Career Guidance
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-7-angles-in-a-circle-nije-kori-and-proyog-solutions
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য — নিজে করি ও প্রয়োগ সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Chapter 7 Nije Kori & Proyog)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের সপ্তম অধ্যায় বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle) মাধ্যমিক পরীক্ষার জ্যামিতি বিভাগের জন্য সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ। মাধ্যমিকে 5 নম্বরের মূল উপপাদ্য (উপপাদ্য 34, 35 বা 37) এবং 3 নম্বরের জ্যামিতিক প্রয়োগ (জ্যামিতিক যুক্তিভিত্তিক অতিরিক্ত প্রশ্ন) এই অধ্যায় থেকেই সবচেয়ে বেশি এসে থাকে। এই আর্টিকেলে মূল উপপাদ্যগুলির সম্পূর্ণ প্রামাণ্য রূপরেখা, পাঠ্যবইয়ের সমস্ত নিজে করি (7.1, 7.2, 7.3) এবং বিগত বছরগুলিতে মাধ্যমিকে আসা অতি-গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ (Starred Applications)-এর নিখুঁত সমাধান ধাপে ধাপে পরিবেশন করা হলো।
মাধ্যমিকের জন্য আবশ্যক মূল উপপাদ্যসমূহের প্রমাণ (5 নম্বরের প্রশ্ন)
উপপাদ্য 34 (Theorem 34 — পৃষ্ঠা 123): কোনো বৃত্তের একটি বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত যেকোনো বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
প্রদত্ত (Given):
ধরি $O$ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের $APB$ বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB$।
প্রামাণ্য (To Prove):
$$\angle AOB = 2 \times \angle ACB$$
অঙ্কন (Construction):
$C, O$ বিন্দু দুটি যুক্ত করে $D$ বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম।
প্রমাণ (Proof):
$\triangle AOC$-এর $OA = OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle OCA = \angle OAC$ (সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান)।
আবার, $\triangle AOC$-এর $CO$ বাহুকে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ $\angle AOD$:
$$\angle AOD = \angle OCA + \angle OAC = \angle OCA + \angle OCA = 2\angle OCA \quad \text{............... (1)}$$
একইভাবে $\triangle BOC$-এর $OB = OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle OCB = \angle OBC$
বহিঃস্থ $\angle BOD = \angle OCB + \angle OBC = 2\angle OCB \quad \text{............... (2)}$
(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
$$\angle AOD + \angle BOD = 2\angle OCA + 2\angle OCB$$
$$\implies \angle AOB = 2(\angle OCA + \angle OCB) = 2\angle ACB$$
$\therefore \angle AOB = 2\angle ACB$ (প্রমাণিত)।
উপপাদ্য 35 (Theorem 35 — পৃষ্ঠা 129): একই বৃত্তাংশস্থিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান।
প্রদত্ত (Given):
ধরি $O$ কেন্দ্রীয় যেকোনো একটি বৃত্তের একই বৃত্তাংশস্থিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ হলো $\angle ACB$ এবং $\angle ADB$।
প্রামাণ্য (To Prove):
$$\angle ACB = \angle ADB$$
অঙ্কন (Construction):
$A, O$ এবং $B, O$ যুক্ত করলাম।
প্রমাণ (Proof):
$APB$ উপচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ হলো $\angle AOB$ এবং পরিধিস্থ বৃত্তস্থ কোণ দুটি হলো $\angle ACB$ ও $\angle ADB$।
উপপাদ্য 34 অনুসারে, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ:
$$\angle AOB = 2\angle ACB \quad \text{............... (1)}$$
এবং $$\angle AOB = 2\angle ADB \quad \text{............... (2)}$$
(1) ও (2) হতে তুলনা করে পাই:
$$2\angle ACB = 2\angle ADB$$
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই:
$\angle ACB = \angle ADB$ (প্রমাণিত)।
উপপাদ্য 37 (Theorem 37 — পৃষ্ঠা 136): অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ।
প্রদত্ত (Given):
ধরি $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ একটি ব্যাস এবং $\angle ACB$ যেকোনো একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
প্রামাণ্য (To Prove):
$\angle ACB = 1 \text{ সমকোণ} = 90^\circ$।
প্রমাণ (Proof):
$APB$ বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ হলো সরলকোণ $\angle AOB$ এবং পরিধিস্থ বৃত্তস্থ কোণ হলো $\angle ACB$।
উপপাদ্য 34 অনুসারে:
$$\angle AOB = 2\angle ACB$$
যেহেতু $AOB$ একটি সরলরেখাংশ (ব্যাস), সুতরাং কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB$ একটি সরলকোণ = 2 সমকোণ ($180^\circ$)।
$$2\angle ACB = 2 \text{ সমকোণ} = 180^\circ$$
$$\implies \angle ACB = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ = 1 \text{ সমকোণ}$$
$\therefore$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ (প্রমাণিত)।
নিজে করি (Nije Kori) সমাধানসমূহ
নিজে করি 7.1 (পৃষ্ঠা 125): $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ ও বৃত্তস্থ কোণের অনুপাত কত নির্ণয় করি। যদি বৃত্তস্থ কোণ $42^\circ$ হয়, তবে কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত?
