State Govt Jobs
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-15-theorems-on-tangent-to-a-circle-50-mcq-solutions
বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য — 50টি সেরা MCQ ও উত্তর সমাধান (Class 10 Math Chapter 15 MCQ)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 15: বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on Tangent to a Circle) থেকে মাধ্যমিক ও স্কুল পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ 50টি সেরা বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ) নিচে দেওয়া হলো। প্রতিটি প্রশ্নের সাথে সঠিক উত্তর এবং স্পর্শকের বৈশিষ্ট্য, সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা ও দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের ধাপে ধাপে জ্যামিতিক ব্যাখ্যা সংযুক্ত করা হয়েছে।
1. একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুতে সর্বাধিক কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?
(A) 1টি (B) 2টি (C) 3টি (D) অসংখ্য
সঠিক উত্তর: (A) 1টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত যেকোনো একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেবলমাত্র এবং কেবলমাত্র 1টি স্পর্শক অঙ্কন করা সম্ভব।
2. বৃত্তের স্পর্শক এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের মধ্যকার কোণ কত ডিগ্রি?
(A) $45^\circ$ (B) $60^\circ$ (C) $90^\circ$ (D) $180^\circ$
সঠিক উত্তর: (C) $90^\circ$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
উপপাদ্য অনুসারে, বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শক এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্ব ($90^\circ$) হয়।
3. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর সর্বাধিক কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?
(A) 1টি (B) 2টি (C) 3টি (D) অসংখ্য
সঠিক উত্তর: (B) 2টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
বৃত্তের বাইরে অবস্থিত যেকোনো একটি বিন্দু থেকে সংশ্লিষ্ট বৃত্তটির উপর সর্বাধিক 2টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
4. বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে ওই বৃত্তের উপর কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?
(A) 0টি (একটিও নয়) (B) 1টি (C) 2টি (D) অসংখ্য
সঠিক উত্তর: (A) 0টি (একটিও নয়)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থিত কোনো বিন্দু দিয়ে কোনো স্পর্শক অঙ্কন করা যায় না, কারণ যেকোনো রেখা বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে (ছেদক হয়)।
5. একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করলে সরলরেখাটিকে কী বলা হয়?
(A) স্পর্শক (B) ছেদক (Secant) (C) জ্যা (D) ব্যাস
সঠিক উত্তর: (B) ছেদক (Secant)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
যে সরলরেখা কোনো বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ছেদক (Secant) বলে।
6. বৃত্তের দুটি সমান্তরাল স্পর্শকের মধ্যকার দূরত্ব বৃত্তের কার সমান?
(A) ব্যাসার্ধের সমান (B) ব্যাসের সমান (C) পরিধির সমান (D) জ্যা-এর সমান
সঠিক উত্তর: (B) ব্যাসের সমান
ব্যাখ্যা / সমাধান:
বৃত্তের দুটি সমান্তরাল স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ হলো বৃত্তের একটি ব্যাস। সুতরাং স্পর্শক দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব ব্যাসের সমান।
7. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি। দুটি সমান্তরাল স্পর্শকের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
(A) 5 সেমি (B) 10 সেমি (C) 15 সেমি (D) 2.5 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 10 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমান্তরাল স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ব্যাস = $2 \times 5 = 10$ সেমি।
8. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $P$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক $PT$ এবং $OP$ ব্যাসার্ধ হলে, $\angle OPT$-এর মান কত?
(A) $45^\circ$ (B) $60^\circ$ (C) $90^\circ$ (D) $120^\circ$
সঠিক উত্তর: (C) $90^\circ$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্ব হওয়ায় $\angle OPT = 90^\circ$।
9. বৃত্তের কোনো জ্যা-এর প্রান্তবিন্দু দুটিতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হলে, জ্যা-টি বৃত্তের কী হবে?
(A) ব্যাসার্ধ (B) ব্যাস (C) যেকোনো জ্যা (D) স্পর্শক
সঠিক উত্তর: (B) ব্যাস
ব্যাখ্যা / সমাধান:
কেবলমাত্র কোনো ব্যাসের বিপরীত দুই প্রান্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হয়।
10. একটি বৃত্তে কতগুলি সমান্তরাল স্পর্শক যুগল থাকতে পারে?
