Career Guidance
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-11-construction-circumcircle-and-incircle-50-mcq-solutions
সম্পাদ্য: ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন — 50টি সেরা MCQ ও উত্তর সমাধান (Class 10 Math Chapter 11 MCQ)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 11: সম্পাদ্য: ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন (Construction: Circumcircle and Incircle) থেকে মাধ্যমিক ও স্কুল পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ 50টি সেরা বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ) নিচে দেওয়া হলো। প্রতিটি প্রশ্নের সাথে সঠিক উত্তর এবং জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য ও পরিব্যাসার্ধ/অন্তর্ব্যাসার্ধ নির্ণয়ের বিস্তারিত সমাধান আলোচনা করা হয়েছে।
1. একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুগামী বৃত্তকে কী বলা হয়?
(A) অন্তর্বৃত্ত (B) পরিবৃত্ত (Circumcircle) (C) বহিবৃত্ত (D) সমকেন্দ্রী বৃত্ত
সঠিক উত্তর: (B) পরিবৃত্ত (Circumcircle)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
যে বৃত্ত কোনো ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে, তাকে ওই ত্রিভুজের পরিবৃত্ত বলা হয়।
2. ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলা হয়?
(A) ভরকেন্দ্র (B) লম্ববিন্দু (C) পরিকেন্দ্র (Circumcentre) (D) অন্তর্কেন্দ্র
সঠিক উত্তর: (C) পরিকেন্দ্র (Circumcentre)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্রকে পরিকেন্দ্র বলা হয়।
3. ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় করতে বাহুগুলির কী অঙ্কন করতে হয়?
(A) কোণের সমদ্বিখণ্ডক (B) মধ্যমা (C) লম্বসমদ্বিখণ্ডক (Perpendicular Bisector) (D) উচ্চতা
সঠিক উত্তর: (C) লম্বসমদ্বিখণ্ডক (Perpendicular Bisector)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ত্রিভুজের বাহুগুলির লম্বসমদ্বিখণ্ডক তিনটি যে বিন্দুতে সমবিন্দু হয়, সেই বিন্দুই হলো ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র।
4. একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র কোথায় অবস্থিত হয়?
(A) ত্রিভুজের অভ্যন্তরে (B) ত্রিভুজের বহির্ভাগে (C) ত্রিভুজের বাহুর উপর (D) শীর্ষবিন্দুতে
সঠিক উত্তর: (A) ত্রিভুজের অভ্যন্তরে
ব্যাখ্যা / সমাধান:
যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ, তার পরিকেন্দ্র সর্বদা ত্রিভুজটির অভ্যন্তরে (Inside) অবস্থিত হয়।
5. একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র কোথায় অবস্থিত হয়?
(A) ত্রিভুজের অভ্যন্তরে (B) বৃহত্তম বাহুর উপর (C) ত্রিভুজের বহির্ভাগে (Outside) (D) স্থূলকোণী শীর্ষবিন্দুতে
সঠিক উত্তর: (C) ত্রিভুজের বহির্ভাগে (Outside)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
স্থূলকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পরিকেন্দ্র ত্রিভুজটির সম্পূর্ণ বাইরে বা বহির্ভাগে অবস্থিত হয়।
6. একটি সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র কোথায় অবস্থান করে?
(A) সমকৌণিক বিন্দুতে (B) অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে (C) ত্রিভুজের বাইরে (D) ভূমির মধ্যবিন্দুতে
সঠিক উত্তর: (B) অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র সর্বদা তার অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে (Midpoint of hypotenuse) অবস্থিত হয়।
7. ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র থেকে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির দূরত্বকে কী বলা হয়?
(A) অন্তর্ব্যাসার্ধ (B) পরিব্যাসার্ধ (Circumradius) (C) উচ্চতা (D) মধ্যমা
সঠিক উত্তর: (B) পরিব্যাসার্ধ (Circumradius)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
পরিকেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দুগুলির সংযোগকারী সরলরেখাংশ হলো পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ বা পরিব্যাসার্ধ।
8. একটি ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র পেতে ন্যূনতম কয়টি বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করা প্রয়োজন?
