examuttoron.com | EXAM UTTORON

Link: https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-13-variation-50-mcq-solutions

ভেদ — 50টি সেরা MCQ ও উত্তর সমাধান (Class 10 Math Chapter 13 MCQ)

EXAM UTTORON examuttoron.com

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 13: ভেদ (Variation) থেকে মাধ্যমিক ও স্কুল পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ 50টি সেরা বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ) নিচে দেওয়া হলো। প্রতিটি প্রশ্নের সাথে সঠিক উত্তর এবং সরল ভেদ, ব্যস্ত ভেদ ও যৌগিক ভেদের উপপাদ্য প্রয়োগের ধাপে ধাপে গাণিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া রয়েছে।

1. যদি $x$ এবং $y$ সরল ভেদে থাকে, তবে নিচের কোনটি সঠিক?

(A) $xy = \text{ধ্রুবক}$    (B) $\frac{x}{y} = \text{ধ্রুবক}$    (C) $x + y = \text{ধ্রুবক}$    (D) $x - y = \text{ধ্রুবক}$

সঠিক উত্তর: (B) $\frac{x}{y} = \text{ধ্রুবক}$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x \propto y \implies x = ky \implies \frac{x}{y} = k$ (যেখানে $k$ একটি অশূন্য ধ্রুবক)।

2. $x \propto y$ হলে, ভেদের সমীকরণে ধ্রুবক $k$ সর্বদা কেমন হতে হবে?

(A) শূন্য    (B) অশূন্য বাস্তব সংখ্যা ($k \neq 0$)    (C) কেবলমাত্র ঋণাত্মক    (D) কেবলমাত্র ভগ্নাংশ

সঠিক উত্তর: (B) অশূন্য বাস্তব সংখ্যা ($k \neq 0$)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ভেদ সমীকরণে ভেদ ধ্রুবক $k$ সর্বদা একটি অশূন্য বাস্তব সংখ্যা ($k \neq 0$) হতে হয়।

3. $x \propto y$ এবং যখন $y = 8$, তখন $x = 2$। ভেদ ধ্রুবকটির মান কত?

(A) 4    (B) $\frac{1}{4}$    (C) 16    (D) 2

সঠিক উত্তর: (B) $\frac{1}{4}$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = ky \implies 2 = k \times 8 \implies k = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$।

4. $x \propto y$ এবং $x = 3$ হলে $y = 6$ হয়। $y = 10$ হলে $x$-এর মান কত?

(A) 4    (B) 5    (C) 6    (D) 20

সঠিক উত্তর: (B) 5

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = ky \implies 3 = k(6) \implies k = \frac{1}{2}$। সুতরাং $y = 10$ হলে $x = \frac{1}{2} \times 10 = 5$।

5. যদি $x \propto y$ হয়, তবে নিচের কোনটি সঠিক?

(A) $y \propto \frac{1}{x}$    (B) $y \propto x$    (C) $x^2 \propto y$    (D) $xy = 1$

সঠিক উত্তর: (B) $y \propto x$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ভেদের ধর্ম অনুযায়ী, $x \propto y \implies y \propto x$।

6. $x \propto y$ হলে $x^n \propto y^n$ ($n$ একটি মূলদ সংখ্যা)— উক্তিটি কি সত্য?

(A) সত্য    (B) মিথ্যা    (C) কেবলমাত্র যখন $n = 1$    (D) বলা সম্ভব নয়

সঠিক উত্তর: (A) সত্য

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = ky \implies x^n = k^n y^n$। যেহেতু $k^n$ একটি অশূন্য ধ্রুবক, তাই $x^n \propto y^n$।

7. $x \propto y$ এবং $y \propto z$ হলে, $x$ ও $z$-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্কটি কী?

(A) $x \propto \frac{1}{z}$    (B) $x \propto z$    (C) $xz = 1$    (D) $x + z = \text{ধ্রুবক}$

সঠিক উত্তর: (B) $x \propto z$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = k_1 y$ এবং $y = k_2 z \implies x = k_1 k_2 z = k z$। অতএব $x \propto z$।

8. বৃত্তের পরিধি ($C$) তার ব্যাসার্ধ ($r$)-এর সাথে কীভাবে পরিবর্তিত হয়?