(A) 1 জোড়া (B) 2 জোড়া (C) অসংখ্য জোড়া (D) কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: (C) অসংখ্য জোড়া
ব্যাখ্যা / সমাধান:
একটি বৃত্তের অসংখ্য ব্যাস অঙ্কন করা যায় এবং প্রতিটি ব্যাসের দুই প্রান্তে এক জোড়া করে সমান্তরাল স্পর্শক থাকে, তাই অসংখ্য সমান্তরাল স্পর্শক যুগল সম্ভব।
11. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য কেমন হয়?
(A) অসমান (B) পরস্পর সমান (C) একটি অপরটির দ্বিগুণ (D) নির্দিষ্ট নয়
সঠিক উত্তর: (B) পরস্পর সমান
ব্যাখ্যা / সমাধান:
উপপাদ্য অনুসারে, বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়, তাদের দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান ($PA = PB$)।
12. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সেমি। কেন্দ্র $O$ থেকে 10 সেমি দূরের একটি বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?
(A) 6 সেমি (B) 8 সেমি (C) 10 সেমি (D) 12 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 8 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OPT$-এ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $PT = \sqrt{OP^2 - OT^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ সেমি।
13. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে বৃত্তের স্পর্শক $PT = 12$ সেমি এবং কেন্দ্র থেকে $P$-এর দূরত্ব $OP = 13$ সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
(A) 4 সেমি (B) 5 সেমি (C) 6 সেমি (D) 7 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 5 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{OP^2 - PT^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ সেমি।
14. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 9 সেমি। কেন্দ্র থেকে 15 সেমি দূরবর্তী একটি বিন্দু থেকে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত হবে?
(A) 10 সেমি (B) 11 সেমি (C) 12 সেমি (D) 14 সেমি
সঠিক উত্তর: (C) 12 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ সেমি।
15. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় $PA$ ও $PB$ বৃত্তকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে স্পর্শ করে। $\angle APB = 60^\circ$ হলে $\angle AOB$-এর মান কত ($O$ কেন্দ্র)?
(A) $60^\circ$ (B) $90^\circ$ (C) $120^\circ$ (D) $150^\circ$
সঠিক উত্তর: (C) $120^\circ$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
চতুর্ভুজ $OAPB$-এ $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$। সুতরাং $\angle AOB + \angle APB = 180^\circ \implies \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।
16. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $A$ ও $B$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পর $P$ বিন্দুতে মিলিত হয়। $\angle AOB = 110^\circ$ হলে, $\angle APB$-এর মান কত?
(A) $55^\circ$ (B) $70^\circ$ (C) $80^\circ$ (D) $90^\circ$
সঠিক উত্তর: (B) $70^\circ$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\angle APB = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$।
17. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় $PA$ ও $PB$। $\angle APB = 80^\circ$ হলে $\angle PAB$-এর মান কত?
(A) $40^\circ$ (B) $50^\circ$ (C) $60^\circ$ (D) $70^\circ$
সঠিক উত্তর: (B) $50^\circ$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$PA = PB$ হওয়ায় $\triangle PAB$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। অতএব $\angle PAB = \angle PBA = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$।
18. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে $PA$ ও $PB$ দুটি স্পর্শক। $\angle APB = 70^\circ$ হলে, $\angle OAB$-এর মান কত?
(A) $35^\circ$ (B) $45^\circ$ (C) $55^\circ$ (D) $70^\circ$
সঠিক উত্তর: (A) $35^\circ$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\angle AOB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$। $\triangle OAB$-এ $OA = OB$ হওয়ায় $\angle OAB = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$ (অথবা $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle APB = 35^\circ$)।
19. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত স্পর্শক $PT$। $OP$-এর মধ্যবিন্দু $M$ হলে, $M$ কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত $T$ বিন্দু দিয়ে যাবে কি?
(A) হ্যাঁ (B) না (C) কেবল ব্যাসার্ধ 5 সেমি হলে (D) বলা সম্ভব নয়
সঠিক উত্তর: (A) হ্যাঁ
ব্যাখ্যা / সমাধান:
যেহেতু $\angle OTP = 90^\circ$, তাই $OP$ ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় বৃত্তটি স্পর্শবিন্দু $T$ দিয়ে যাবে।
20. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$। বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক পরস্পর লম্ব হলে, $OP$-এর দৈর্ঘ্য কত?
