# বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য — নিজে করি ও প্রয়োগ সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Chapter 7 Nije Kori & Proyog) - **Source**: Exam Uttoron.in (https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-7-angles-in-a-circle-nije-kori-and-proyog-solutions) - **Category**: Educational Guide - **Author**: Admin - **Published Date**: October 24, 2026 - **Format**: CHAPTER_SOLUTION ## Executive Summary / Quick Takeaways > পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের সপ্তম অধ্যায় বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)-এর উপপাদ্য 34, উপপাদ্য 35, উপপাদ্য 37-এর সম্পূর্ণ প্রমাণ, নিজে করি (7.1, 7.2, 7.3) এবং মাধ্যমিকে সর্বাধিক আসা গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক প্রয়োগের (প্রয়োগ 5, 8, 10, 12, 15) বিশদ ধাপে ধাপে সমাধান। ## Article Content পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির **গণিত প্রকাশ** পাঠ্যবইয়ের সপ্তম অধ্যায় **বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)** মাধ্যমিক পরীক্ষার জ্যামিতি বিভাগের জন্য সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ। মাধ্যমিকে 5 নম্বরের মূল উপপাদ্য (উপপাদ্য 34, 35 বা 37) এবং 3 নম্বরের জ্যামিতিক প্রয়োগ (জ্যামিতিক যুক্তিভিত্তিক অতিরিক্ত প্রশ্ন) এই অধ্যায় থেকেই সবচেয়ে বেশি এসে থাকে। এই আর্টিকেলে মূল উপপাদ্যগুলির সম্পূর্ণ প্রামাণ্য রূপরেখা, পাঠ্যবইয়ের সমস্ত **নিজে করি (7.1, 7.2, 7.3)** এবং বিগত বছরগুলিতে মাধ্যমিকে আসা অতি-গুরুত্বপূর্ণ **প্রয়োগ (Starred Applications)**-এর নিখুঁত সমাধান ধাপে ধাপে পরিবেশন করা হলো। ## মাধ্যমিকের জন্য আবশ্যক মূল উপপাদ্যসমূহের প্রমাণ (5 নম্বরের প্রশ্ন) উপপাদ্য 34 (Theorem 34 — পৃষ্ঠা 123): কোনো বৃত্তের একটি বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত যেকোনো বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। প্রদত্ত (Given): ধরি $O$ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের $APB$ বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB$। প্রামাণ্য (To Prove): $$\angle AOB = 2 \times \angle ACB$$ অঙ্কন (Construction): $C, O$ বিন্দু দুটি যুক্ত করে $D$ বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। প্রমাণ (Proof): $\triangle AOC$-এর $OA = OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)। $\therefore \angle OCA = \angle OAC$ (সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান)। আবার, $\triangle AOC$-এর $CO$ বাহুকে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ $\angle AOD$: $$\angle AOD = \angle OCA + \angle OAC = \angle OCA + \angle OCA = 2\angle OCA \quad \text{............... (1)}$$ একইভাবে $\triangle BOC$-এর $OB = OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)। $\therefore \angle OCB = \angle OBC$ বহিঃস্থ $\angle BOD = \angle OCB + \angle OBC = 2\angle OCB \quad \text{............... (2)}$ (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই: $$\angle AOD + \angle BOD = 2\angle OCA + 2\angle OCB$$ $$\implies \angle AOB = 2(\angle OCA + \angle OCB) = 2\angle ACB$$ $\therefore \angle AOB = 2\angle ACB$ (প্রমাণিত)। উপপাদ্য 35 (Theorem 35 — পৃষ্ঠা 129): একই বৃত্তাংশস্থিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান। প্রদত্ত (Given): ধরি $O$ কেন্দ্রীয় যেকোনো একটি বৃত্তের একই বৃত্তাংশস্থিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ হলো $\angle ACB$ এবং $\angle ADB$। প্রামাণ্য (To Prove): $$\angle ACB = \angle ADB$$ অঙ্কন (Construction): $A, O$ এবং $B, O$ যুক্ত করলাম। প্রমাণ (Proof): $APB$ উপচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ হলো $\angle AOB$ এবং পরিধিস্থ বৃত্তস্থ কোণ দুটি হলো $\angle ACB$ ও $\angle ADB$। উপপাদ্য 34 অনুসারে, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ: $$\angle AOB = 2\angle ACB \quad \text{............... (1)}$$ এবং $$\angle AOB = 2\angle ADB \quad \text{............... (2)}$$ (1) ও (2) হতে তুলনা করে পাই: $$2\angle ACB = 2\angle ADB$$ উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই: $\angle ACB = \angle ADB$ (প্রমাণিত)। উপপাদ্য 37 (Theorem 37 — পৃষ্ঠা 136): অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ। প্রদত্ত (Given): ধরি $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ একটি ব্যাস এবং $\angle ACB$ যেকোনো একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রামাণ্য (To Prove): $\angle ACB = 1 \text{ সমকোণ} = 90^\circ$। প্রমাণ (Proof): $APB$ বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ হলো সরলকোণ $\angle AOB$ এবং পরিধিস্থ বৃত্তস্থ কোণ হলো $\angle ACB$। উপপাদ্য 34 অনুসারে: $$\angle AOB = 2\angle ACB$$ যেহেতু $AOB$ একটি সরলরেখাংশ (ব্যাস), সুতরাং কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB$ একটি সরলকোণ = 2 সমকোণ ($180^\circ$)। $$2\angle ACB = 2 \text{ সমকোণ} = 180^\circ$$ $$\implies \angle ACB = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ = 1 \text{ সমকোণ}$$ $\therefore$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ (প্রমাণিত)। ## নিজে করি (Nije Kori) সমাধানসমূহ নিজে করি 7.1 (পৃষ্ঠা 125): $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ ও বৃত্তস্থ কোণের অনুপাত কত নির্ণয় করি। যদি বৃত্তস্থ কোণ $42^\circ$ হয়, তবে কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত? সমাধান: উপপাদ্য 34 অনুসারে, কেন্দ্রস্থ কোণ = $2 \times$ বৃত্তস্থ কোণ। $\therefore$ কেন্দ্রস্থ কোণ : বৃত্তস্থ কোণ = $2 : 1$। প্রদত্ত বৃত্তস্থ কোণ = $42^\circ$। $\therefore$ কেন্দ্রস্থ কোণ = $2 \times 42^\circ = 84^\circ$। উত্তর: অনুপাত $2:1$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণের মান $84^\circ$। নিজে করি 7.2 (পৃষ্ঠা 131): একটি বৃত্তে একই বৃত্তাংশস্থিত তিনটি কোণ যথাক্রমে $\angle P, \angle Q, \angle R$। যদি $\angle P = 58^\circ$ হয়, তবে $\angle Q$ ও $\angle R$-এর সমষ্টি কত হবে হিসাব করি। সমাধান: আমরা জানি (উপপাদ্য 35), একই বৃত্তাংশস্থিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান পরস্পর সমান। $\therefore \angle P = \angle Q = \angle R = 58^\circ$ $\therefore \angle Q + \angle R = 58^\circ + 58^\circ = 116^\circ$ উত্তর: $\angle Q$ ও $\angle R$-এর সমষ্টি $116^\circ$। নিজে করি 7.3 (পৃষ্ঠা 137): $AB$ ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের ওপর $C$ বিন্দুটি অবস্থিত। যদি $AC = BC$ হয়, তবে $\angle ABC$-এর মান কত হবে লিখি। সমাধান: যেহেতু $AB$ বৃত্তের ব্যাস এবং $C$ পরিধির ওপর অবস্থিত বিন্দু: $\therefore \angle ACB = 90^\circ$ (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ)। $\triangle ABC$-তে প্রদত্ত $AC = BC$। সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান, তাই $\angle ABC = \angle BAC$। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$: $$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ$$ $$2\angle ABC + 90^\circ = 180^\circ$$ $$2\angle ABC = 90^\circ \implies \angle ABC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$ উত্তর: $\angle ABC$-এর মান $45^\circ$। ## মাধ্যমিকের অতি-গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগসমূহ (Starred Board Exam Applications) প্রয়োগ 5 (পৃষ্ঠা 125 - মাধ্যমিকে প্রায়শই আসা সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন): $\triangle ABC$-এর পরিকেন্দ্র $O$। যদি $\angle OBC = 35^\circ$ হয়, তবে $\angle BAC$-এর মান হিসাব করে লিখি। সমাধান: যেহেতু $O$ বিন্দুটি $\triangle ABC$-এর পরিকেন্দ্র, তাই $OB = OC$ (একই পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ)। $\triangle OBC$-তে $OB = OC$ হওয়ায়: $$\angle OCB = \angle OBC = 35^\circ$$ এখন $\triangle OBC$-এর তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$: $$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$$ আমরা জানি, $BC$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOC$ এবং পরিধিস্থ বৃত্তস্থ কোণ $\angle BAC$। উপপাদ্য অনুসারে: $$\angle BOC = 2\angle BAC$$ $$\implies \angle BAC = \frac{\angle BOC}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$ উত্তর: $\angle BAC$-এর মান $55^\circ$। প্রয়োগ 8 (পৃষ্ঠা 128 - মাধ্যমিকের 3 নম্বরের জ্যামিতিক প্রয়োগ): প্রমাণ করি যে, বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র। প্রমাণ: **প্রদত্ত:** ধরি $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক। **প্রামাণ্য:** $ABCD$ একটি আয়তক্ষেত্র, অর্থাৎ এর যেকোনো একটি কোণ সমকোণ ($90^\circ$)। **যুক্তি:** যেহেতু $ABCD$ একটি সামান্তরিক, তাই এর বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান। $$\therefore \angle A = \angle C \quad \text{............... (1)}$$ আবার, যেহেতু $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, আমরা জানি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক (সমষ্টি $180^\circ$): $$\angle A + \angle C = 180^\circ$$ (1) নং সমীকরণ থেকে $\angle C$-এর মান $\angle A$ বসালে পাই: $$\angle A + \angle A = 180^\circ \implies 2\angle A = 180^\circ \implies \angle A = 90^\circ$$ যে সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ ($90^\circ$), তা একটি আয়তক্ষেত্র। $\therefore ABCD$ একটি আয়তক্ষেত্র (প্রমাণিত)। উত্তর: প্রমাণিত হলো যে বৃত্তস্থ সামান্তরিক সর্বদাই একটি আয়তক্ষেত্র। প্রয়োগ 10 (পৃষ্ঠা 130 - মাধ্যমিকের অতি-গুরুত্বপূর্ণ 3 নম্বরের স্টার প্রয়োগ): $\triangle ABC$-এর অন্তঃকেন্দ্র $I$ এবং $AI$-কে বর্ধিত করলে তা ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, $DB = DC = DI$। প্রমাণ: **প্রদত্ত:** $\triangle ABC$-এর অন্তঃকেন্দ্র $I$। $AI$ বর্ধিত হয়ে পরিবৃত্তকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $B, D$ এবং $C, D$ যুক্ত করা হলো। **প্রামাণ্য:** $DB = DC = DI$। **যুক্তি ও প্রমাণ:** যেহেতু $I$ অন্তঃকেন্দ্র, তাই $AD$ হলো $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং $BI$ হলো $\angle ABC$-এর সমদ্বিখণ্ডক। $\therefore \angle BAD = \angle CAD$ এখন বৃত্তে একই বৃত্তচাপ $CD$-এর ওপর গঠিত পরিধিস্থ কোণদ্বয় $\angle CBD = \angle CAD$ (উপপাদ্য 35 অনুসারে)। $\therefore \angle CBD = \angle BAD$ আবার বৃত্তচাপ $BD$-এর ওপর গঠিত পরিধিস্থ কোণদ্বয় $\angle BCD = \angle BAD$। অতএব $\angle CBD = \angle BCD \implies \triangle DBC$-এর $DB = DC$ ............... (1) এখন $\triangle DIB$-এর কোণ বিবেচনা করি: $\angle DBI = \angle DBC + \angle CBI = \angle DAC + \angle ABI = \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B$ আবার বহিঃস্থ কোণ $\angle DIB = \angle IAB + \angle IBA = \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B$ $\therefore \angle DBI = \angle DIB$ সমান কোণের বিপরীত বাহু সমান হওয়ায়: $DB = DI$ ............... (2) (1) ও (2) থেকে পাই: $DB = DC = DI$। উত্তর: প্রমাণিত হলো যে $DB = DC = DI$। প্রয়োগ 12 (পৃষ্ঠা 134): $ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের $AB = DC$ হলে প্রমাণ করি যে, $AD \parallel BC$ অথবা ট্রাপিজিয়ামটির কর্ণদ্বয় সমান। প্রমাণ: প্রদত্ত: $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং জ্যা $AB = \text{জ্যা } DC$। সমান জ্যা বৃত্তে সমান বৃত্তচাপ উৎপন্ন করে: $$\text{চাপ } AB = \text{চাপ } DC$$ উভয় চাপের সাথে বৃত্তচাপ $BC$ যোগ করে পাই: $$\text{চাপ } AB + \text{চাপ } BC = \text{চাপ } DC + \text{চাপ } BC$$ $$\implies \text{চাপ } ABC = \text{চাপ } DCB$$ সমান বৃত্তচাপের সংশ্লিষ্ট জ্যা পরস্পর সমান: $$\therefore \text{জ্যা } AC = \text{জ্যা } BD$$ অর্থাৎ, চতুর্ভুজটির কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান। (প্রমাণিত) উত্তর: প্রমাণিত হলো যে $AC = BD$। প্রয়োগ 15 (পৃষ্ঠা 137 - মাধ্যমিকের অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য প্রয়োগ): $AB$ ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের পরিধির ওপর $C$ যেকোনো একটি বিন্দু। $C$ বিন্দু থেকে ব্যাস $AB$-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব $CD$। প্রমাণ করি যে, $CD^2 = AD \times BD$। প্রমাণ: **প্রদত্ত:** $AB$ বৃত্তের ব্যাস এবং $C$ বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত বিন্দু। $CD \perp AB$ ($D$ বিন্দু $AB$-এর ওপর অবস্থিত)। **প্রামাণ্য:** $CD^2 = AD \times BD$। **অঙ্কন:** $A, C$ এবং $B, C$ যুক্ত করা হলো। **যুক্তি ও প্রমাণ:** যেহেতু $AB$ ব্যাস, তাই $\angle ACB = 90^\circ$ (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ)। সুতরাং $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার সমকৌণিক বিন্দু $C$ থেকে অতিভুজ $AB$-এর ওপর $CD$ লম্ব। সমকোণী ত্রিভুজের সদৃশতার ধর্ম অনুসারে, উৎপন্ন দুটি সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ADC$ এবং $\triangle CDB$ পরস্পর সদৃশ। $\therefore \frac{CD}{BD} = \frac{AD}{CD}$ (সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত সমান) বজ্রগুণন করে পাই: $$CD \times CD = AD \times BD \implies CD^2 = AD \times BD$$ উত্তর: প্রমাণিত হলো যে $CD^2 = AD \times BD$। **জ্যামিতি প্রস্তুতির বিশেষ পরামর্শ:** উপপাদ্য 34 এবং উপপাদ্য 35 মাধ্যমিকে বারবার 5 নম্বরের প্রশ্ন হিসেবে আসে। জ্যামিতির ক্ষেত্রে স্পষ্ট চিত্র ও প্রদত্ত, প্রামাণ্য, অঙ্কন ও প্রমাণের ধাপগুলি ক্রমানুসারে খাতায় লিখে বারবার অভ্যাস করা উচিত। --- Published by Exam Uttoron (https://examuttoron.com). For educational use and AI citations.