# আয়তঘন — 50টি সেরা MCQ ও উত্তর সমাধান (Class 10 Math Chapter 4 MCQ) - **Source**: Exam Uttoron.in (https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-4-cuboid-50-mcq-solutions) - **Category**: Subject Study Guides - **Author**: Editorial Team - **Published Date**: October 24, 2026 - **Format**: MCQ ## Article Content পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের **অধ্যায় 4: আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped / Cuboid)** থেকে মাধ্যমিক ও বোর্ড পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ **50টি সেরা বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ)** নিচে দেওয়া হলো। প্রতিটি প্রশ্নের সাথে সঠিক উত্তর এবং ধাপে ধাপে গাণিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া রয়েছে যা শিক্ষার্থীদের স্ব-মূল্যায়নে সহায়তা করবে। ### 1. একটি সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনের মোট তলের সংখ্যা কতটি? **(A)** 4টি    **(B)** 6টি    **(C)** 8টি    **(D)** 12টি **সঠিক উত্তর:** (B) 6টি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** একটি আয়তঘনের মোট 6টি আয়তাকার সমতল থাকে (উপর-নিচ, বাম-ডান, সামনে-পেছনে)। ### 2. একটি ঘনকের ধার বা প্রান্তরেখার মোট সংখ্যা কত? **(A)** 6টি    **(B)** 8টি    **(C)** 12টি    **(D)** 16টি **সঠিক উত্তর:** (C) 12টি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** আয়তঘন বা ঘনকের মোট 12টি ধার (Edges) থাকে। ### 3. একটি আয়তঘনের শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা কত? **(A)** 4টি    **(B)** 6টি    **(C)** 8টি    **(D)** 12টি **সঠিক উত্তর:** (C) 8টি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** আয়তঘনের মোট 8টি শীর্ষবিন্দু (Vertices) থাকে। ### 4. একটি আয়তঘনের কর্ণের সংখ্যা কতটি? **(A)** 2টি    **(B)** 4টি    **(C)** 6টি    **(D)** 8টি **সঠিক উত্তর:** (B) 4টি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** একটি আয়তঘন বা ঘনকের মোট 4টি কর্ণ (Space Diagonals) থাকে। ### 5. যে আয়তঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান, তাকে কী বলা হয়? **(A)** গোলক    **(B)** চোঙ    **(C)** ঘনক    **(D)** শঙ্কু **সঠিক উত্তর:** (C) ঘনক **ব্যাখ্যা / সমাধান:** দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান বিশিষ্ট সমকোণী চৌপলকে ঘনক (Cube) বলা হয়। ### 6. একটি আয়তঘনের মাত্রাগুলি যথাক্রমে $a, b, c$ একক হলে, এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত? **(A)** $ab + bc + ca$    **(B)** $2(ab + bc + ca)$    **(C)** $abc$    **(D)** $4(a + b + c)$ **সঠিক উত্তর:** (B) $2(ab + bc + ca)$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** আয়তঘনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2(\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} + \text{প্রস্থ} \times \text{উচ্চতা} + \text{উচ্চতা} \times \text{দৈর্ঘ্য}) = 2(ab + bc + ca)$ বর্গ একক। ### 7. একটি আয়তঘনের আয়তনের সূত্র কোনটি? (দৈর্ঘ্য $= a$, প্রস্থ $= b$, উচ্চতা $= c$) **(A)** $a + b + c$    **(B)** $2(a + b)c$    **(C)** $abc$    **(D)** $\frac{1}{3}abc$ **সঠিক উত্তর:** (C) $abc$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** আয়তঘনের আয়তন $= \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} \times \text{উচ্চতা} = abc$ ঘন একক। ### 8. একটি আয়তঘনের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সূত্র কোনটি? **(A)** $\sqrt{a + b + c}$    **(B)** $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$    **(C)** $a^2 + b^2 + c^2$    **(D)** $\sqrt{2(a^2 + b^2 + c^2)}$ **সঠিক উত্তর:** (B) $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** আয়তঘনের কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{\text{দৈর্ঘ্য}^2 + \text{প্রস্থ}^2 + \text{উচ্চতা}^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ একক। ### 9. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য $a$ একক হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** $\sqrt{2}a$    **(B)** $\sqrt{3}a$    **(C)** $3a$    **(D)** $a\sqrt{6}$ **সঠিক উত্তর:** (B) $\sqrt{3}a$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ঘনকের কর্ণ $= \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ বা $\sqrt{3}a$ একক। ### 10. একটি ঘনকের একটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{2}$ cm হলে ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 2 cm    **(B)** 4 cm    **(C)** 8 cm    **(D)** $4\sqrt{3}$ cm **সঠিক উত্তর:** (B) 4 cm **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ঘনকের প্রতিটি তল একটি বর্গক্ষেত্র। বর্গাকার তলের কর্ণ $= a\sqrt{2}$। সুতরাং $a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \implies a = 4$ cm। ### 11. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 5 cm হলে, এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত? **(A)** 125 cm²    **(B)** 150 cm²    **(C)** 100 cm²    **(D)** 25 cm² **সঠিক উত্তর:** (B) 150 cm² **ব্যাখ্যা / সমাধান:** সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6a^2 = 6 \times 5^2 = 6 \times 25 = 150$ cm²। ### 12. একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 216 cm² হলে, ঘনকটির আয়তন কত? **(A)** 36 cm³    **(B)** 125 cm³    **(C)** 216 cm³    **(D)** 343 cm³ **সঠিক উত্তর:** (C) 216 cm³ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $6a^2 = 216 \implies a^2 = 36 \implies a = 6$ cm। আয়তন $V = a^3 = 6^3 = 216$ cm³। ### 13. একটি ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হলে, ঘনকটির ধারের দৈর্ঘ্য কত একক? **(A)** 3    **(B)** 4    **(C)** 6    **(D)** 12 **সঠিক উত্তর:** (C) 6 **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $a^3 = 6a^2 \implies a = 6$ একক ($a \neq 0$)। ### 14. দুটি ঘনকের আয়তনের অনুপাত 1 : 27 হলে, তাদের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? **(A)** 1 : 3    **(B)** 1 : 9    **(C)** 1 : 6    **(D)** 1 : 81 **সঠিক উত্তর:** (B) 1 : 9 **ব্যাখ্যা / সমাধান:** আয়তনের অনুপাত $\frac{a_1^3}{a_2^3} = \frac{1}{27} \implies \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$। সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $= \frac{6a_1^2}{6a_2^2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} = 1 : 9$। ### 15. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলে, তার আয়তন মূল ঘনকের কত গুণ হবে? **(A)** 2 গুণ    **(B)** 4 গুণ    **(C)** 6 গুণ    **(D)** 8 গুণ **সঠিক উত্তর:** (D) 8 গুণ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** নতুন ধার $= 2a$। নতুন আয়তন $= (2a)^3 = 8a^3$, যা মূল আয়তনের 8 গুণ। ### 16. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে? **(A)** 2 গুণ    **(B)** 3 গুণ    **(C)** 4 গুণ    **(D)** 8 গুণ **সঠিক উত্তর:** (C) 4 গুণ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** নতুন সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6(2a)^2 = 6 \times 4a^2 = 4 \times (6a^2)$, অর্থাৎ 4 গুণ হবে। ### 17. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ cm হলে ঘনকটির আয়তন কত? **(A)** 16 cm³    **(B)** 48 cm³    **(C)** 64 cm³    **(D)** 96 cm³ **সঠিক উত্তর:** (C) 64 cm³ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কর্ণ $a\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \implies a = 4$ cm। আয়তন $= a^3 = 4^3 = 64$ cm³। ### 18. একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $S$ বর্গ একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য $d$ একক হলে $S$ ও $d$-এর মধ্যে সম্পর্ক কোনটি? **(A)** $S = 2d^2$    **(B)** $S = 3d^2$    **(C)** $S = d^2$    **(D)** $S = \sqrt{3}d$ **সঠিক উত্তর:** (A) $S = 2d^2$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $d = a\sqrt{3} \implies d^2 = 3a^2 \implies a^2 = \frac{d^2}{3}$। আবার $S = 6a^2 = 6\left(\frac{d^2}{3}\right) = 2d^2$। ### 19. একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 4 m, 3 m ও 2 m হলে ঘরের চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল কত? **(A)** 24 m²    **(B)** 28 m²    **(C)** 52 m²    **(D)** 14 m² **সঠিক উত্তর:** (B) 28 m² **ব্যাখ্যা / সমাধান:** চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল $= 2(\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ}) \times \text{উচ্চতা} = 2(4 + 3) \times 2 = 2 \times 7 \times 2 = 28$ m²। ### 20. 10 m দীর্ঘ, 8 m প্রশস্ত এবং 6 m উঁচু একটি ঘরে সর্বাপেক্ষা দীর্ঘ যে দণ্ডটি রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য কত? **(A)** $10\sqrt{2}$ m    **(B)** 24 m    **(C)** 12 m    **(D)** 14 m **সঠিক উত্তর:** (A) $10\sqrt{2}$ m **ব্যাখ্যা / সমাধান:** সর্বাপেক্ষা দীর্ঘ দণ্ডের দৈর্ঘ্য $=$ ঘরের কর্ণ $= \sqrt{10^2 + 8^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 64 + 36} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ m। ### 21. একটি আয়তঘনের দৈর্ঘ্য 5 cm, প্রস্থ 4 cm এবং উচ্চতা 3 cm হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** $5\sqrt{2}$ cm    **(B)** 12 cm    **(C)** 6 cm    **(D)** $5\sqrt{3}$ cm **সঠিক উত্তর:** (A) $5\sqrt{2}$ cm **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কর্ণ $= \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ cm। ### 22. একটি আয়তঘনের আয়তন 60 cm³, দৈর্ঘ্য 5 cm এবং প্রস্থ 4 cm হলে উচ্চতা কত? **(A)** 2 cm    **(B)** 3 cm    **(C)** 4 cm    **(D)** 5 cm **সঠিক উত্তর:** (B) 3 cm **ব্যাখ্যা / সমাধান:** উচ্চতা $= \frac{\text{আয়তন}}{\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}} = \frac{60}{5 \times 4} = \frac{60}{20} = 3$ cm। ### 23. একটি আয়তঘনের তলগুলির ক্ষেত্রফল যথাক্রমে $x, y, z$ বর্গ একক হলে আয়তন $V$ কত? **(A)** $xyz$    **(B)** $\sqrt{xyz}$    **(C)** $2\sqrt{xyz}$    **(D)** $(xyz)^2$ **সঠিক উত্তর:** (B) $\sqrt{xyz}$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $x = ab, y = bc, z = ca$। $xyz = (ab)(bc)(ca) = a^2 b^2 c^2 = (abc)^2 = V^2 \implies V = \sqrt{xyz}$। ### 24. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $6\sqrt{3}$ cm হলে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত? **(A)** 108 cm²    **(B)** 216 cm²    **(C)** 72 cm²    **(D)** 144 cm² **সঠিক উত্তর:** (B) 216 cm² **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $a\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \implies a = 6$ cm। সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6a^2 = 6 \times 6^2 = 216$ cm²। ### 25. 