# ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও অভেদাবলী — নিজে করি ও প্রয়োগ সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Trigonometric Identities Nije Kori & Proyog)

- **Source**: Exam Uttoron.in (https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-23-trigonometric-ratios-and-identities-nije-kori-and-proyog-solutions)
- **Category**: Subject Study Guides
- **Author**: Admin
- **Published Date**: October 25, 2026
- **Format**: CHAPTER_SOLUTION

## Executive Summary / Quick Takeaways
> WBBSE দশম শ্রেণি গণিত প্রকাশ অধ্যায় 23 ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও অভেদাবলী এর নিজে করি ও গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ (প্রয়োগ 8, 27, 35) এর চিত্রসহ সহজ সমাধান।

## Article Content
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের **অধ্যায় 23: ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও অভেদাবলী (Trigonometric Ratios & Identities)**-এর সমস্ত **"নিজে করি"** এবং মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ **"প্রয়োগ" (Starred Proyog)**-এর প্রতিটি গাণিতিক প্রমাণ ও সমস্যার চিত্রসহ সম্পূর্ণ সমাধান নিচে সহজ ভাষায় প্রদান করা হলো।

  
    
    

    

    
    
    θ

    
    
    A

    
    B (90°)

    
    C

    
    p (লম্ব)
    b (ভূমি)
    h (অতিভুজ)

    
    প্রয়োগ 8: p² + b² = h²  ⇒  (p/h)² + (b/h)² = 1  ⇒  sin²θ + cos²θ = 1
  
  চিত্র 1: পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে ত্রিকোণমিতিক মৌলিক অভেদাবলীর জ্যামিতিক প্রমাণ

## নিজে করি 23 — সম্পূর্ণ সমাধান

### 1. যদি $\tan\theta = \frac{4}{3}$ হয়, তবে $\sqrt{\frac{1 + \sin\theta}{1 - \sin\theta}}$-এর মান কত?

**সমাধান:**

প্রদত্ত $\tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{4}{3}$।

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $= \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$।

অতএব $\sin\theta = \frac{4}{5}$।

রাশিটিতে মান বসিয়ে পাই:

$\sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{5}}} = \sqrt{\frac{9}{1}} = 3$

**উত্তর:** **নির্ণেয় মান $3$।**

### 2. যদি $\tan\theta + \cot\theta = 2$ হয়, তবে $\tan^7\theta + \cot^7\theta$-এর মান নির্ণয় করি।

**সমাধান:**

প্রদত্ত:

$\tan\theta + \cot\theta = 2$

$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = 2$

$\frac{\tan^2\theta + 1}{\tan\theta} = 2$

$\tan^2\theta + 1 = 2\tan\theta$

$\tan^2\theta - 2\tan\theta + 1 = 0$

$(\tan\theta - 1)^2 = 0$

$\tan\theta - 1 = 0 \implies \tan\theta = 1$

অতএব $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{1} = 1$।

এখন:

$\tan^7\theta + \cot^7\theta = (1)^7 + (1)^7 = 1 + 1 = 2$

**উত্তর:** **$\tan^7\theta + \cot^7\theta = 2$।**

## পাঠ্যবইয়ের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ (Starred Applications)

### প্রয়োগ 8: জ্যামিতিক পদ্ধতিতে প্রমাণ করি যে $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$।

**প্রদত্ত:**

ধরি একটি সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর $\angle B = 90^\circ$ এবং সূক্ষ্মকোণ $\angle ACB = \theta$।

কোণ $\theta$-এর সাপেক্ষে লম্ব $= AB$, ভূমি $= BC$ এবং অতিভুজ $= AC$।

**প্রামাণ্য:**

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

**প্রমাণ:**

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:

$AB^2 + BC^2 = AC^2$

উভয়পক্ষকে $AC^2$ দ্বারা ভাগ করে পাই:

$\frac{AB^2}{AC^2} + \frac{BC^2}{AC^2} = \frac{AC^2}{AC^2}$

$\left(\frac{AB}{AC}\right)^2 + \left(\frac{BC}{AC}\right)^2 = 1$

আমরা জানি ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সংজ্ঞানুসারে:

$\sin\theta = \frac{AB}{AC}$ এবং $\cos\theta = \frac{BC}{AC}$।

মান বসিয়ে পাই:

$(\sin\theta)^2 + (\cos\theta)^2 = 1$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

**প্রমাণিত।**

### প্রয়োগ 27: যদি $\sin\theta + \sin^2\theta = 1$ হয়, তবে প্রমাণ করি যে $\cos^2\theta + \cos^4\theta = 1$।

**সমাধান:**

প্রদত্ত:

$\sin\theta + \sin^2\theta = 1$

বা, $\sin\theta = 1 - \sin^2\theta$

যেহেতু $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$, তাই:

$\sin\theta = \cos^2\theta$   ...(1)

উভয়পক্ষের বর্গ করে পাই:

$\sin^2\theta = (\cos^2\theta)^2$

$\sin^2\theta = \cos^4\theta$   ...(2)

এখন বামপক্ষ:

$\cos^2\theta + \cos^4\theta$

সমীকরণ $(1)$ ও $(2)$ থেকে মান বসিয়ে পাই:

$= \sin\theta + \sin^2\theta$

প্রদত্ত তথ্য অনুসারে $\sin\theta + \sin^2\theta = 1$।

অতএব $\cos^2\theta + \cos^4\theta = 1$।

**প্রমাণিত।**

### প্রয়োগ 35: $\theta$ অপনয়ন করি: $x = a\sec\theta$ এবং $y = b\tan\theta$

**সমাধান:**

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় থেকে পাই:

$\sec\theta = \frac{x}{a}$

$\tan\theta = \frac{y}{b}$

আমরা জানি মৌলিক অভেদ:

$\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$

মান বসিয়ে পাই:

$\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

**উত্তর:** **$\theta$ অপনীত নির্ণেয় সম্পর্কটি হলো $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$।**

---
Published by Exam Uttoron (https://examuttoron.com). For educational use and AI citations.