(A) $r$ (B) $r\sqrt{2}$ (C) $2r$ (D) $\frac{r}{\sqrt{2}}$
সঠিক উত্তর: (B) $r\sqrt{2}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে $\angle APB = 90^\circ$। চতুর্ভুজ $OAPB$-এর চারটি কোণই $90^\circ$ এবং সন্নিহিত বাহু সমান ($OA = OB = r$), অর্থাৎ এটি একটি বর্গক্ষেত্র। কর্ণের দৈর্ঘ্য $OP = r\sqrt{2}$।
21. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে তাদের সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা কয়টি?
(A) 1টি (B) 2টি (C) 3টি (D) 4টি
সঠিক উত্তর: (C) 3টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে মোট 3টি সাধারণ স্পর্শক থাকে (2টি সরল সাধারণ স্পর্শক এবং 1টি তির্যক সাধারণ স্পর্শক যা স্পর্শবিন্দুতে থাকে)।
22. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে তাদের সাধারণ স্পর্শক কয়টি?
(A) 1টি (B) 2টি (C) 3টি (D) 0টি
সঠিক উত্তর: (A) 1টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে তাদের কেবল 1টি সাধারণ স্পর্শক থাকে (স্পর্শবিন্দুগামী)।
23. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে দুটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করলে তাদের কয়টি সাধারণ স্পর্শক থাকে?
(A) 1টি (B) 2টি (C) 3টি (D) 4টি
সঠিক উত্তর: (B) 2টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করলে তাদের 2টি সরল সাধারণ স্পর্শক থাকে।
24. দুটি বৃত্ত পরস্পর পৃথকভাবে অবস্থান করলে (একে অপরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে) সর্বাধিক কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?
(A) 2টি (B) 3টি (C) 4টি (D) অসংখ্য
সঠিক উত্তর: (C) 4টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
দুটি পৃথক বৃত্তের ক্ষেত্রে মোট 4টি সাধারণ স্পর্শক থাকে (2টি সরল সাধারণ স্পর্শক এবং 2টি তির্যক সাধারণ স্পর্শক)।
25. একটি বৃত্ত অপর একটি বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থান করলে (ছেদ বা স্পর্শ না করে) তাদের সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা কত?
(A) 0টি (একটিও নয়) (B) 1টি (C) 2টি (D) 4টি
সঠিক উত্তর: (A) 0টি (একটিও নয়)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
একটি বৃত্ত অন্যটির সম্পূর্ণ ভেতরে থাকলে তাদের কোনো সাধারণ স্পর্শক থাকে না (0টি)।
26. দুটি সমকেন্দ্রিক (Concentric) বৃত্তের সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা কয়টি?
(A) 0টি (B) 1টি (C) 2টি (D) অসংখ্য
সঠিক উত্তর: (A) 0টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমকেন্দ্রিক বৃত্তগুলির কোনো সাধারণ স্পর্শক থাকতে পারে না (0টি)।
27. দুটি বৃত্তের তির্যক সাধারণ স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে—
(A) ছেদ করে না (B) ছেদ করে (C) সমান্তরাল হয় (D) স্পর্শ করে
সঠিক উত্তর: (B) ছেদ করে
ব্যাখ্যা / সমাধান:
তির্যক সাধারণ স্পর্শক কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে অন্তর্ভাগে ছেদ করে।
28. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $R$ ও $r$ এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $d$। বৃত্ত দুটি বহিঃস্পর্শ করলে তাদের শর্তটি কী?
(A) $d = R + r$ (B) $d = R - r$ (C) $d > R + r$ (D) $d < R + r$
সঠিক উত্তর: (A) $d = R + r$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
দুটি বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব তাদের ব্যাসার্ধদ্বয়ের সমষ্টির সমান হয় ($d = R + r$)।
29. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $R$ ও $r$ ($R > r$)। বৃত্ত দুটি অন্তঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব কত?
(A) $R + r$ (B) $R - r$ (C) $R \times r$ (D) $\frac{R}{r}$
সঠিক উত্তর: (B) $R - r$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
দুটি বৃত্ত অন্তঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের অন্তরের সমান হয় ($d = R - r$)।
30. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি ও 3 সেমি। তারা পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব কত?
