# রাশিবিজ্ঞান — কষে দেখি 26.4 সম্পূর্ণ সমাধান: সংখ্যাগুরুমান (Class 10 Statistics Koshe Dekhi 26.4) - **Source**: Exam Uttoron.in (https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-26-4-statistics-koshe-dekhi-26-4-solutions) - **Category**: Subject Study Guides - **Author**: Admin - **Published Date**: October 25, 2026 - **Format**: CHAPTER_SOLUTION ## Article Content পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবই এবং ছাত্র মিত্র সহায়ক গ্রন্থের ষড়বিংশ অধ্যায় রাশিবিজ্ঞানের **কষে দেখি 26.4 (সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়, বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন MCQ, সত্য/মিথ্যা, শূন্যস্থান পূরণ ও SAQ)**-এর সমস্ত প্রশ্নের নিখুঁত সমাধান। ### রাশিবিজ্ঞানের কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপক সূত্রাবলি (Key Statistics Formulas): - **যৌগিক গড় (প্রত্যক্ষ পদ্ধতি):** $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ - **যৌগিক গড় (কল্পিত গড় পদ্ধতি):** $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$, যেখানে $d_i = x_i - a$ - **যৌগিক গড় (ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতি):** $\bar{x} = a + h \times \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}$, যেখানে $u_i = \frac{x_i - a}{h}$ এবং $h$ হলো সমশ্রেণি দৈর্ঘ্য - **মধ্যমা (শ্রেণিভুক্ত তথ্যের সূত্র):** $\text{Median} = L + \left(\frac{\frac{N}{2} - cf}{f}\right) \times h$ ($L$ = মধ্যমা শ্রেণির নিম্ন সীমানা, $cf$ = পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা, $f$ = মধ্যমা শ্রেণির পরিসংখ্যা, $h$ = শ্রেণি দৈর্ঘ্য) - **সংখ্যাগুরুমান (Mode সূত্র):** $\text{Mode} = L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h$ ($f_1$ = সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির পরিসংখ্যা, $f_0$ = পূর্ববর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা, $f_2$ = পরবর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা) - **অভিজ্ঞতালব্ধ সম্পর্ক:** $\text{Mode} = 3 \times \text{Median} - 2 \times \text{Mean}$ ($\text{সংখ্যাগুরুমান} = 3 \times \text{মধ্যমা} - 2 \times \text{যৌগিক গড়}$) ### প্রশ্ন 1. বন্ধুদের প্রাপ্ত খরচের টাকার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় (দ্বি-সংখ্যাগুরুমান) আমাদের 16 জন বন্ধুর প্রতিদিন স্কুলে যাতায়াত ও অন্যান্য খরচের জন্য প্রাপ্ত টাকার পরিমাণ (টাকায়): $$15, 16, 17, 18, 17, 19, 17, 15, 15, 10, 17, 16, 15, 16, 18, 11$$ আমাদের বন্ধুদের প্রতিদিন পাওয়া অর্থের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি। সমাধান: প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে লিখে পাই: 10, 11, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19 সংখ্যাগুলির পরিসংখ্যার তালিকা তৈরি করি: টাকা ($x$)10111516171819 **বন্ধুর সংখ্যা / পরিসংখ্যা ($f$)**11**4**3**4**21 তালিকা থেকে দেখা যাচ্ছে যে, 15 এবং 17 উভয় সংখ্যাই সমান সর্বাধিক **4 বার** করে আছে। যেহেতু দুটি সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থিত, এটি একটি দ্বি-সংখ্যাগুরুমান (Bi-modal) তথ্য। **উত্তর:** বন্ধুদের প্রতিদিন পাওয়া অর্থের সংখ্যাগুরুমান যথাক্রমে **15 টাকা** এবং **17 টাকা**। ### প্রশ্ন 2. ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় নিচে আমাদের শ্রেণির কিছু ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতা (সেমি-তে) দেওয়া হলো: $$131, 130, 130, 132, 131, 133, 131, 134, 131, 132, 132, 131, 133, 130, 132, 130, 133, 135, 131, 135, 131, 135, 130, 132, 135, 134, 133$$ ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি। সমাধান: প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই: 130 (5 বার), 131 (7 বার), 132 (5 বার), 133 (4 বার), 134 (2 বার), 135 (4 বার) উচ্চতার মানগুলির পরিসংখ্যা ছক তৈরি করে পাই: উচ্চতা (সেমি)130131132133134135 **ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা ($f$)**5**7**5424 ছক থেকে স্পষ্ট যে, 131 সেমি মানটি সর্বাধিক **7 বার** উপস্থিত রয়েছে। **উত্তর:** ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতার সংখ্যাগুরুমান হলো **131 সেমি**। ### প্রশ্ন 3(i). প্রদত্ত রাশিমালার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় নিচের রাশিতথ্যের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি: $$8, 5, 4, 6, 7, 4, 4, 3, 5, 4, 5, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 3, 5, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 2, 3, 4$$ সমাধান: প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই: 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8 সংখ্যাগুলির পরিসংখ্যার তালিকা তৈরি করি: মান ($x$)2345678 **পরিসংখ্যা ($f$)**14**12**10211 তালিকা থেকে স্পষ্ট দেখা যাচ্ছে যে, 4 সংখ্যাটি সর্বাধিক **12 বার** উপস্থিত আছে। **উত্তর:** নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান **4**। ### প্রশ্ন 3(ii). প্রদত্ত রাশিমালার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় (দ্বি-সংখ্যাগুরুমান) নিচের রাশিতথ্যের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি: $$15, 11, 10, 8, 15, 18, 17, 15, 10, 19, 10, 11, 10, 8, 19, 15, 10, 18, 15, 3, 16, 14, 17, 2$$ সমাধান: প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই: 2, 3, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19 সংখ্যাগুলির পরিসংখ্যার তালিকা তৈরি করি: মান ($x$)2381011141516171819 **পরিসংখ্যা ($f$)**112**5**21**5**1222 এখানে 10 এবং 15 উভয় সংখ্যাই সমান সর্বাধিক **5 বার** করে উপস্থিত। এটি একটি দ্বি-সংখ্যাগুরুমান তথ্য। **উত্তর:** নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান যথাক্রমে **10** এবং **15**। ### প্রশ্ন 4. জুতোর দোকানের বিক্রির সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় আমাদের পাড়ার একটি জুতোর দোকানে একটি বিশেষ কোম্পানির জুতো বিক্রির পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা হলো: সাইজ ($x_i$)23456789 **পরিসংখ্যা ($f_i$)**34535432 জুতো বিক্রির সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি। সমাধান: উপরের ছক থেকে দেখা যাচ্ছে যে, 4 নম্বর সাইজের জুতো 5 জন এবং 6 নম্বর সাইজের জুতো 5 জন নিয়েছে, যা সর্বাধিক পরিসংখ্যা (5)। যেহেতু সর্বাধিক পরিসংখ্যা 5 এবং এর অনুরূপ দুটি পৃথক সাইজ রয়েছে (4 এবং 6), তাই প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 2টি। **উত্তর:** বিক্রিত জুতোর মাপের সংখ্যাগুরুমান হলো **4 নম্বর** এবং **6 নম্বর**। ### প্রশ্ন 5. পরীক্ষার্থীদের বয়সের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় একটি প্রবেশিকা পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর বয়সের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি: বয়স (বছর)16–1818–2020–2222–2424–26 **পরীক্ষার্থীর সংখ্যা**4575382220 সমাধান: প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজনে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 75, যা **18–20** শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত। সুতরাং সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণিটি হলো **18–20**। আমরা জানি, সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়ের সূত্র: $$\text{Mode} = L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h$$ এখানে: - সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্ন শ্রেণি সীমানা $L = 18$ - সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির পরিসংখ্যা $f_1 = 75$ - সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির ঠিক পূর্ববর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা $f_0 = 45$ - সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির ঠিক পরবর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা $f_2 = 38$ - শ্রেণি দৈর্ঘ্য $h = 20 - 18 = 2$ সূত্রে মান বসিয়ে পাই: $$\text{Mode} = 18 + \left(\frac{75 - 45}{2(75) - 45 - 38}\right) \times 2$$ $$= 18 + \left(\frac{30}{150 - 83}\right) \times 2 = 18 + \frac{60}{67}$$ $$= 18 + 0.8955 \approx 18.90$$ **উত্তর:** পরীক্ষার্থীদের বয়সের নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান **18.90 বছর** (প্রায়)। ### প্রশ্ন 6. পর্যায়ক্রমিক পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বরের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় শ্রেণির একটি পর্যায়ক্রমিক পরীক্ষায় 80 জন ছাত্রছাত্রীর প্রাপ্ত নম্বরের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা থেকে সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি: নম্বর0–55–1010–1515–2020–2525–3030–3535–40 **ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা**261016221185 সমাধান: প্রদত্ত বিভাজনে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 22, যা **20–25** শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত। সুতরাং সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণিটি হলো **20–25**। সংখ্যাগুরুমানের সূত্র: $$\text{Mode} = L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h$$ এখানে: - $L = 20$ (নিম্ন শ্রেণি সীমানা) - $f_1 = 22$ (সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির পরিসংখ্যা) - $f_0 = 16$ (পূর্ববর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা) - $f_2 = 11$ (পরবর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা) - $h = 5$ (শ্রেণি দৈর্ঘ্য) মান বসিয়ে পাই: $$\text{Mode} = 20 + \left(\frac{22 - 16}{2(22) - 16 - 11}\right) \times 5$$ $$= 20 + \left(\frac{6}{44 - 27}\right) \times 5 = 20 + \frac{30}{17}$$ $$= 20 + 1.7647 \approx 21.76$$ **উত্তর:** প্রাপ্ত নম্বরের নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান **21.76** (প্রায়)। ### প্রশ্ন 7. পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় নিচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি: শ্রেণি0–55–1010–1515–2020–2525–3030–35 **পরিসংখ্যা**512182817128 সমাধান: প্রদত্ত বিভাজনে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 28, যা **15–20** শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত। সুতরাং সংখ্যাগুরুমান শ্রেণিটি হলো **15–20**। এখানে: - $L = 15$ - $f_1 = 28$ - $f_0 = 18$ - $f_2 = 17$ - $h = 5$ সংখ্যাগুরুমানের সূত্রে মান বসিয়ে পাই: $$\text{Mode} = L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h$$ $$= 15 + \left(\frac{28 - 18}{2(28) - 18 - 17}\right) \times 5$$ $$= 15 + \left(\frac{10}{56 - 35}\right) \times 5 = 15 + \frac{50}{21}$$ $$= 15 + 2.3809 \approx 17.38$$ **উত্তর:** নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান **17.38** (প্রায়)। ### প্রশ্ন 8. অন্তর্ভুক্তিমূলক শ্রেণি সীমানার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় নিচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি: শ্রেণি45–5455–6465–7475–8485–9495–104 **পরিসংখ্যা**8131932126 সমাধান: প্রদত্ত শ্রেণিগুলি অন্তর্ভুক্তিমূলক (inclusive) পদ্ধতিতে আছে। শ্রেণি সীমানায় রূপান্তর করে পাই: শ্রেণি সীমাশ্রেণি সীমানাপরিসংখ্যা ($f$) 45–5444.5–54.58 55–6454.5–64.513 65–7464.5–74.519 ($f_0$) **75–84****74.5–84.5****32 ($f_1$) [সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি]** 85–9484.5–94.512 ($f_2$) 95–10494.5–104.56 এখানে সর্বাধিক পরিসংখ্যা $f_1 = 32$, যা **74.5–84.5** শ্রেণিতে রয়েছে। - $L = 74.5$ - $f_1 = 32$ - $f_0 = 19$ - $f_2 = 12$ - $h = 84.5 - 74.5 = 10$ সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়: $$\text{Mode} = L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h$$ $$= 74.5 + \left(\frac{32 - 19}{2(32) - 19 - 12}\right) \times 10$$ $$= 74.5 + \left(\frac{13}{64 - 31}\right) \times 10 = 74.5 + \frac{130}{33}$$ $$= 74.5 + 3.9393 \approx 78.44$$ **উত্তর:** নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান **78.44** (প্রায়)। ### প্রশ্ন 10(A)(i). বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ): মধ্যমা নির্ণয়ের লেখচিত্র একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের মধ্যমা যে লেখচিত্রের সাহায্যে পাওয়া যায় তা হলো — (a) পরিসংখ্যা রেখা      (b) পরিসংখ্যা বহুভুজ      (c) আয়তলেখ      (d) ওজাইভ সমাধান: ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার লেখচিত্র অর্থাৎ ‘ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ’ এবং ‘বৃহত্তর সূচক ওজাইভ’-এর ছেদবিন্দুর ভুজ ($x$-স্থানাঙ্ক) থেকে সরাসরি মধ্যমা নির্ণয় করা যায়। **উত্তর:** সঠিক বিকল্প হলো **(d) ওজাইভ**। ### প্রশ্ন 10(A)(ii). বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ): রাশিগুলির গড় থেকে সমীকরণ নির্ণয় $6, 7, x, 8, y, 14$ সংখ্যাগুলির গড় 9 হলে — (a) $x + y = 21$      (b) $x + y = 19$      (c) $x - y = 21$      (d) $x - y = 19$ সমাধান: এখানে মোট পদের সংখ্যা = 6। প্রশ্নানুসারে, গড় = 9। $$\frac{6 + 7 + x + 8 + y + 14}{6} = 9$$ $$35 + x + y = 54$$ $$x + y = 54 - 35 = 19$$ **উত্তর:** সঠিক বিকল্প হলো **(b) $x + y = 19$**। ### প্রশ্ন 10(A)(iii). বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ): মধ্যমা পরিবর্তন নিরূপণ $30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40$ তথ্যে 35 না থাকলে মধ্যমা বৃদ্ধি পায় — (a) 2      (b) 1.5      (c) 1      (d) 0.5 সমাধান: প্রদত্ত সাজানো তথ্যে পদের সংখ্যা $n = 8$ (জোড়)। $$\text{প্রাথমিক মধ্যমা} = \frac{4\text{র্থ পদ} + 5\text{ম পদ}}{2} = \frac{36 + 37}{2} = \frac{73}{2} = 36.5$$ এখন 35 বাদ দিলে নতুন রাশিতথ্য হয়: $30, 34, 36, 37, 38, 39, 40$ (যেখানে পদসংখ্যা $n = 7$, বিজোড়)। $$\text{নতুন মধ্যমা} = \left(\frac{7+1}{2}\right)\text{-তম পদ} = 4\text{র্থ পদ} = 37$$ $$\text{মধ্যমা বৃদ্ধি} = 37 - 36.5 = 0.5$$ **উত্তর:** সঠিক বিকল্প হলো **(d) 0.5**। ### প্রশ্ন 10(A)(iv). বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ): সংখ্যাগুরুমান থেকে অজ্ঞাত চলক নির্ণয় $16, 15, 17, 16, 15, x, 19, 17, 14$ তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 15 হলে, $x$-এর মান — (a) 15      (b) 16      (c) 17      (d) 19 সমাধান: প্রদত্ত রাশিমালার মানগুলির পুনরাবৃত্তি দেখি: - 14 এসেছে 1 বার - 15 এসেছে 2 বার - 16 এসেছে 2 বার - 17 এসেছে 2 বার - 19 এসেছে 1 বার তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান 15 হতে হলে 15-কে সর্বাধিক বার থাকতে হবে। অর্থাৎ 15-এর পরিসংখ্যা অন্য যেকোনো সংখ্যার চেয়ে বেশি হতে হবে। অতএব $x$-এর মান অবশ্যই 15 হতে হবে, যাতে 15 সংখ্যাটি মোট 3 বার আসে। **উত্তর:** সঠিক বিকল্প হলো **(a) 15**। ### প্রশ্ন 10(A)(v). বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ): মধ্যমা থেকে x নির্ণয় ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজানো $8, 9, 12, 17, x+2, x+4, 30, 31, 34, 39$ তথ্যের মধ্যমা 24 হলে, $x$-এর মান — (a) 22      (b) 21      (c) 20      (d) 24 সমাধান: এখানে মোট পদসংখ্যা $n = 10$ (জোড় সংখ্যা)। $$\text{মধ্যমা} = \frac{\left(\frac{10}{2}\right)\text{-তম পদ} + \left(\frac{10}{2} + 1\right)\text{-তম