু **সঠিক উত্তর:** (A) সমকোণী **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $(2a - 1)^2 + (2\sqrt{2a})^2 = 4a^2 - 4a + 1 + 8a = 4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1)^2$। সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী। ### 47. $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$। $AB = c, BC = a, CA = b$ এবং $A$ থেকে $BC$-এর উপর অঙ্কিত লম্ব $p$ হলে, কোনটি সঠিক? **(A)** $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$    **(B)** $p^2 = b^2 + c^2$    **(C)** $p = b + c$    **(D)** $\frac{1}{p} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ **সঠিক উত্তর:** (A) $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}ap = \frac{1}{2}bc \implies p = \frac{bc}{a} \implies \frac{1}{p^2} = \frac{a^2}{b^2 c^2} = \frac{b^2 + c^2}{b^2 c^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$। ### 48. একটি চতুর্ভুজ $ABCD$-এর কর্ণদ্বয় $AC$ এবং $BD$ পরস্পর লম্ব হলে কোনটি সত্য? **(A)** $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$    **(B)** $AB^2 + BC^2 = CD^2 + DA^2$    **(C)** $AB = CD$    **(D)** $AC = BD$ **সঠিক উত্তর:** (A) $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কর্ণদ্বয় সমকোণে ছেদ করলে পিথাগোরাস উপপাদ্য অনুযায়ী বিপরীত বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি সমান হয়: $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$। ### 49. একটি সমকোণী ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ $R$ এবং অতিভুজ $c$ হলে, তাদের সম্পর্ক কোনটি? **(A)** $R = c$    **(B)** $R = \frac{c}{2}$    **(C)** $R = 2c$    **(D)** $R = c^2$ **সঠিক উত্তর:** (B) $R = \frac{c}{2}$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দুই হলো পরিকেন্দ্র, তাই পরিব্যাসার্ধ অতিভুজের অর্ধেক ($R = \frac{c}{2}$)। ### 50. প্রাচীন ভারতীয় কোন গণিতবিদের সূত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের অনুরূপ উপপাদ্য পাওয়া যায়? **(A)** বৌধায়ন (শুল্বসূত্র)    **(B)** আর্যভট্ট    **(C)** বরাহমিহির    **(D)** ভাস্করাচার্য **সঠিক উত্তর:** (A) বৌধায়ন (শুল্বসূত্র) **ব্যাখ্যা / সমাধান:** প্রাচীন ভারতীয় গণিতবিদ ঋষি বৌধায়ন তাঁর শুল্বসূত্রে পিথাগোরাসের বহু পূর্বে আয়তক্ষেত্রের কর্ণের বর্গ সংক্রান্ত এই সূত্র লিপিবদ্ধ করেন। --- Published by Exam Uttoron (https://examuttoron.com). For educational use and AI citations.