(A) সরল ভেদে ($C \propto r$)    (B) ব্যস্ত ভেদে    (C) যৌগিক ভেদে    (D) কোনো ভেদে থাকে না

সঠিক উত্তর: (A) সরল ভেদে ($C \propto r$)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$C = 2\pi r$। যেহেতু $2\pi$ একটি ধ্রুবক, তাই $C \propto r$ (সরল ভেদে থাকে)।

9. একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ($A$) তার ব্যাসার্ধের সাথে কীভাবে সম্পর্কযুক্ত?

(A) $A \propto r$    (B) $A \propto r^2$    (C) $A \propto \frac{1}{r}$    (D) $A \propto r^3$

সঠিক উত্তর: (B) $A \propto r^2$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$A = \pi r^2$। $\pi$ ধ্রুবক হওয়ায় ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের সাথে সরল ভেদে থাকে ($A \propto r^2$)।

10. যদি $a \propto b$ এবং $c \propto d$ হয়, তবে $ac$ ও $bd$-এর সম্পর্ক কী?

(A) $ac \propto \frac{1}{bd}$    (B) $ac \propto bd$    (C) $\frac{a}{c} \propto \frac{b}{d}$    (D) $ac = bd$

সঠিক উত্তর: (B) $ac \propto bd$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$a = k_1 b$ এবং $c = k_2 d \implies ac = (k_1 k_2) bd \implies ac \propto bd$।

11. যদি $x$ এবং $y$ পরস্পর ব্যস্ত ভেদে থাকে, তবে এদের সমীকরণটি কী হবে?

(A) $x = ky$    (B) $xy = k$ ($k$ অশূন্য ধ্রুবক)    (C) $\frac{x}{y} = k$    (D) $x + y = k$

সঠিক উত্তর: (B) $xy = k$ ($k$ অশূন্য ধ্রুবক)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ব্যস্ত ভেদ সম্পর্কের ক্ষেত্রে $x \propto \frac{1}{y} \implies x = \frac{k}{y} \implies xy = k$।

12. $x \propto \frac{1}{y}$ এবং যখন $y = 4$ তখন $x = 3$। ভেদ ধ্রুবকটির মান কত?

(A) 12    (B) $\frac{3}{4}$    (C) $\frac{4}{3}$    (D) 7

সঠিক উত্তর: (A) 12

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$k = xy = 3 \times 4 = 12$।

13. $x \propto \frac{1}{y}$ এবং যখন $x = 9$ তখন $y = 2$। $x = 6$ হলে $y$-এর মান কত?

(A) 2    (B) 3    (C) 4    (D) 6

সঠিক উত্তর: (B) 3

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$xy = k \implies 9 \times 2 = 18$। যখন $x = 6$, তখন $y = \frac{18}{6} = 3$।

14. গতিবেগ স্থির থাকলে অতিক্রান্ত দূরত্ব ও সময় কী ভেদে থাকে?

(A) ব্যস্ত ভেদে    (B) সরল ভেদে    (C) যৌগিক ভেদে    (D) কোনো ভেদে নয়

সঠিক উত্তর: (B) সরল ভেদে

ব্যাখ্যা / সমাধান:

দূরত্ব = গতিবেগ $\times$ সময়। গতিবেগ স্থির থাকলে দূরত্ব $\propto$ সময় (সরল ভেদ)।

15. নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় ও গতিবেগ পরস্পর কী ভেদে থাকে?

(A) সরল ভেদে    (B) ব্যস্ত ভেদে    (C) যৌগিক ভেদে    (D) অসম্পর্কিত

সঠিক উত্তর: (B) ব্যস্ত ভেদে

ব্যাখ্যা / সমাধান:

গতিবেগ $\times$ সময় = নির্দিষ্ট দূরত্ব (ধ্রুবক)। সুতরাং তারা ব্যস্ত ভেদে থাকে।

16. একটি কাজের ক্ষেত্রে শ্রমিকের সংখ্যা ও প্রয়োজনীয় দিন সংখ্যা পরস্পর কী ভেদে পরিবর্তিত হয়?