(A) 1টি (B) 2টি (C) 3টি (D) 4টি
সঠিক উত্তর: (B) 2টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুই পরিকেন্দ্র নির্দেশ করে। সুতরাং ন্যূনতম 2টি বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক প্রয়োজন।
9. ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দু তিনটি সর্বদা কেমন দূরত্বে থাকে?
(A) অসমান দূরত্বে (B) সমদূরবর্তী (Equidistant) (C) অনুপাতিক দূরত্বে (D) নির্দিষ্ট নয়
সঠিক উত্তর: (B) সমদূরবর্তী (Equidistant)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
পরিকেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দু তিনটি পর্যন্ত দূরত্বই হলো পরিব্যাসার্ধ ($R$), তাই তারা সর্বদা সমদূরবর্তী।
10. সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পরিবৃত্তের ব্যাস কোনটি?
(A) লম্ব (B) ভূমি (C) অতিভুজ (Hypotenuse) (D) যেকোনো বাহু
সঠিক উত্তর: (C) অতিভুজ (Hypotenuse)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ($90^\circ$)। তাই তার অতিভুজই হলো পরিবৃত্তের ব্যাস।
11. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে, ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ কত?
(A) 10 সেমি (B) 5 সেমি (C) 2.5 সেমি (D) 20 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 5 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ = $\frac{\text{অতিভুজ}}{2} = \frac{10}{2} = 5$ সেমি।
12. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটি 6 সেমি ও 8 সেমি হলে, ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
(A) 10 সেমি (B) 5 সেমি (C) 7 সেমি (D) 4 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 5 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী অতিভুজ = $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10$ সেমি। অতএব পরিব্যাসার্ধ = $\frac{10}{2} = 5$ সেমি।
13. বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ বিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধের মান কত?
(A) $\frac{a}{\sqrt{3}}$ (B) $\frac{a}{2\sqrt{3}}$ (C) $\frac{\sqrt{3}a}{2}$ (D) $\sqrt{3}a$
সঠিক উত্তর: (A) $\frac{a}{\sqrt{3}}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$। পরিকেন্দ্র উচ্চতাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে, তাই পরিব্যাসার্ধ $R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{a}{\sqrt{3}}$।
14. একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $6\sqrt{3}$ সেমি হলে, তার পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
(A) 6 সেমি (B) 3 সেমি (C) 12 সেমি (D) 9 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) 6 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
পরিব্যাসার্ধ $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ সেমি।
15. একটি ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্য 5 সেমি, 12 সেমি ও 13 সেমি। ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের ব্যাস কত?
(A) 6.5 সেমি (B) 13 সেমি (C) 26 সেমি (D) 17 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 13 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$। সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী এবং এর অতিভুজ 13 সেমি। অতিভুজই হলো পরিবৃত্তের ব্যাস = 13 সেমি।
16. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটি $4\sqrt{2}$ সেমি হলে, তার পরিব্যাসার্ধ কত?
(A) 4 সেমি (B) 8 সেমি (C) $2\sqrt{2}$ সেমি (D) 6 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) 4 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অতিভুজ = $\sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8$ সেমি। পরিব্যাসার্ধ = $\frac{8}{2} = 4$ সেমি।
17. একটি ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র একই বিন্দু হলে, ত্রিভুজটি কী রূপ ত্রিভুজ?
(A) বিষমবাহু (B) সমদ্বিবাহু (C) সমবাহু (Equilateral) (D) স্থূলকোণী
সঠিক উত্তর: (C) সমবাহু (Equilateral)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, অন্তর্কেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু একই বিন্দুতে অবস্থান করে।
18. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সেমি হলে, সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের মধ্যবিন্দুর দূরত্ব কত?