(A) 2 সেমি (B) 8 সেমি (C) 15 সেমি (D) 4 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 8 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = $R + r = 5 + 3 = 8$ সেমি।
31. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেমি ও 2 সেমি এবং তারা পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে। কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব কত?
(A) 9 সেমি (B) 5 সেমি (C) 4.5 সেমি (D) 14 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 5 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অন্তঃস্পর্শ করলে দূরত্ব = $R - r = 7 - 2 = 5$ সেমি।
32. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 5 সেমি ও 3 সেমি। কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 10 সেমি হলে বৃত্ত দুটির অবস্থান কেমন?
(A) পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে (B) পরস্পর ছেদ করে (C) পরস্পর থেকে দূরে পৃথকভাবে অবস্থিত (D) অন্তঃস্পর্শ করে
সঠিক উত্তর: (C) পরস্পর থেকে দূরে পৃথকভাবে অবস্থিত
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$R + r = 5 + 3 = 8$ সেমি। যেহেতু কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $d = 10 > 8$, তাই বৃত্ত দুটি পৃথকভাবে বাইরে অবস্থিত।
33. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সেমি ও 4 সেমি। কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 8 সেমি হলে বৃত্ত দুটি—
(A) পরস্পরকে ছেদ করে (B) বহিঃস্পর্শ করে (C) অন্তঃস্পর্শ করে (D) কোনো স্পর্শ করে না
সঠিক উত্তর: (A) পরস্পরকে ছেদ করে
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$R - r = 2$ এবং $R + r = 10$। যেহেতু $2 < 8 < 10$, অর্থাৎ $R - r < d < R + r$, তাই বৃত্ত দুটি পরস্পরকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে।
34. দুটি বৃত্তের সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $L$-এর সূত্র কোনটি (যেখানে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $d$ এবং ব্যাসার্ধ $R, r$)?
(A) $\sqrt{d^2 - (R - r)^2}$ (B) $\sqrt{d^2 - (R + r)^2}$ (C) $\sqrt{d^2 + (R - r)^2}$ (D) $d - (R - r)$
সঠিক উত্তর: (A) $\sqrt{d^2 - (R - r)^2}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{d^2 - (R - r)^2}$।
35. দুটি বৃত্তের তির্যক সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের সূত্র কোনটি?
(A) $\sqrt{d^2 - (R + r)^2}$ (B) $\sqrt{d^2 - (R - r)^2}$ (C) $\sqrt{d^2 + (R + r)^2}$ (D) $d - (R + r)$
সঠিক উত্তর: (A) $\sqrt{d^2 - (R + r)^2}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
তির্যক সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{d^2 - (R + r)^2}$।
36. দুটি সমান বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সেমি এবং তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 10 সেমি। তাদের সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?
(A) 6 সেমি (B) 8 সেমি (C) 10 সেমি (D) 12 সেমি
সঠিক উত্তর: (C) 10 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমান বৃত্ত হওয়ায় $R - r = 4 - 4 = 0$। স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{d^2 - 0^2} = d = 10$ সেমি।
37. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 8 সেমি ও 3 সেমি এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 13 সেমি। সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?
(A) 10 সেমি (B) 12 সেমি (C) 11 সেমি (D) 13 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 12 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$L = \sqrt{13^2 - (8 - 3)^2} = \sqrt{169 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ সেমি।
38. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সেমি ও 2 সেমি এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 10 সেমি। তির্যক সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?
(A) 6 সেমি (B) 8 সেমি (C) 9 সেমি (D) 10 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 8 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$L_{\text{trans}} = \sqrt{10^2 - (4 + 2)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ সেমি।
39. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে তাদের সাধারণ স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে কীভাবে বিভক্ত করে?
(A) সমান ভাগে (B) ব্যাসার্ধদ্বয়ের অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে (C) বহির্বিভক্ত করে (D) নির্দিষ্ট নয়
সঠিক উত্তর: (B) ব্যাসার্ধদ্বয়ের অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে
ব্যাখ্যা / সমাধান:
স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখার উপর অবস্থিত এবং তা কেন্দ্রদ্বয়কে $R : r$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
40. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে কীভাবে বিভক্ত করে?