(A) সরল ভেদে    (B) ব্যস্ত ভেদে    (C) যৌগিক ভেদে    (D) সমানুপাতে

সঠিক উত্তর: (B) ব্যস্ত ভেদে

ব্যাখ্যা / সমাধান:

শ্রমিক সংখ্যা বাড়লে কাজ শেষ করার দিন সংখ্যা কমে, অর্থাৎ শ্রমিক সংখ্যা $\times$ দিন সংখ্যা = মোট কাজ (ধ্রুবক)। ফলে এরা ব্যস্ত ভেদে থাকে।

17. যদি $x \propto \frac{1}{y}$ এবং $y \propto \frac{1}{z}$ হয়, তবে $x$ ও $z$-এর মধ্যে সম্পর্ক কী?

(A) $x \propto \frac{1}{z}$    (B) $x \propto z$    (C) $xz = \text{ধ্রুবক}$    (D) $x = z^2$

সঠিক উত্তর: (B) $x \propto z$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = \frac{k_1}{y}$ এবং $y = \frac{k_2}{z} \implies x = \frac{k_1}{\frac{k_2}{z}} = \left(\frac{k_1}{k_2}\right) z$। অতএব $x \propto z$ (সরল ভেদে থাকে)।

18. $x \propto y$ হলে, $\frac{1}{x}$ এবং $\frac{1}{y}$-এর সম্পর্ক কী?

(A) $\frac{1}{x} \propto \frac{1}{y}$    (B) $\frac{1}{x} \propto y$    (C) $x \propto \frac{1}{y}$    (D) $\frac{1}{x} = y$

সঠিক উত্তর: (A) $\frac{1}{x} \propto \frac{1}{y}$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = ky \implies \frac{1}{x} = \frac{1}{k} \times \frac{1}{y}$। $\frac{1}{k}$ ধ্রুবক হওয়ায় $\frac{1}{x} \propto \frac{1}{y}$।

19. যদি $x^2 \propto \frac{1}{y}$ হয় এবং $y = 4$ হলে $x = 3$ হয়, তবে $y = 9$ হলে $x$-এর মান কত ($x > 0$)?

(A) 1    (B) 2    (C) 3    (D) 4

সঠিক উত্তর: (B) 2

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x^2 y = k \implies 3^2 \times 4 = 36$। যখন $y = 9$, তখন $x^2 \times 9 = 36 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$।

20. তিনটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক $k_1, k_2, k_3$-এর গুণফল 1 হলে এবং $x \propto y, y \propto z, z \propto x$ হলে তাদের ধ্রুবকগুলির গুণফল কী নির্দেশ করে?

(A) অবাস্তব    (B) 1 (নির্দিষ্ট একক মান)    (C) 0    (D) যেকোনো মান

সঠিক উত্তর: (B) 1 (নির্দিষ্ট একক মান)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = k_1 y, y = k_2 z, z = k_3 x \implies x = k_1 k_2 k_3 x \implies k_1 k_2 k_3 = 1$।

21. যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে, যদি $x \propto y$ (যখন $z$ ধ্রুবক) এবং $x \propto z$ (যখন $y$ ধ্রুবক) হয়, তবে $y$ ও $z$ উভয়ই পরিবর্তনশীল হলে—

(A) $x \propto (y + z)$    (B) $x \propto yz$    (C) $x \propto \frac{y}{z}$    (D) $x \propto (y - z)$

সঠিক উত্তর: (B) $x \propto yz$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

যৌগিক ভেদের উপপাদ্য (Theorem of Joint Variation) অনুযায়ী $x \propto yz$ হয় যখন $y$ ও $z$ উভয়ই পরিবর্তনশীল।

22. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন ($V$) ভূমির ব্যাসার্ধ ($r$) ও উচ্চতা ($h$)-এর সাথে কীভাবে সম্পর্কিত?

(A) $V \propto rh$    (B) $V \propto r^2 h$    (C) $V \propto \frac{r^2}{h}$    (D) $V \propto r h^2$

সঠিক উত্তর: (B) $V \propto r^2 h$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$V = \pi r^2 h$। $\pi$ ধ্রুবক হওয়ায় $V \propto r^2 h$।

23. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন $V \propto r^2 h$। যদি ব্যাসার্ধ অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হয়, তবে নতুন আয়তন কত হবে?