(A) 12 সেমি (B) 6 সেমি (C) 4 সেমি (D) 8 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 6 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের মধ্যবিন্দুর দূরত্ব হলো পরিব্যাসার্ধ ($R$)। সুতরাং দূরত্ব = $\frac{12}{2} = 6$ সেমি।
19. সমকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন করতে কেবলমাত্র কোন বাহুটির লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করলেই পরিকেন্দ্র পাওয়া যায়?
(A) লম্ব (B) ভূমি (C) অতিভুজ (D) যেকোনো ক্ষুদ্রতর বাহু
সঠিক উত্তর: (C) অতিভুজ
ব্যাখ্যা / সমাধান:
যেহেতু অতিভুজের মধ্যবিন্দুই পরিকেন্দ্র, তাই কেবল অতিভুজের লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করে তার মধ্যবিন্দু চিহ্নিত করলেই পরিকেন্দ্র পাওয়া যায়।
20. একটি ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত দিকে ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত। ত্রিভুজটি কেমন?
(A) সূক্ষ্মকোণী (B) সমকোণী (C) স্থূলকোণী (Obtuse-angled) (D) সমবাহু
সঠিক উত্তর: (C) স্থূলকোণী (Obtuse-angled)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
স্থূলকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের (স্থূলকোণের) বিপরীত বাহুর বাইরে পরিকেন্দ্র অবস্থান করে।
21. যে বৃত্ত কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকেই অন্তস্থভাবে স্পর্শ করে, তাকে কী বলা হয়?
(A) পরিবৃত্ত (B) অন্তর্বৃত্ত (Incircle) (C) বহিবৃত্ত (D) স্পর্শক বৃত্ত
সঠিক উত্তর: (B) অন্তর্বৃত্ত (Incircle)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
যে বৃত্ত ত্রিভুজের তিনটি বাহুকেই স্পর্শ করে ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থান করে, তাকে অন্তর্বৃত্ত বলা হয়।
22. ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলা হয়?
(A) পরিকেন্দ্র (B) ভরকেন্দ্র (C) অন্তর্কেন্দ্র (Incentre) (D) লম্ববিন্দু
সঠিক উত্তর: (C) অন্তর্কেন্দ্র (Incentre)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্রকে অন্তর্কেন্দ্র বলা হয়।
23. ত্রিভুজের অন্তর্কেন্দ্র নির্ণয় করতে কোণগুলির কী অঙ্কন করতে হয়?
(A) লম্বসমদ্বিখণ্ডক (B) সমদ্বিখণ্ডক (Angle Bisector) (C) মধ্যমা (D) লম্ব
সঠিক উত্তর: (B) সমদ্বিখণ্ডক (Angle Bisector)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি অভ্যন্তরীণ কোণের সমদ্বিখণ্ডকত্রয় সমবিন্দু হয় এবং এই সমবিন্দুই হলো অন্তর্কেন্দ্র।
24. যেকোনো ত্রিভুজের অন্তর্কেন্দ্র সর্বদা কোথায় অবস্থান করে?
(A) ত্রিভুজের অভ্যন্তরে (Inside) (B) ত্রিভুজের বাইরে (C) যেকোনো বাহুর উপর (D) শীর্ষবিন্দুতে
সঠিক উত্তর: (A) ত্রিভুজের অভ্যন্তরে (Inside)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী, সমকোণী কিংবা স্থূলকোণী যাই হোক না কেন, তার অন্তর্কেন্দ্র সর্বদা ত্রিভুজের অভ্যন্তরেই অবস্থান করে।
25. ত্রিভুজের অন্তর্কেন্দ্র থেকে বাহুগুলির লম্ব দূরত্বকে কী বলা হয়?