পদ}}{2} = \frac{5\text{ম পদ} + 6\text{ষ্ঠ পদ}}{2}$$ $$\text{মধ্যমা} = \frac{(x + 2) + (x + 4)}{2} = \frac{2x + 6}{2} = x + 3$$ প্রশ্নানুসারে, মধ্যমা = 24: $$x + 3 = 24 \implies x = 24 - 3 = 21$$ **উত্তর:** সঠিক বিকল্প হলো **(b) 21**। ### প্রশ্ন 10(B)(i). সত্য বা মিথ্যা নিরূপণ: সংখ্যাগুরুমান পরীক্ষা সত্য না মিথ্যা লিখি: $2, 3, 9, 10, 9, 3, 9$ তথ্যের সংখ্যাগুরুমান হলো 10। সমাধান: প্রদত্ত তথ্যে সংখ্যাগুলির উপস্থিতি: - 2 এসেছে 1 বার - 3 এসেছে 2 বার - 9 এসেছে 3 বার - 10 এসেছে 1 বার এখানে 9 সংখ্যাটি সর্বাধিক 3 বার উপস্থিত রয়েছে। সুতরাং তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান হলো 9, 10 নয়। **উত্তর:** বিবৃতিটি **মিথ্যা**। ### প্রশ্ন 10(B)(ii). সত্য বা মিথ্যা নিরূপণ: তথ্যের মধ্যমা পরীক্ষা সত্য না মিথ্যা লিখি: $3, 14, 18, 20, 5$ তথ্যের মধ্যমা 18। সমাধান: প্রদত্ত 5টি সংখ্যাকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই: 3, 5, 14, 18, 20 এখানে পদসংখ্যা $n = 5$ (বিজোড়)। $$\text{মধ্যমা} = \left(\frac{5 + 1}{2}\right)\text{-তম পদ} = 3\text{য় পদ} = 14$$ কিন্তু প্রশ্নে মধ্যমা 18 বলা হয়েছে। **উত্তর:** বিবৃতিটি **মিথ্যা**। ### প্রশ্ন 10(C)(i). শূন্যস্থান পূরণ: কেন্দ্রীয় প্রবণতার মাপক শূন্যস্থান পূরণ করি: যৌগিক গড়, মধ্যমা, সংখ্যাগুরুমান হলো ______ প্রবণতার মাপক। সমাধান: পরিসংখ্যানে যৌগিক গড় (Mean), মধ্যমা (Median) এবং সংখ্যাগুরুমান (Mode) হলো কেন্দ্রীয় প্রবণতার তিনটি প্রধান পরিমাপক (Measures of Central Tendency)। **উত্তর:** শূন্যস্থানে বসবে **কেন্দ্রীয়**। ### প্রশ্ন 10(C)(ii). শূন্যস্থান পূরণ: ধ্রুবক গুণিতকের গড় শূন্যস্থান পূরণ করি: $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$-এর গড় $\bar{x}$ হলে, $ax_1, ax_2, ax_3, \dots, ax_n$-এর গড় ______ ($a \neq 0$)। সমাধান: আমরা জানি, প্রতিটি মানকে অশূন্য ধ্রুবক $a$ দিয়ে গুণ করলে নতুন গড়টিও মূল গড়ের $a$ গুণ হয়: $$\text{নতুন গড়} = \frac{ax_1 + ax_2 + \dots + ax_n}{n} = a\left(\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\right) = a\bar{x}$$ **উত্তর:** শূন্যস্থানে বসবে **$a\bar{x}$**। ### প্রশ্ন 10(C)(iii). শূন্যস্থান পূরণ: ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতির শর্ত শূন্যস্থান পূরণ করি: ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে বিন্যস্ত রাশিতথ্যের যৌগিক গড় নির্ণয়ের সময় সকল শ্রেণির শ্রেণি-দৈর্ঘ্য ______ হতে হয়। সমাধান: ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে $u_i = \frac{x_i - a}{h}$ সূত্র প্রয়োগ করার জন্য প্রতিটি শ্রেণির দৈর্ঘ্য $h$-এর মান পরস্পর সমান হতে হয়। **উত্তর:** শূন্যস্থানে বসবে **সমান**। ### প্রশ্ন 11(i). সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন (SAQ): মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির সীমানার অন্তরফল নিচের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি দেখি: শ্রেণি সীমা65–8585–105105–125125–145145–165165–185185–205 **পরিসংখ্যা**41532014714 মধ্যমা শ্রেণির ঊর্ধ্বসীমানা এবং সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্নসীমানার অন্তরফল নির্ণয় করি। সমাধান: প্রথমে ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার তালিকা তৈরি করি: শ্রেণি সীমাপরিসংখ্যা ($f$)ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ($cf$) 65–8544 85–1051519 105–125322 **125–145****20****42** 145–1651456 165–185763 185–2051477 এখানে মোট পরিসংখ্যা $n = 77$, সুতরাং $\frac{n}{2} = \frac{77}{2} = 38.5$। 