(A) মূল আয়তনের সমান    (B) মূল আয়তনের অর্ধেক    (C) মূল আয়তনের দ্বিগুণ    (D) মূল আয়তনের এক-চতুর্থাংশ

সঠিক উত্তর: (B) মূল আয়তনের অর্ধেক

ব্যাখ্যা / সমাধান:

নতুন আয়তন $\propto \left(\frac{r}{2}\right)^2 (2h) = \frac{r^2}{4} \times 2h = \frac{1}{2} r^2 h$। অর্থাৎ মূল আয়তনের অর্ধেক।

24. যদি $x \propto y$ এবং $x \propto \frac{1}{z}$ হয়, তবে যৌগিক ভেদ অনুসারে—

(A) $x \propto \frac{y}{z}$    (B) $x \propto yz$    (C) $x \propto (y + z)$    (D) $xyz = \text{ধ্রুবক}$

সঠিক উত্তর: (A) $x \propto \frac{y}{z}$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x \propto y \times \frac{1}{z} \implies x \propto \frac{y}{z}$।

25. $x \propto \frac{y}{z}$ এবং $y = 4, z = 2$ হলে $x = 6$ হয়। $y = 6, z = 3$ হলে $x$-এর মান কত?

(A) 4    (B) 6    (C) 8    (D) 12

সঠিক উত্তর: (B) 6

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = k \frac{y}{z} \implies 6 = k \left(\frac{4}{2}\right) \implies 6 = 2k \implies k = 3$। এখন $y = 6, z = 3$ হলে $x = 3 \times \frac{6}{3} = 6$।

26. যদি $A \propto B$ এবং $B \propto \frac{1}{C}$ হয়, তবে $A$ ও $C$-এর সম্পর্ক কী?

(A) $A \propto C$    (B) $A \propto \frac{1}{C}$    (C) $AC^2 = 1$    (D) $A = C$

সঠিক উত্তর: (B) $A \propto \frac{1}{C}$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$A = k_1 B$ এবং $B = \frac{k_2}{C} \implies A = \frac{k_1 k_2}{C}$। অতএব $A \propto \frac{1}{C}$ (ব্যস্ত ভেদে থাকে)।

27. যদি $x + y \propto x - y$ হয়, তবে নিচের কোনটি সঠিক?

(A) $x \propto y$    (B) $xy = \text{ধ্রুবক}$    (C) $x \propto \frac{1}{y}$    (D) $x^2 \propto \frac{1}{y^2}$

সঠিক উত্তর: (A) $x \propto y$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\frac{x+y}{x-y} = k$। যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই $\frac{2x}{2y} = \frac{k+1}{k-1} \implies \frac{x}{y} = m$ (ধ্রুবক) $\implies x \propto y$।

28. যদি $x \propto y$ হয়, তবে $x^2 + y^2$ কার সাথে সরল ভেদে থাকবে?

(A) $xy$    (B) $\frac{x}{y}$    (C) $x - y$    (D) $x^3$

সঠিক উত্তর: (A) $xy$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = ky \implies \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{k^2 y^2 + y^2}{k y^2} = \frac{k^2 + 1}{k}$ (ধ্রুবক)। অতএব $x^2 + y^2 \propto xy$।

29. যদি $x \propto y$ হয়, তবে $x^3 + y^3 \propto x^3 - y^3$— উক্তিটি কি?

(A) সর্বদা সত্য    (B) সর্বদা মিথ্যা    (C) কেবল $x = y$ হলে সত্য    (D) অনির্ণেয়

সঠিক উত্তর: (A) সর্বদা সত্য

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = ky \implies \frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3} = \frac{k^3 y^3 + y^3}{k^3 y^3 - y^3} = \frac{k^3 + 1}{k^3 - 1}$ (ধ্রুবক)। সুতরাং $x^3 + y^3 \propto x^3 - y^3$।

30. একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ভূমির দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার সাথে কীভাবে সম্পর্কিত?