(A) উচ্চতা (B) অন্তর্ব্যাসার্ধ (Inradius) (C) পরিব্যাসার্ধ (D) মধ্যমা
সঠিক উত্তর: (B) অন্তর্ব্যাসার্ধ (Inradius)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অন্তর্কেন্দ্র থেকে ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব দূরত্ব হলো অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ বা অন্তর্ব্যাসার্ধ ($r$)।
26. ত্রিভুজের অন্তর্কেন্দ্র ত্রিভুজের তিনটি বাহু থেকে সর্বদা—
(A) অসমান দূরত্বে থাকে (B) সমদূরবর্তী (Equidistant) (C) শীর্ষবিন্দুর দূরত্বের সমান (D) নির্দিষ্ট নয়
সঠিক উত্তর: (B) সমদূরবর্তী (Equidistant)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
যেহেতু বৃত্তটি তিনটি বাহুকেই স্পর্শ করে, তাই অন্তর্কেন্দ্র থেকে তিনটি বাহুর লম্ব দূরত্বই অন্তর্ব্যাসার্ধ ($r$), অর্থাৎ অন্তর্কেন্দ্র বাহুগুলি থেকে সমদূরবর্তী।
27. ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কনের জন্য ন্যূনতম কয়টি কোণের সমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করতে হয়?
(A) 1টি (B) 2টি (C) 3টি (D) 4টি
সঠিক উত্তর: (B) 2টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
যেকোনো দুটি কোণের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুই অন্তর্কেন্দ্র নির্ধারণ করে। তাই ন্যূনতম 2টি কোণের সমদ্বিখণ্ডক প্রয়োজন।
28. অন্তর্বৃত্ত অঙ্কনের ক্ষেত্রে অন্তর্কেন্দ্র পাওয়ার পর অন্তর্ব্যাসার্ধ পাওয়ার জন্য কী করা হয়?
(A) শীর্ষবিন্দুর সাথে যোগ করা হয় (B) যেকোনো বাহুর উপর লম্ব অঙ্কন করা হয় (C) মধ্যমা অঙ্কন করা হয় (D) বাহু বর্ধিত করা হয়
সঠিক উত্তর: (B) যেকোনো বাহুর উপর লম্ব অঙ্কন করা হয়
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অন্তর্কেন্দ্র থেকে যেকোনো একটি বাহুর উপর স্কেল ও পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে লম্ব অঙ্কন করে সেই লম্বের দৈর্ঘ্যকে ব্যাসার্ধ নেওয়া হয়।
29. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে কী বলে?
(A) পরিকেন্দ্র (B) অন্তর্কেন্দ্র (C) ভরকেন্দ্র (D) লম্ববিন্দু
সঠিক উত্তর: (B) অন্তর্কেন্দ্র
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি অভ্যন্তরীণ কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুই হলো অন্তর্কেন্দ্র।
30. স্থূলকোণী ত্রিভুজের অন্তর্কেন্দ্র কোথায় অবস্থিত?
(A) ত্রিভুজের বাইরে (B) ত্রিভুজের অভ্যন্তরে (C) স্থূলকোণের শীর্ষবিন্দুতে (D) বৃহত্তম বাহুর উপর
সঠিক উত্তর: (B) ত্রিভুজের অভ্যন্তরে
ব্যাখ্যা / সমাধান:
স্থূলকোণী ত্রিভুজ হলেও এর অন্তর্কেন্দ্র সর্বদা ত্রিভুজটির অভ্যন্তরেই (Inside) অবস্থান করে।
31. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\Delta$ এবং অর্ধপরিসীমা $s$ হলে, অন্তর্ব্যাসার্ধ $r$-এর সূত্রটি কী?
(A) $r = \Delta \times s$ (B) $r = \frac{\Delta}{s}$ (C) $r = \frac{s}{\Delta}$ (D) $r = \frac{2\Delta}{s}$
সঠিক উত্তর: (B) $r = \frac{\Delta}{s}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\Delta = r \times s$, সুতরাং অন্তর্ব্যাসার্ধ $r = \frac{\Delta}{s}$।
32. বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ বিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্ব্যাসার্ধের মান কত?
(A) $\frac{a}{\sqrt{3}}$ (B) $\frac{a}{2\sqrt{3}}$ (C) $\frac{\sqrt{3}a}{4}$ (D) $\frac{a}{4}$
সঠিক উত্তর: (B) $\frac{a}{2\sqrt{3}}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$। অন্তর্ব্যাসার্ধ $r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{a}{2\sqrt{3}}$।
33. একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ ($R$) ও অন্তর্ব্যাসার্ধ ($r$)-এর অনুপাত কত?