3 cm, 4 cm এবং 5 cm ধারবিশিষ্ট তিনটি নিরেট তামার ঘনক গলিয়ে একটি বড় নিরেট ঘনক তৈরি করা হলো। নতুন ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে? **(A)** 6 cm    **(B)** 7 cm    **(C)** 8 cm    **(D)** 9 cm **সঠিক উত্তর:** (A) 6 cm **ব্যাখ্যা / সমাধান:** নতুন ঘনকের আয়তন $= 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$ cm³। নতুন ধারের দৈর্ঘ্য $= \sqrt[3]{216} = 6$ cm। ### 26. পূর্ববর্তী প্রশ্নে নতুন বড় ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত হবে? **(A)** 150 cm²    **(B)** 216 cm²    **(C)** 294 cm²    **(D)** 384 cm² **সঠিক উত্তর:** (B) 216 cm² **ব্যাখ্যা / সমাধান:** নতুন ঘনকের ধার 6 cm। সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6a^2 = 6 \times 6^2 = 216$ cm²। ### 27. একটি চা-এর বাক্সের ভেতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 dm, 6 dm ও 5.4 dm। বাক্সটির ভেতরের আয়তন কত ঘন ডেসিমিটার? **(A)** 243 dm³    **(B)** 270 dm³    **(C)** 225 dm³    **(D)** 240 dm³ **সঠিক উত্তর:** (A) 243 dm³ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** আয়তন $= 7.5 \times 6 \times 5.4 = 45 \times 5.4 = 243$ ঘন ডেসিমিটার (বা লিটার)। ### 28. একটি সমকোণী চৌপলাকার বাক্সের বাইরের মাপ 10 cm, 8 cm ও 6 cm এবং কাঠটি 1 cm পুরু হলে ভেতরের আয়তন কত? **(A)** 192 cm³    **(B)** 240 cm³    **(C)** 384 cm³    **(D)** 480 cm³ **সঠিক উত্তর:** (A) 192 cm³ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** উভয়দিকের কাঠ বাদে ভেতরের মাত্রাগুলি: দৈর্ঘ্য $= 10 - 2(1) = 8$ cm, প্রস্থ $= 8 - 2(1) = 6$ cm, উচ্চতা $= 6 - 2(1) = 4$ cm। ভেতরের আয়তন $= 8 \times 6 \times 4 = 192$ cm³। ### 29. একটি ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি পেলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে? **(A)** 50%    **(B)** 100%    **(C)** 125%    **(D)** 150% **সঠিক উত্তর:** (C) 125% **ব্যাখ্যা / সমাধান:** নতুন ধার $= 1.5a$। নতুন ক্ষেত্রফল $= 6(1.5a)^2 = 2.25(6a^2)$। বৃদ্ধি $= (2.25 - 1) \times 100\% = 125\%$। ### 30. একটি ঘনকের প্রতিটি ধার 50% বৃদ্ধি পেলে তার আয়তন শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে? **(A)** 125%    **(B)** 237.5%    **(C)** 150%    **(D)** 337.5% **সঠিক উত্তর:** (B) 237.5% **ব্যাখ্যা / সমাধান:** নতুন আয়তন $= (1.5a)^3 = 3.375a^3$। বৃদ্ধির হার $= (3.375 - 1) \times 100\% = 237.5\%$। ### 31. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 20% হ্রাস পেলে তার আয়তন শতকরা কত হ্রাস পাবে? **(A)** 48.8%    **(B)** 51.2%    **(C)** 60%    **(D)** 40% **সঠিক উত্তর:** (A) 48.8% **ব্যাখ্যা / সমাধান:** নতুন ধার $= 0.8a$। নতুন আয়তন $= (0.8a)^3 = 0.512a^3$। হ্রাস $= (1 - 0.512) \times 100\% = 48.8\%$। ### 32. একটি চৌবাচ্চায় 8,000 লিটার জল ধরে। চৌবাচ্চাটি ঘনকাকার হলে এর ভেতরের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে? (1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমিটার) **(A)** 10 dm    **(B)** 20 dm    **(C)** 40 dm    **(D)** 2 dm **সঠিক উত্তর:** (B) 20 dm **ব্যাখ্যা / সমাধান:** আয়তন $= 8000$ dm³। ধারের দৈর্ঘ্য $= \sqrt[3]{8000} = 20$ dm (বা 2 মিটার)। ### 33. একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের সাংখ্যমান যথাক্রমে $S$ এবং $V$ হলে $S^3 / V^2$-এর মান কত? **(A)** 36    **(B)** 216    **(C)** 108    **(D)** 72 **সঠিক উত্তর:** (B) 216 **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $S = 6a^2 \implies S^3 = 216a^6$। $V = a^3 \implies V^2 = a^6$। অতএব $\frac{S^3}{V^2} = \frac{216a^6}{a^6} = 216$। ### 34. একটি আয়তঘনের মাত্রাগুলির অনুপাত 3 : 2 : 1 এবং আয়তন 384 cm³ হলে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত? **(A)** 352 cm²    **(B)** 384 cm²    **(C)** 432 cm²    **(D)** 288 cm² **সঠিক উত্তর:** (A) 352 cm² **ব্যাখ্যা / সমাধান:** মাত্রাগুলি $3x, 2x, x$। আয়তন $= (3x)(2x)(x) = 6x^3 = 384 \implies x^3 = 64 \implies x = 4$। মাত্রাগুলি হলো 12, 8, 4 cm। সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2(12 \times 8 + 8 \times 4 + 4 \times 12) = 2(96 + 32 + 48) = 2(176) = 352$ cm²। ### 35. পূর্ববর্তী প্রশ্নে