38.5 এর ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হলো 42, যার অনুরূপ শ্রেণিটি হলো **125–145**। অতএব মধ্যমা শ্রেণি = **125–145**, যার ঊর্ধ্বসীমানা = **145**। আবার, ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 20, যার অনুরূপ সংখ্যাগুরুমান শ্রেণিটিও হলো **125–145**। অতএব সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্নসীমানা = **125**। **নির্ণেয় অন্তরফল** = মধ্যমা শ্রেণির ঊর্ধ্বসীমানা − সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্নসীমানা $$= 145 - 125 = 20$$ **উত্তর:** নির্ণেয় অন্তরফল হলো **20**। ### প্রশ্ন 11(ii). সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন (SAQ): অ্যাথলিটদের ক্রমযৌগিক হিসাব 150 জন অ্যাথলিট 100 মিটার হার্ডল রেস যত সেকেন্ডে সম্পূর্ণ করে তার একটি পরিসংখ্যা বিভাজন ছক নিচে দেওয়া আছে: সময় (সেকেন্ডে)13.8–1414–14.214.2–14.414.4–14.614.6–14.814.8–15 **অ্যাথলিটের সংখ্যা**245714820 14.6 সেকেন্ডের কম সময়ে কতজন অ্যাথলিট 100 মিটার দৌড় সম্পন্ন করে তা নির্ণয় করি। সমাধান: 14.6 সেকেন্ডের কম সময়ের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার ছক তৈরি করি: সময়অ্যাথলিটের সংখ্যা 14-এর কম2 14.2-এর কম2 + 4 = 6 14.4-এর কম6 + 5 = 11 **14.6-এর কম****11 + 71 = 82** 14.8-এর কম82 + 48 = 130 15-এর কম130 + 20 = 150 ছক থেকে স্পষ্ট যে, 14.6 সেকেন্ডের কম সময়ে দৌড় সম্পূর্ণ করেছে প্রথম চারটি শ্রেণির মোট অ্যাথলিট সংখ্যা: $$2 + 4 + 5 + 71 = 82\text{ জন}$$ **উত্তর:** 14.6 সেকেন্ডের কম সময়ে **82 জন** অ্যাথলিট 100 মিটার দৌড় সম্পন্ন করে। ### প্রশ্ন 11(iii). সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন (SAQ): গড় থেকে k নির্ণয় একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় 8.1, $\sum f_i x_i = 132 + 5k$ এবং $\sum f_i = 20$ হলে, $k$-এর মান নির্ণয় করি। সমাধান: আমরা জানি, প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে যৌগিক গড় $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$। প্রশ্নানুসারে মান বসিয়ে পাই: $$\frac{132 + 5k}{20} = 8.1$$ $$132 + 5k = 8.1 \times 20$$ $$132 + 5k = 162$$ $$5k = 162 - 132 = 30$$ $$k = \frac{30}{5} = 6$$ **উত্তর:** নির্ণেয় $k$-এর মান **6**। ### প্রশ্ন 11(iv). সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন (SAQ): ক্রমবিচ্যুতি থেকে গড় নির্ণয় যদি $u_i = \frac{x_i - 25}{10}$, $\sum f_i u_i = 20$ এবং $\sum f_i = 100$ হয়, তাহলে $\bar{x}$-এর মান নির্ণয় করি। সমাধান: ক্রমবিচ্যুতির প্রমিত রূপ $u_i = \frac{x_i - a}{h}$-এর সঙ্গে তুলনা করে পাই: - কল্পিত গড় $a = 25$ - শ্রেণি দৈর্ঘ্য $h = 10$ ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতিতে যৌগিক গড়ের সূত্র: $$\bar{x} = a + h \times \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right)$$ মান বসিয়ে পাই: $$\bar{x} = 25 + 10 \times \left(\frac{20}{100}\right)$$ $$\bar{x} = 25 + 10 \times 0.2 = 25 + 2 = 27$$ **উত্তর:** নির্ণেয় $\bar{x}$-এর মান **27**। ### প্রশ্ন 11(v). সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন (SAQ): সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি নির্ধারণ নিচের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি দেখি: নম্বর0–1010–2020–3030–4040–5050–60 **ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা**391830185 সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণিটি লিখি। সমাধান: প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায় যে, ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা অর্থাৎ পরিসংখ্যার সর্বাধিক মান হলো **30**। এই সর্বাধিক পরিসংখ্যা 30-এর অনুরূপ নম্বর শ্রেণিটি হলো **30–40**। যেহেতু সর্বাধিক পরিসংখ্যাযুক্ত শ্রেণিটিই সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি (Modal Class) হয়, **উত্তর:** সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণিটি হলো **30–40**। --- Published by Exam Uttoron (https://examuttoron.com). For educational use and AI citations.