(A) 1 : 2 (B) 2 : 1 (C) 3 : 1 (D) 4 : 1
সঠিক উত্তর: (B) 2 : 1
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজে $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ এবং $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$। অতএব $R : r = 2 : 1$ (অর্থাৎ $R = 2r$)।
34. একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 8 সেমি হলে, তার অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
(A) 4 সেমি (B) 16 সেমি (C) 2 সেমি (D) 6 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) 4 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অন্তর্ব্যাসার্ধ $r = \frac{R}{2} = \frac{8}{2} = 4$ সেমি।
35. একটি সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্ব্যাসার্ধ 3 সেমি হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?
(A) 6 সেমি (B) 9 সেমি (C) 12 সেমি (D) 4.5 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 9 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
উচ্চতা $h = 3r = 3 \times 3 = 9$ সেমি (কারণ $r = \frac{1}{3}h$)।
36. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় $a$ ও $b$ এবং অতিভুজ $c$ হলে, অন্তর্ব্যাসার্ধ $r$ সমান কত?
(A) $\frac{a+b-c}{2}$ (B) $\frac{a+b+c}{2}$ (C) $\frac{ab}{c}$ (D) $\frac{c}{2}$
সঠিক উত্তর: (A) $\frac{a+b-c}{2}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে স্পর্শক ধর্মের সাহায্যে প্রমাণিত হয় যে অন্তর্ব্যাসার্ধ $r = \frac{a + b - c}{2}$।
37. একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 6 সেমি, 8 সেমি ও 10 সেমি। ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
(A) 1 সেমি (B) 2 সেমি (C) 3 সেমি (D) 4 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 2 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ সেমি।
38. একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 24 বর্গসেমি এবং পরিসীমা 24 সেমি হলে, অন্তর্ব্যাসার্ধ কত?
(A) 1 সেমি (B) 2 সেমি (C) 3 সেমি (D) 4 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 2 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অর্ধপরিসীমা $s = \frac{24}{2} = 12$ সেমি। অন্তর্ব্যাসার্ধ $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{24}{12} = 2$ সেমি।
39. একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ সেমি হলে, তার অন্তর্বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
(A) $4\pi$ বর্গসেমি (B) $2\pi$ বর্গসেমি (C) $8\pi$ বর্গসেমি (D) $16\pi$ বর্গসেমি
সঠিক উত্তর: (A) $4\pi$ বর্গসেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$ সেমি। অন্তর্বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi$ বর্গসেমি।
40. একটি ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ ও অন্তর্ব্যাসার্ধের কেন্দ্র একই বিন্দুতে অবস্থান করলে, ত্রিভুজটি অবশ্যই—
(A) সমদ্বিবাহু (B) বিষমবাহু (C) সমবাহু (D) সমকোণী
সঠিক উত্তর: (C) সমবাহু
ব্যাখ্যা / সমাধান:
কেবলমাত্র সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রেই পরিকেন্দ্র ও অন্তর্কেন্দ্র একই বিন্দুতে অবস্থান করে (সমপাতিত হয়)।
41. একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়?
(A) 1টি ও কেবল 1টি (B) 2টি (C) অসংখ্য (D) একটিও নয়
সঠিক উত্তর: (A) 1টি ও কেবল 1টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
তিনটি অসমরেখ বিন্দু (ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু) দিয়ে একটি এবং কেবল একটিই বৃত্ত (পরিবৃত্ত) অঙ্কন করা সম্ভব।
42. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে অন্তস্থভাবে স্পর্শ করে এমন কয়টি বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব?