(A) ভূমির সাথে সরল ও উচ্চতার সাথে ব্যস্ত    (B) উভয়ের সাথেই সরল ভেদে ($A \propto bh$)    (C) উভয়ের সাথেই ব্যস্ত ভেদে    (D) কোনো ভেদে নয়

সঠিক উত্তর: (B) উভয়ের সাথেই সরল ভেদে ($A \propto bh$)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$। ধ্রুবক $\frac{1}{2}$ হওয়ায় $A \propto bh$ (উভয়ের সাথে সরল ভেদে)।

31. যদি $a \propto b$ হয়, তবে $(a + b)$ কার সাথে সরল ভেদে থাকবে?

(A) $b$    (B) $a^2$    (C) $\frac{1}{b}$    (D) $ab$

সঠিক উত্তর: (A) $b$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$a = kb \implies a + b = kb + b = (k + 1)b$। $(k+1)$ ধ্রুবক হওয়ায় $(a + b) \propto b$।

32. যদি $x \propto y$ এবং $z \propto y$ হয়, তবে $(x + z)$ কার সাথে ভেদে থাকবে?

(A) $y$-এর সাথে সরল ভেদে    (B) $y$-এর সাথে ব্যস্ত ভেদে    (C) $y^2$-এর সাথে সরল ভেদে    (D) ধ্রুবক হবে

সঠিক উত্তর: (A) $y$-এর সাথে সরল ভেদে

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = k_1 y$ এবং $z = k_2 y \implies x + z = (k_1 + k_2) y$। অতএব $(x + z) \propto y$।

33. $x \propto y$ হলে, $\sqrt{xy}$ কার সাথে সরল ভেদে থাকবে?

(A) $x$ এবং $y$ উভয়ের সাথেই    (B) কেবল $x$-এর সাথে    (C) কেবল $y$-এর সাথে    (D) কারোর সাথে নয়

সঠিক উত্তর: (A) $x$ এবং $y$ উভয়ের সাথেই

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = ky \implies \sqrt{xy} = \sqrt{ky \cdot y} = \sqrt{k} y \propto y$ এবং একইভাবে $\propto x$।

34. যদি $x \propto y^2$ হয় এবং $y = 2$ হলে $x = 8$ হয়, তবে $x = 32$ হলে $y$-এর মান কত ($y > 0$)?

(A) 2    (B) 4    (C) 6    (D) 8

সঠিক উত্তর: (B) 4

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = k y^2 \implies 8 = k(2^2) = 4k \implies k = 2$। $32 = 2 y^2 \implies y^2 = 16 \implies y = 4$।

35. যদি $y \propto \sqrt{x}$ হয় এবং $x = 9$ হলে $y = 6$ হয়, তবে $y = 10$ হলে $x$-এর মান কত?

(A) 25    (B) 16    (C) 36    (D) 100

সঠিক উত্তর: (A) 25

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$y = k\sqrt{x} \implies 6 = k\sqrt{9} = 3k \implies k = 2$। এখন $10 = 2\sqrt{x} \implies \sqrt{x} = 5 \implies x = 25$।

36. যদি $a^2 + b^2 \propto ab$ হয়, তবে নিচের কোনটি সঠিক?

(A) $a \propto b$    (B) $a \propto \frac{1}{b}$    (C) $a^2 = b$    (D) $a + b = 0$

সঠিক উত্তর: (A) $a \propto b$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\frac{a^2 + b^2}{ab} = k \implies \frac{a^2 + b^2}{2ab} = \frac{k}{2}$। যোগ-ভাগ করে পাই $\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \frac{k+2}{k-2} \implies \frac{a+b}{a-b} = m \implies a \propto b$।

37. যদি $x$ দুটি চলের সমষ্টির সমান হয়, যার একটি $y$-এর সাথে সরল ভেদে এবং অপরটি $y$-এর সাথে ব্যস্ত ভেদে থাকে, তবে $x$-এর সমীকরণটি কী?