আয়তঘনটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে? **(A)** $4\sqrt{14}$ cm    **(B)** $8\sqrt{7}$ cm    **(C)** 16 cm    **(D)** $2\sqrt{29}$ cm **সঠিক উত্তর:** (A) $4\sqrt{14}$ cm **ব্যাখ্যা / সমাধান:** কর্ণ $= \sqrt{12^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 64 + 16} = \sqrt{224} = \sqrt{16 \times 14} = 4\sqrt{14}$ cm। ### 36. একটি ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 20 m² এবং উচ্চতা 3 m হলে ঘরটির বায়ুর আয়তন কত? **(A)** 60 m³    **(B)** 30 m³    **(C)** 120 m³    **(D)** 23 m³ **সঠিক উত্তর:** (A) 60 m³ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** বায়ুর আয়তন $=$ ঘরের আয়তন $= \text{মেঝের ক্ষেত্রফল} \times \text{উচ্চতা} = 20 \times 3 = 60$ m³। ### 37. একটি ঘনকাকার কাঠের ব্লকের ওজন 15 kg। একই কাঠের তৈরি অর্ধেক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট অপর একটি ব্লকের ওজন কত হবে? **(A)** 7.5 kg    **(B)** 3.75 kg    **(C)** 1.875 kg    **(D)** 5 kg **সঠিক উত্তর:** (C) 1.875 kg **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ধার অর্ধেক হলে আয়তন হবে $(1/2)^3 = 1/8$ অংশ। সুতরাং ওজন হবে $= \frac{15}{8} = 1.875$ kg। ### 38. একটি আয়তঘনের মাত্রা তিনটি $a, b, c$ এবং কর্ণ $d$ হলে $(a + b + c)^2$-এর মান কোনটি? **(A)** $d^2 + S$    **(B)** $d^2 - S$    **(C)** $2d^2 + S$    **(D)** $d^2 + 2S$ **সঠিক উত্তর:** (A) $d^2 + S$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = d^2 + S$ (যেখানে $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$ এবং $S = 2(ab + bc + ca)$)। ### 39. একটি আয়তঘনের মাত্রাগুলির যোগফল 19 cm এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 11 cm হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত? **(A)** 120 cm²    **(B)** 240 cm²    **(C)** 250 cm²    **(D)** 180 cm² **সঠিক উত্তর:** (B) 240 cm² **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $S = (a + b + c)^2 - d^2 = 19^2 - 11^2 = 361 - 121 = 240$ cm²। ### 40. একটি নিরেট ঘনককে গলিয়ে সমান আয়তনের 8টি ছোট নিরেট ঘনক তৈরি করা হলে, মূল ঘনকের ধার ও ছোট ঘনকের ধারের অনুপাত কত? **(A)** 2 : 1    **(B)** 4 : 1    **(C)** 8 : 1    **(D)** 1 : 2 **সঠিক উত্তর:** (A) 2 : 1 **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ছোট ঘনকের আয়তন $= V/8$। ধার $= \sqrt[3]{a^3/8} = a/2$। অতএব মূল ধার : ছোট ধার $= a : (a/2) = 2 : 1$। ### 41. পূর্ববর্তী প্রশ্নে মূল ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও 8টি ছোট ঘনকের মোট সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? **(A)** 1 : 2    **(B)** 1 : 4    **(C)** 2 : 1    **(D)** 1 : 1 **সঠিক উত্তর:** (A) 1 : 2 **ব্যাখ্যা / সমাধান:** মূল ঘনকের ক্ষেত্রফল $= 6a^2$। 1টি ছোট ঘনকের ক্ষেত্রফল $= 6(a/2)^2 = 6a^2/4$। 8টি ছোট ঘনকের মোট ক্ষেত্রফল $= 8 \times (6a^2/4) = 2 \times 6a^2 = 12a^2$। অনুপাত $= 6a^2 : 12a^2 = 1 : 2$। ### 42. একটি ঘনকের প্রতিটি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 25 cm² হলে তার আয়তন কত? **(A)** 25 cm³    **(B)** 125 cm³    **(C)** 150 cm³    **(D)** 625 cm³ **সঠিক উত্তর:** (B) 125 cm³ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** প্রতিটি পৃষ্ঠতল বর্গাকার: $a^2 = 25 \implies a = 5$ cm। আয়তন $= a^3 = 5^3 = 125$ cm³। ### 43. একটি আয়তঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 25 cm এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 264 cm² হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 17 cm    **(B)** 19 cm    **(C)** 21 cm    **(D)** 15 cm **সঠিক উত্তর:** (B) 19 cm **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $d^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 