# পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত — নিজে করি ও প্রয়োগ সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Complementary Angles Nije Kori & Proyog)

- **Source**: Exam Uttoron.in (https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-24-complementary-angles-nije-kori-and-proyog-solutions)
- **Category**: Subject Study Guides
- **Author**: Admin
- **Published Date**: October 25, 2026
- **Format**: CHAPTER_SOLUTION

## Executive Summary / Quick Takeaways
> WBBSE দশম শ্রেণি গণিত প্রকাশ অধ্যায় 24 পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এর নিজে করি ও গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ (প্রয়োগ 8, 11, 13) এর চিত্রসহ সহজ সমাধান।

## Article Content
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের **অধ্যায় 24: পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementary Angles)**-এর সমস্ত **"নিজে করি"** এবং মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ **"প্রয়োগ" (Starred Proyog)**-এর প্রতিটি গাণিতিক সমস্যার চিত্রসহ সম্পূর্ণ সমাধান নিচে সহজ ভাষায় প্রদান করা হলো।

  
    
    

    
    

    
    
    O

    
    
    θ

    
    
    90° - θ

    
    
    45° অক্ষ

    
    প্রয়োগ 8: tan θ · tan(90° - θ) = tan θ · cot θ = 1
  
  চিত্র 1: পূরক কোণদ্বয়ের প্রতিসাম্য ও গুণফলীয় সম্পর্ক (tan θ · cot θ = 1)

## নিজে করি 24 — সম্পূর্ণ সমাধান

### 1. মান নির্ণয় করি: $\frac{\sin 43^\circ}{\cos 47^\circ} + \frac{\cos 19^\circ}{\sin 71^\circ} - 8\cos^2 60^\circ$

**সমাধান:**

পূরক কোণের সূত্র প্রয়োগ করে:

$\sin 43^\circ = \sin(90^\circ - 47^\circ) = \cos 47^\circ$

$\cos 19^\circ = \cos(90^\circ - 71^\circ) = \sin 71^\circ$

এছাড়া আমরা জানি $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$।

রাশিটিতে মান বসিয়ে পাই:

$= \frac{\cos 47^\circ}{\cos 47^\circ} + \frac{\sin 71^\circ}{\sin 71^\circ} - 8\left(\frac{1}{2}\right)^2$

$= 1 + 1 - 8 \times \frac{1}{4}$

$= 2 - 2 = 0$

**উত্তর:** **নির্ণেয় মান $0$।**

## পাঠ্যবইয়ের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ (Starred Applications)

### প্রয়োগ 8: প্রমাণ করি যে, $\tan 1^\circ \tan 2^\circ \tan 3^\circ \cdots \tan 88^\circ \tan 89^\circ = 1$।

**সমাধান:**

বামপক্ষ:

$= \tan 1^\circ \tan 2^\circ \tan 3^\circ \cdots \tan 44^\circ \tan 45^\circ \tan 46^\circ \cdots \tan 87^\circ \tan 88^\circ \tan 89^\circ$

পূরক কোণের নিয়ম অনুসারে:

$\tan 89^\circ = \tan(90^\circ - 1^\circ) = \cot 1^\circ$

$\tan 88^\circ = \tan(90^\circ - 2^\circ) = \cot 2^\circ$

$\tan 87^\circ = \tan(90^\circ - 3^\circ) = \cot 3^\circ$

$\dots$

$\tan 46^\circ = \tan(90^\circ - 44^\circ) = \cot 44^\circ$

এবং মধ্যবর্তী কোণ $\tan 45^\circ = 1$।

পদগুলিকে জোড়ায় সাজিয়ে পাই:

$= (\tan 1^\circ \cot 1^\circ)(\tan 2^\circ \cot 2^\circ)(\tan 3^\circ \cot 3^\circ) \cdots (\tan 44^\circ \cot 44^\circ) \times \tan 45^\circ$

যেহেতু $\tan\theta \cot\theta = 1$ এবং $\tan 45^\circ = 1$:

$= (1) \times (1) \times (1) \times \cdots \times (1) \times 1 = 1$ = ডানপক্ষ।

**প্রমাণিত।**

### প্রয়োগ 11: দেখাই যে, $\cos(40^\circ + \theta) - \sin(50^\circ - \theta) = 0$।

**সমাধান:**

বামপক্ষ:

$= \cos(40^\circ + \theta) - \sin(50^\circ - \theta)$

আমরা জানি $\cos A = \sin(90^\circ - A)$।

এখানে $A = 40^\circ + \theta$ ধরলে:

$\cos(40^\circ + \theta) = \sin[90^\circ - (40^\circ + \theta)] = \sin(90^\circ - 40^\circ - \theta) = \sin(50^\circ - \theta)$

মান বসিয়ে পাই:

$= \sin(50^\circ - \theta) - \sin(50^\circ - \theta) = 0$ = ডানপক্ষ।

**প্রমাণিত।**

### প্রয়োগ 13: যদি $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয়, তবে প্রমাণ করি যে $\tan\left(\frac{A + C}{2}\right) = 0$ নয়, $\tan\left(\frac{A + B}{2}\right) = \cot\left(\frac{C + D}{2}\right)$।

**সমাধান:**

যেকোনো চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি $360^\circ$:

$A + B + C + D = 360^\circ$

$(A + B) = 360^\circ - (C + D)$

উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই:

$\frac{A + B}{2} = 180^\circ - \frac{C + D}{2}$

যদি পূরক কোণ বা চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে সম্পর্ক নির্ণয় করি:

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক: $A + C = 180^\circ$ এবং $B + D = 180^\circ$।

অতএব $\frac{A + C}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$।

সুতরাং $\sin\left(\frac{A + C}{2}\right) = \sin 90^\circ = 1$ এবং $\cos\left(\frac{A + C}{2}\right) = \cos 90^\circ = 0$।

**সিদ্ধান্ত প্রমাণিত।**

---
Published by Exam Uttoron (https://examuttoron.com). For educational use and AI citations.