# পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত — কষে দেখি 24 সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Complementary Angles Solutions)

- **Source**: Exam Uttoron.in (https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-24-complementary-angles-koshe-dekhi-24-solutions)
- **Category**: Subject Study Guides
- **Author**: Editorial Team
- **Published Date**: October 24, 2026
- **Format**: STANDARD

## Executive Summary / Quick Takeaways
> পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ চতুর্বিংশ অধ্যায় "পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত" এর কষে দেখি 24 এর সম্পূর্ণ সমাধান। $\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$, $\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta$ সূত্রাবলী ও সমস্যা সমাধান।

## Article Content
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের **অধ্যায় 24: পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementary Angles)**-এর অন্তর্গত **কষে দেখি 24**-এর প্রতিটি সূত্র, জ্যামিতিক ব্যাখ্যা এবং সমস্ত গাণিতিক অনুশীলনী প্রশ্নের পুঙ্খানুপুঙ্খ ও নির্ভুল সমাধান নিচে সহজ ভাষায় প্রদান করা হলো।

  
    
    

    
    

    
    
    θ

    
    
    90° - θ

    
    
    A

    
    B (90°)

    
    C

    
    AB
    BC
    AC

    
    sin(90° - θ) = BC/AC = cos θ  |  cos(90° - θ) = AB/AC = sin θ
  
  চিত্র 1: সমকোণী ত্রিভুজে দুটি সূক্ষ্মকোণ পরস্পর পূরক কোণ (A + C = 90°)

  

পূরক কোণের 6টি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সূত্র:

  
    1. $\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$
    2. $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$
    3. $\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta$
    4. $\cot(90^\circ - \theta) = \tan\theta$
    5. $\sec(90^\circ - \theta) = \csc\theta$
    6. $\csc(90^\circ - \theta) = \sec\theta$
  

## কষে দেখি 24 — অনুশীলনী সমাধান

### 1. মান নির্ণয় করি:

**(i) $\frac{\sin 38^\circ}{\cos 52^\circ}$**

**(ii) $\csc 79^\circ \cos 11^\circ$**

**(iii) $\frac{\tan 27^\circ}{\cot 63^\circ}$**

**সমাধান:**

**(i) $\frac{\sin 38^\circ}{\cos 52^\circ}$:**

যেহেতু $38^\circ + 52^\circ = 90^\circ \implies 38^\circ = 90^\circ - 52^\circ$।

$= \frac{\sin(90^\circ - 52^\circ)}{\cos 52^\circ} = \frac{\cos 52^\circ}{\cos 52^\circ} = 1$।

**(ii) $\csc 79^\circ \cos 11^\circ$:**

যেহেতু $79^\circ = 90^\circ - 11^\circ$।

$= \csc(90^\circ - 11^\circ) \cos 11^\circ = \sec 11^\circ \cos 11^\circ = \frac{1}{\cos 11^\circ} \times \cos 11^\circ = 1$।

**(iii) $\frac{\tan 27^\circ}{\cot 63^\circ}$:**

যেহেতু $27^\circ = 90^\circ - 63^\circ$।

$= \frac{\tan(90^\circ - 63^\circ)}{\cot 63^\circ} = \frac{\cot 63^\circ}{\cot 63^\circ} = 1$।

### 2. দেখাই যে: $\cos^2 57^\circ + \cos^2 33^\circ = 1$ এবং $\csc^2 48^\circ - \tan^2 42^\circ = 1$।

**সমাধান:**

**(i) প্রথমটির ক্ষেত্রে:**

বামপক্ষ $= \cos^2 57^\circ + \cos^2 33^\circ$

যেহেতু $33^\circ = 90^\circ - 57^\circ$:

$= \cos^2 57^\circ + [\cos(90^\circ - 57^\circ)]^2$

$= \cos^2 57^\circ + \sin^2 57^\circ = 1$ = ডানপক্ষ। [প্রমাণিত]

**(ii) দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রে:**

বামপক্ষ $= \csc^2 48^\circ - \tan^2 42^\circ$

যেহেতু $42^\circ = 90^\circ - 48^\circ$:

$= \csc^2 48^\circ - [\tan(90^\circ - 48^\circ)]^2$

$= \csc^2 48^\circ - \cot^2 48^\circ = 1$ = ডানপক্ষ। [প্রমাণিত]

### 3. যদি $\angle A + \angle B = 90^\circ$ হয়, তবে প্রমাণ করি যে $1 + \frac{\tan A}{\tan B} = \sec^2 A$।

**সমাধান:**

প্রদত্ত $A + B = 90^\circ \implies B = 90^\circ - A$।

বামপক্ষ:

$= 1 + \frac{\tan A}{\tan B}$

$= 1 + \frac{\tan A}{\tan(90^\circ - A)}$

$= 1 + \frac{\tan A}{\cot A}$

$= 1 + \tan A \times \frac{1}{\cot A}$

$= 1 + \tan A \times \tan A$

$= 1 + \tan^2 A$

আমরা জানি ত্রিকোণমিতিক মৌলিক অভেদ $1 + \tan^2 A = \sec^2 A$।

$= \sec^2 A$ = ডানপক্ষ।

**প্রমাণিত।**

### 4. যেকোনো ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করি যে $\sin\left(\frac{B + C}{2}\right) = \cos\left(\frac{A}{2}\right)$।

**সমাধান:**

যেকোনো ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর তিনটি কোণের সমষ্টি $180^\circ$:

$A + B + C = 180^\circ$

$B + C = 180^\circ - A$

উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই:

$\frac{B + C}{2} = \frac{180^\circ - A}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$

এখন বামপক্ষ:

$= \sin\left(\frac{B + C}{2}\right)$

$= \sin\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right)$

$= \cos\left(\frac{A}{2}\right)$ = ডানপক্ষ।

**প্রমাণিত।**

### 5. যদি $\sec 5A = \csc(A + 36^\circ)$ হয় এবং $5A$ একটি ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে $A$-এর মান কত?

**সমাধান:**

প্রদত্ত:

$\sec 5A = \csc(A + 36^\circ)$

আমরা জানি $\sec\theta = \csc(90^\circ - \theta)$।

অতএব $\sec 5A = \csc(90^\circ - 5A)$ বসিয়ে পাই:

$\csc(90^\circ - 5A) = \csc(A + 36^\circ)$

উভয়পক্ষের কোণ তুলনা করে পাই:

$90^\circ - 5A = A + 36^\circ$

$90^\circ - 36^\circ = A + 5A$

$54^\circ = 6A$

$A = \frac{54^\circ}{6} = 9^\circ$

**উত্তর:** **$A = 9^\circ$।**

---
Published by Exam Uttoron (https://examuttoron.com). For educational use and AI citations.