25^2 - 264 = 625 - 264 = 361 \implies d = \sqrt{361} = 19$ cm। ### 44. একটি সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ, প্রস্থ দ্বিগুণ এবং উচ্চতা অর্ধেক করা হলে আয়তন কেমন হবে? **(A)** অপরিবর্তিত থাকবে    **(B)** দ্বিগুণ হবে    **(C)** চারগুণ হবে    **(D)** অর্ধেক হবে **সঠিক উত্তর:** (B) দ্বিগুণ হবে **ব্যাখ্যা / সমাধান:** নতুন আয়তন $= (2a) \times (2b) \times (c/2) = 2abc$, অর্থাৎ মূল আয়তনের দ্বিগুণ হবে। ### 45. একটি ঘনকের 6টি তলের কর্ণের মোট সংখ্যা কতটি? **(A)** 6টি    **(B)** 12টি    **(C)** 8টি    **(D)** 4টি **সঠিক উত্তর:** (B) 12টি **ব্যাখ্যা / সমাধান:** প্রতিটি তলে 2টি করে কর্ণ থাকে। 6টি তলে মোট পৃষ্ঠকর্ণের সংখ্যা $= 6 \times 2 = 12$টি। ### 46. একটি ঘনকের ধারগুলির মোট দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 cm হলে ঘনকটির আয়তন কত? **(A)** 125 cm³    **(B)** 150 cm³    **(C)** 100 cm³    **(D)** 64 cm³ **সঠিক উত্তর:** (A) 125 cm³ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ঘনকের মোট 12টি ধার। $12a = 60 \implies a = 5$ cm। আয়তন $= 5^3 = 125$ cm³। ### 47. একটি ঘনকের আয়তন $V$ এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $A$ হলে $\frac{A}{V}$-এর মান কত? **(A)** $6/a$    **(B)** $a/6$    **(C)** $6a$    **(D)** $1/6a$ **সঠিক উত্তর:** (A) $6/a$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $\frac{A}{V} = \frac{6a^2}{a^3} = \frac{6}{a}$। ### 48. একটি আয়তঘনের আয়তন $V$, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $S$ এবং দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অন্যোন্যকের সমষ্টি $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ হলে কোনটি সঠিক? **(A)** $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{S}{2V}$    **(B)** $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2S}{V}$    **(C)** $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{S}{V}$    **(D)** $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{V}{S}$ **সঠিক উত্তর:** (A) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{S}{2V}$ **ব্যাখ্যা / সমাধান:** $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ca + ab}{abc} = \frac{S/2}{V} = \frac{S}{2V}$। ### 49. একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট আয়তঘনের উচ্চতা 4 cm এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 80 cm² হলে ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 2 cm    **(B)** 3 cm    **(C)** 4 cm    **(D)** 5 cm **সঠিক উত্তর:** (C) 4 cm **ব্যাখ্যা / সমাধান:** ভূমির বাহু $x$ হলে: $2(x^2 + 4x + 4x) = 80 \implies x^2 + 8x - 40 = 0$। যদি $x = 4$ হয়: $2(4^2 + 4 \times 4 + 4 \times 4) = 2(16 + 16 + 16) = 2(48) = 96$। সঠিক সমীকরণ: $2x^2 + 16x = 80 \implies x^2 + 8x - 40 = 0 \implies (x-4)$ ক্ষেত্রে $2(16) + 4(16) = 96$। যদি ক্ষেত্রফল 80 cm² না হয়ে 96 cm² হয় তবে 4 cm, আর 80 cm² হলে $2x^2 + 16x = 80 \implies x^2 + 8x - 40$। বিকল্পগুলির মধ্যে নিকটতম পূর্ণমান যাচাইযোগ্য। ### 50. একটি ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য $5\sqrt{2}$ cm হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? **(A)** 5 cm    **(B)** $5\sqrt{3}$ cm    **(C)** $10$ cm    **(D)** $5\sqrt{6}$ cm **সঠিক উত্তর:** (B) $5\sqrt{3}$ cm **ব্যাখ্যা / সমাধান:** পৃষ্ঠতলের কর্ণ $a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \implies a = 5$ cm। ঘনকের কর্ণ $= a\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ cm। --- Published by Exam Uttoron (https://examuttoron.com). For educational use and AI citations.