(A) 1টি (B) 2টি (C) 3টি (D) অসংখ্য
সঠিক উত্তর: (A) 1টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি বাহুকেই অন্তস্থভাবে স্পর্শ করে এমন কেবল একটিই অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করা সম্ভব।
43. কোনো ত্রিভুজের বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডকত্রয় সর্বদা—
(A) সমান্তরাল (B) সমবিন্দু (Concurrent) (C) অসমরেখ (D) ছেদহীন
সঠিক উত্তর: (B) সমবিন্দু (Concurrent)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
জ্যামিতিক উপপাদ্য অনুযায়ী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক সর্বদা সমবিন্দু হয় এবং এই সমবিন্দুই পরিকেন্দ্র।
44. কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক সর্বদা—
(A) সমবিন্দু (Concurrent) (B) সমান্তরাল (C) পরস্পর লম্ব (D) অসীম
সঠিক উত্তর: (A) সমবিন্দু (Concurrent)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক সর্বদা সমবিন্দু এবং ছেদবিন্দুটি হলো অন্তর্কেন্দ্র।
45. বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি বিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
(A) $12\pi$ বর্গসেমি (B) $36\pi$ বর্গসেমি (C) $24\pi$ বর্গসেমি (D) $18\pi$ বর্গসেমি
সঠিক উত্তর: (A) $12\pi$ বর্গসেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ সেমি। পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi R^2 = \pi \times (2\sqrt{3})^2 = \pi \times 12 = 12\pi$ বর্গসেমি।
46. সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল ও অন্তর্বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
(A) 2 : 1 (B) 4 : 1 (C) 3 : 1 (D) $\sqrt{3} : 1$
সঠিক উত্তর: (B) 4 : 1
ব্যাখ্যা / সমাধান:
যেহেতু $R : r = 2 : 1$, তাই ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $\pi R^2 : \pi r^2 = R^2 : r^2 = 2^2 : 1^2 = 4 : 1$।
47. একটি সমকোণী ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ 5 সেমি এবং অন্তর্ব্যাসার্ধ 2 সেমি হলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
(A) 20 বর্গসেমি (B) 24 বর্গসেমি (C) 28 বর্গসেমি (D) 30 বর্গসেমি
সঠিক উত্তর: (B) 24 বর্গসেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অতিভুজ $c = 2R = 10$ সেমি। আমরা জানি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\Delta = r(r + c) = 2(2 + 10) = 2 \times 12 = 24$ বর্গসেমি।
48. একটি ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র এবং লম্ববিন্দু সংযোগকারী রেখাংশকে ভরকেন্দ্র কোন অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে?
(A) 1 : 1 (B) 2 : 1 (C) 3 : 1 (D) 1 : 2
সঠিক উত্তর: (B) 2 : 1
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ইউলার সরলরেখায় (Euler line) লম্ববিন্দু ($H$), ভরকেন্দ্র ($G$) এবং পরিকেন্দ্র ($O$) সমরেখ হয় এবং $HG : GO = 2 : 1$।
49. ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কনে পেনসিল কম্পাসের কাঁটাটি কোন বিন্দুতে বসিয়ে বৃত্তচাপ আঁকা হয়?
(A) শীর্ষবিন্দুতে (B) বাহুর মধ্যবিন্দুতে (C) পরিকেন্দ্রে (Circumcentre) (D) যেকোনো বিন্দুতে
সঠিক উত্তর: (C) পরিকেন্দ্রে (Circumcentre)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
পরিকেন্দ্রে পেনসিল কম্পাসের কাঁটা স্থাপন করে পরিব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্য নিয়ে পরিবৃত্ত অঙ্কন করা হয়।
50. ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কনের সময় পেনসিল কম্পাসের কাঁটাটি কোন বিন্দুতে স্থাপন করা হয়?
(A) অন্তর্কেন্দ্রে (Incentre) (B) শীর্ষবিন্দুতে (C) পরিকেন্দ্রে (D) ভরকেন্দ্রে
সঠিক উত্তর: (A) অন্তর্কেন্দ্রে (Incentre)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অন্তর্কেন্দ্রে কাঁটা বসিয়ে অঙ্কিত লম্বদূরত্বকে (অন্তর্ব্যাসার্ধ) মাপ নিয়ে অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করা হয়।