সমাধান:
উপপাদ্য 34 অনুসারে, কেন্দ্রস্থ কোণ = $2 \times$ বৃত্তস্থ কোণ।
$\therefore$ কেন্দ্রস্থ কোণ : বৃত্তস্থ কোণ = $2 : 1$।
প্রদত্ত বৃত্তস্থ কোণ = $42^\circ$।
$\therefore$ কেন্দ্রস্থ কোণ = $2 \times 42^\circ = 84^\circ$।
উত্তর:
অনুপাত $2:1$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণের মান $84^\circ$।
নিজে করি 7.2 (পৃষ্ঠা 131): একটি বৃত্তে একই বৃত্তাংশস্থিত তিনটি কোণ যথাক্রমে $\angle P, \angle Q, \angle R$। যদি $\angle P = 58^\circ$ হয়, তবে $\angle Q$ ও $\angle R$-এর সমষ্টি কত হবে হিসাব করি।
সমাধান:
আমরা জানি (উপপাদ্য 35), একই বৃত্তাংশস্থিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান পরস্পর সমান।
$\therefore \angle P = \angle Q = \angle R = 58^\circ$
$\therefore \angle Q + \angle R = 58^\circ + 58^\circ = 116^\circ$
উত্তর:
$\angle Q$ ও $\angle R$-এর সমষ্টি $116^\circ$।
নিজে করি 7.3 (পৃষ্ঠা 137): $AB$ ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের ওপর $C$ বিন্দুটি অবস্থিত। যদি $AC = BC$ হয়, তবে $\angle ABC$-এর মান কত হবে লিখি।
সমাধান:
যেহেতু $AB$ বৃত্তের ব্যাস এবং $C$ পরিধির ওপর অবস্থিত বিন্দু:
$\therefore \angle ACB = 90^\circ$ (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ)।
$\triangle ABC$-তে প্রদত্ত $AC = BC$।
সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান, তাই $\angle ABC = \angle BAC$।
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$:
$$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ$$
$$2\angle ABC + 90^\circ = 180^\circ$$
$$2\angle ABC = 90^\circ \implies \angle ABC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$
উত্তর:
$\angle ABC$-এর মান $45^\circ$।
মাধ্যমিকের অতি-গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগসমূহ (Starred Board Exam Applications)
প্রয়োগ 5 (পৃষ্ঠা 125 - মাধ্যমিকে প্রায়শই আসা সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন): $\triangle ABC$-এর পরিকেন্দ্র $O$। যদি $\angle OBC = 35^\circ$ হয়, তবে $\angle BAC$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
যেহেতু $O$ বিন্দুটি $\triangle ABC$-এর পরিকেন্দ্র, তাই $OB = OC$ (একই পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
$\triangle OBC$-তে $OB = OC$ হওয়ায়:
$$\angle OCB = \angle OBC = 35^\circ$$
এখন $\triangle OBC$-এর তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$:
$$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$$
আমরা জানি, $BC$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOC$ এবং পরিধিস্থ বৃত্তস্থ কোণ $\angle BAC$।
উপপাদ্য অনুসারে:
$$\angle BOC = 2\angle BAC$$
$$\implies \angle BAC = \frac{\angle BOC}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$
উত্তর:
$\angle BAC$-এর মান $55^\circ$।
প্রয়োগ 8 (পৃষ্ঠা 128 - মাধ্যমিকের 3 নম্বরের জ্যামিতিক প্রয়োগ): প্রমাণ করি যে, বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র।
প্রমাণ:
প্রদত্ত: ধরি $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক।
প্রামাণ্য: $ABCD$ একটি আয়তক্ষেত্র, অর্থাৎ এর যেকোনো একটি কোণ সমকোণ ($90^\circ$)।
যুক্তি:
যেহেতু $ABCD$ একটি সামান্তরিক, তাই এর বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান।
$$\therefore \angle A = \angle C \quad \text{............... (1)}$$
আবার, যেহেতু $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, আমরা জানি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক (সমষ্টি $180^\circ$):
$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
(1) নং সমীকরণ থেকে $\angle C$-এর মান $\angle A$ বসালে পাই:
$$\angle A + \angle A = 180^\circ \implies 2\angle A = 180^\circ \implies \angle A = 90^\circ$$
যে সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ ($90^\circ$), তা একটি আয়তক্ষেত্র।
$\therefore ABCD$ একটি আয়তক্ষেত্র (প্রমাণিত)।
উত্তর:
প্রমাণিত হলো যে বৃত্তস্থ সামান্তরিক সর্বদাই একটি আয়তক্ষেত্র।
প্রয়োগ 10 (পৃষ্ঠা 130 - মাধ্যমিকের অতি-গুরুত্বপূর্ণ 3 নম্বরের স্টার প্রয়োগ): $\triangle ABC$-এর অন্তঃকেন্দ্র $I$ এবং $AI$-কে বর্ধিত করলে তা ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, $DB = DC = DI$।
প্রমাণ:
প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এর অন্তঃকেন্দ্র $I$। $AI$ বর্ধিত হয়ে পরিবৃত্তকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $B, D$ এবং $C, D$ যুক্ত করা হলো।
প্রামাণ্য: $DB = DC = DI$।
যুক্তি ও প্রমাণ:
যেহেতু $I$ অন্তঃকেন্দ্র, তাই $AD$ হলো $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং $BI$ হলো $\angle ABC$-এর সমদ্বিখণ্ডক।
$\therefore \angle BAD = \angle CAD$
এখন বৃত্তে একই বৃত্তচাপ $CD$-এর ওপর গঠিত পরিধিস্থ কোণদ্বয় $\angle CBD = \angle CAD$ (উপপাদ্য 35 অনুসারে)।
$\therefore \angle CBD = \angle BAD$
আবার বৃত্তচাপ $BD$-এর ওপর গঠিত পরিধিস্থ কোণদ্বয় $\angle BCD = \angle BAD$।
অতএব $\angle CBD = \angle BCD \implies \triangle DBC$-এর $DB = DC$ ............... (1)
এখন $\triangle DIB$-এর কোণ বিবেচনা করি:
$\angle DBI = \angle DBC + \angle CBI = \angle DAC + \angle ABI = \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B$
আবার বহিঃস্থ কোণ $\angle DIB = \angle IAB + \angle IBA = \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B$
$\therefore \angle DBI = \angle DIB$
সমান কোণের বিপরীত বাহু সমান হওয়ায়: $DB = DI$ ............... (2)
(1) ও (2) থেকে পাই: $DB = DC = DI$।
উত্তর:
প্রমাণিত হলো যে $DB = DC = DI$।
প্রয়োগ 12 (পৃষ্ঠা 134): $ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের $AB = DC$ হলে প্রমাণ করি যে, $AD \parallel BC$ অথবা ট্রাপিজিয়ামটির কর্ণদ্বয় সমান।
প্রমাণ:
প্রদত্ত: $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং জ্যা $AB = \text{জ্যা } DC$।
সমান জ্যা বৃত্তে সমান বৃত্তচাপ উৎপন্ন করে:
$$\text{চাপ } AB = \text{চাপ } DC$$
উভয় চাপের সাথে বৃত্তচাপ $BC$ যোগ করে পাই:
$$\text{চাপ } AB + \text{চাপ } BC = \text{চাপ } DC + \text{চাপ } BC$$
$$\implies \text{চাপ } ABC = \text{চাপ } DCB$$
সমান বৃত্তচাপের সংশ্লিষ্ট জ্যা পরস্পর সমান:
$$\therefore \text{জ্যা } AC = \text{জ্যা } BD$$
অর্থাৎ, চতুর্ভুজটির কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান। (প্রমাণিত)
উত্তর:
প্রমাণিত হলো যে $AC = BD$।
প্রয়োগ 15 (পৃষ্ঠা 137 - মাধ্যমিকের অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য প্রয়োগ): $AB$ ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের পরিধির ওপর $C$ যেকোনো একটি বিন্দু। $C$ বিন্দু থেকে ব্যাস $AB$-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব $CD$। প্রমাণ করি যে, $CD^2 = AD \times BD$।
প্রমাণ:
প্রদত্ত: $AB$ বৃত্তের ব্যাস এবং $C$ বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত বিন্দু। $CD \perp AB$ ($D$ বিন্দু $AB$-এর ওপর অবস্থিত)।
প্রামাণ্য: $CD^2 = AD \times BD$।
অঙ্কন: $A, C$ এবং $B, C$ যুক্ত করা হলো।
যুক্তি ও প্রমাণ:
যেহেতু $AB$ ব্যাস, তাই $\angle ACB = 90^\circ$ (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ)।
সুতরাং $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার সমকৌণিক বিন্দু $C$ থেকে অতিভুজ $AB$-এর ওপর $CD$ লম্ব।
সমকোণী ত্রিভুজের সদৃশতার ধর্ম অনুসারে, উৎপন্ন দুটি সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ADC$ এবং $\triangle CDB$ পরস্পর সদৃশ।
$\therefore \frac{CD}{BD} = \frac{AD}{CD}$ (সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত সমান)
বজ্রগুণন করে পাই:
$$CD \times CD = AD \times BD \implies CD^2 = AD \times BD$$
উত্তর:
প্রমাণিত হলো যে $CD^2 = AD \times BD$।
জ্যামিতি প্রস্তুতির বিশেষ পরামর্শ: উপপাদ্য 34 এবং উপপাদ্য 35 মাধ্যমিকে বারবার 5 নম্বরের প্রশ্ন হিসেবে আসে। জ্যামিতির ক্ষেত্রে স্পষ্ট চিত্র ও প্রদত্ত, প্রামাণ্য, অঙ্কন ও প্রমাণের ধাপগুলি ক্রমানুসারে খাতায় লিখে বারবার অভ্যাস করা উচিত।