(A) $x = k_1 y + k_2 y$    (B) $x = k_1 y + \frac{k_2}{y}$    (C) $x = \frac{k_1}{y} + \frac{k_2}{y}$    (D) $x = k_1 y \times \frac{k_2}{y}$

সঠিক উত্তর: (B) $x = k_1 y + \frac{k_2}{y}$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ধরি $x = u + v$, যেখানে $u \propto y \implies u = k_1 y$ এবং $v \propto \frac{1}{y} \implies v = \frac{k_2}{y}$। সুতরাং $x = k_1 y + \frac{k_2}{y}$।

38. দুটি চলরাশির গুণফল সর্বদা ধ্রুবক হলে তাদের মধ্যকার ভেদ সম্পর্কটি কী?

(A) সরল ভেদ    (B) ব্যস্ত ভেদ    (C) যৌগিক ভেদ    (D) কোনো ভেদ নেই

সঠিক উত্তর: (B) ব্যস্ত ভেদ

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$xy = k \implies x \propto \frac{1}{y}$, অর্থাৎ চলরাশি দুটি পরস্পর ব্যস্ত ভেদে থাকে।

39. যদি $x \propto y$ হয়, তবে $x - y = 0$ কি সর্বদা সঠিক?

(A) হ্যাঁ    (B) না, কেবল যখন $k = 1$    (C) কখনোই নয়    (D) বলা যায় না

সঠিক উত্তর: (B) না, কেবল যখন $k = 1$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = ky \implies x - y = (k - 1)y$। এটি কেবল তখনই 0 হবে যখন $k = 1$।

40. যদি $p \propto q$ এবং $q \propto \frac{1}{r}$ এবং $r \propto s$ হয়, তবে $p$ ও $s$-এর সম্পর্ক কী?

(A) $p \propto s$    (B) $p \propto \frac{1}{s}$    (C) $ps = 1$    (D) $p + s = \text{ধ্রুবক}$

সঠিক উত্তর: (B) $p \propto \frac{1}{s}$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$p \propto q \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{s}$। সুতরাং $p \propto \frac{1}{s}$ (ব্যস্ত ভেদ)।

41. একটি হীরকের মূল্য তার ওজনের বর্গের সাথে সরল ভেদে পরিবর্তিত হয়। ওজন দ্বিগুণ হলে হীরকের মূল্য কত গুণ বৃদ্ধি পাবে?

(A) 2 গুণ    (B) 3 গুণ    (C) 4 গুণ    (D) 8 গুণ

সঠিক উত্তর: (C) 4 গুণ

ব্যাখ্যা / সমাধান:

মূল্য $P \propto W^2$। ওজন দ্বিগুণ ($2W$) হলে নতুন মূল্য $\propto (2W)^2 = 4W^2$, অর্থাৎ মূল্য 4 গুণ হবে।

42. একটি গোলকের আয়তন ব্যাসার্ধের ঘনের সাথে সরল ভেদে পরিবর্তিত হয়। ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে আয়তন কত গুণ হবে?

(A) 2 গুণ    (B) 4 গুণ    (C) 8 গুণ    (D) 16 গুণ

সঠিক উত্তর: (C) 8 গুণ

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$V \propto r^3$। ব্যাসার্ধ $2r$ হলে নতুন আয়তন $\propto (2r)^3 = 8r^3$, অর্থাৎ 8 গুণ হবে।

43. একটি নলকূপ খননের মোট খরচের একটি অংশ গভীরতার সাথে সরল ভেদে এবং অপর অংশ গভীরতার বর্গের সাথে সরল ভেদে পরিবর্তিত হয়। সমীকরণটি কী?

(A) $C = ax + bx^2$    (B) $C = ax + \frac{b}{x}$    (C) $C = \frac{a}{x} + bx^2$    (D) $C = abx^3$

সঠিক উত্তর: (A) $C = ax + bx^2$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

খরচ $C = C_1 + C_2$, যেখানে $C_1 \propto x \implies C_1 = ax$ এবং $C_2 \propto x^2 \implies C_2 = bx^2$। অতএব $C = ax + bx^2$।

44. একটি চলরাশি $x$-এর মান 50% বৃদ্ধি পেলে এবং $y \propto \frac{1}{x}$ হলে, $y$-এর মান শতকরা কত হ্রাস পাবে?

(A) 50%    (B) 33.33%    (C) 25%    (D) 66.67%

সঠিক উত্তর: (B) 33.33%

ব্যাখ্যা / সমাধান:

নতুন $x' = 1.5x = \frac{3}{2}x$। নতুন $y' = \frac{k}{x'} = \frac{k}{\frac{3}{2}x} = \frac{2}{3}y$। হ্রাস = $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 33.33\%$।

45. যদি 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন, তবে ভেদ তত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 দিনে কত বিঘা জমি চাষ করবেন?

(A) 24 বিঘা    (B) 28.8 বিঘা    (C) 36 বিঘা    (D) 30 বিঘা

সঠিক উত্তর: (B) 28.8 বিঘা

ব্যাখ্যা / সমাধান:

জমি $J \propto K \times D \implies J = c K D$। $18 = c \times 15 \times 5 \implies c = \frac{18}{75} = \frac{6}{25}$। নতুন জমি = $\frac{6}{25} \times 10 \times 12 = \frac{720}{25} = 28.8$ বিঘা।

46. একটি মুক্ত পতনশীল বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব ($d$) সময়ের ($t$) বর্গের সাথে সরল ভেদে পরিবর্তিত হয়। 2 সেকেন্ডে বস্তুটি 19.6 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করলে, 3 সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

(A) 29.4 মিটার    (B) 39.2 মিটার    (C) 44.1 মিটার    (D) 58.8 মিটার

সঠিক উত্তর: (C) 44.1 মিটার

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$d = k t^2 \implies 19.6 = k(2^2) = 4k \implies k = 4.9$। 3 সেকেন্ডে $d = 4.9 \times 3^2 = 4.9 \times 9 = 44.1$ মিটার।

47. গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের বর্গের সাথে সরল ভেদে থাকে। দুটি গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 9 : 4 হলে তাদের ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?

(A) 3 : 2    (B) 9 : 4    (C) 27 : 8    (D) 81 : 16

সঠিক উত্তর: (A) 3 : 2

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$S_1 : S_2 = r_1^2 : r_2^2 \implies 9 : 4 = r_1^2 : r_2^2 \implies r_1 : r_2 = \sqrt{9} : \sqrt{4} = 3 : 2$।

48. যদি $x \propto y$ হয়, তবে $(x^2 - y^2) \propto (x^2 + y^2)$ কি?

(A) হ্যাঁ, সরল ভেদে থাকবে    (B) না, ব্যস্ত ভেদে থাকবে    (C) সম্পর্কহীন    (D) মান শূন্য হবে

সঠিক উত্তর: (A) হ্যাঁ, সরল ভেদে থাকবে

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = ky \implies \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{k^2 - 1}{k^2 + 1}$ (ধ্রুবক)। অতএব $(x^2 - y^2) \propto (x^2 + y^2)$।

49. একটি ট্রেনের গতিবেগ কয়লার ব্যবহারের সাথে সম্পর্কিত। ট্রেনের গতিবেগ $v \propto \sqrt{w}$ হলে, গতিবেগ 3 গুণ করতে কয়লার ব্যবহার ($w$) কত গুণ করতে হবে?

(A) 3 গুণ    (B) 6 গুণ    (C) 9 গুণ    (D) 27 গুণ

সঠিক উত্তর: (C) 9 গুণ

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$v = k\sqrt{w} \implies v^2 = k^2 w \implies w \propto v^2$। গতিবেগ 3 গুণ হলে কয়লার ব্যবহার $3^2 = 9$ গুণ করতে হবে।

50. যদি $x$ এবং $y$ উভয়েই ধনাত্মক হয় এবং $x \propto \frac{1}{y}$ হয়, তবে $x$ বাড়লে $y$-এর কী পরিবর্তন ঘটবে?

(A) $y$ বৃদ্ধি পাবে    (B) $y$ হ্রাস পাবে    (C) $y$ অপরিবর্তিত থাকবে    (D) $y$ শূন্য হবে

সঠিক উত্তর: (B) $y$ হ্রাস পাবে

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ব্যস্ত ভেদের মূল বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী একটি চলের মান বৃদ্ধি পেলে অপর চলের মান আনুপাতিক হারে হ্রাস পায়।