(A) অন্তর্বিভক্ত করে (B) ব্যাসার্ধের অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে (C) ছেদ করে না (D) সমদ্বিখণ্ডিত করে
সঠিক উত্তর: (B) ব্যাসার্ধের অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অন্তঃস্পর্শের ক্ষেত্রে স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে বহির্বিভক্ত করে।
41. একটি বৃত্ত কোনো চতুর্ভুজ $ABCD$-এর চারটি বাহুকে স্পর্শ করলে (বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজ হলে), নিচের কোনটি সর্বদা সত্য?
(A) $AB + CD = BC + DA$ (B) $AB + BC = CD + DA$ (C) $AC = BD$ (D) $AB \parallel CD$
সঠিক উত্তর: (A) $AB + CD = BC + DA$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
বৃত্তে পরিলিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি সর্বদা সমান হয়, অর্থাৎ $AB + CD = BC + DA$।
42. $ABCD$ চতুর্ভুজটি একটি বৃত্তে পরিলিখিত। যদি $AB = 6$ সেমি, $BC = 7$ সেমি এবং $CD = 4$ সেমি হয়, তবে $AD$-এর দৈর্ঘ্য কত?
(A) 3 সেমি (B) 4 সেমি (C) 5 সেমি (D) 6 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) 3 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$AB + CD = BC + AD \implies 6 + 4 = 7 + AD \implies 10 = 7 + AD \implies AD = 3$ সেমি।
43. বৃত্তে পরিলিখিত সামান্তরিক সর্বদা একটি কী?
(A) আয়তক্ষেত্র (B) রম্বস (Rhombus) (C) ট্রাপিজিয়াম (D) বর্গক্ষেত্র নয় এমন সামান্তরিক
সঠিক উত্তর: (B) রম্বস (Rhombus)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
বৃত্তে পরিলিখিত সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান এবং $AB + CD = BC + DA \implies 2AB = 2BC \implies AB = BC$। সুতরাং এটি সর্বদা একটি রম্বস।
44. একটি সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর $\angle B = 90^\circ$। $AB = 3$ সেমি, $BC = 4$ সেমি। ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
(A) 1 সেমি (B) 2 সেমি (C) 1.5 সেমি (D) 2.5 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) 1 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অতিভুজ $AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ সেমি। অন্তর্ব্যাসার্ধ $r = \frac{AB + BC - AC}{2} = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ সেমি।
45. বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় $PA$ ও $PB$ বৃত্তকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে স্পর্শ করে। জ্যা $AB$-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি এবং ব্যাসার্ধ 5 সেমি হলে, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?
(A) $\frac{20}{3}$ সেমি (B) 6 সেমি (C) 7 সেমি (D) 8 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) $\frac{20}{3}$ সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$AB$-এর অর্ধেক 4 সেমি। কেন্দ্র থেকে $AB$-এর দূরত্ব $OM = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ সেমি। সদৃশ ত্রিভুজ থেকে $\frac{PA}{OA} = \frac{AM}{OM} \implies \frac{PA}{5} = \frac{4}{3} \implies PA = \frac{20}{3}$ সেমি।
46. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি। $P$ এমন একটি বিন্দু যাতে $OP = 13$ সেমি। $P$ থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি বৃত্তকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে স্পর্শ করলে চতুর্ভুজ $OAPB$-এর ক্ষেত্রফল কত?
(A) 30 বর্গসেমি (B) 60 বর্গসেমি (C) 65 বর্গসেমি (D) 120 বর্গসেমি
সঠিক উত্তর: (B) 60 বর্গসেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $PA = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ সেমি। $\triangle OAP$-এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$ বর্গসেমি। চতুর্ভুজ $OAPB$-এর ক্ষেত্রফল = $2 \times 30 = 60$ বর্গসেমি।
47. কোনো বৃত্তের স্পর্শক ও সেই স্পর্শবিন্দুগামী জ্যা-এর মধ্যবর্তী কোণ কার সমান?
(A) একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণের সমান (B) কেন্দ্রস্থ কোণের সমান (C) সরলকোণের সমান (D) সমকোণের সমান
সঠিক উত্তর: (A) একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণের সমান
ব্যাখ্যা / সমাধান:
একান্তর বৃত্তাংশস্থ উপপাদ্য (Alternate Segment Theorem) অনুযায়ী, স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দুগামী জ্যা-এর মধ্যবর্তী কোণ একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণের সমান হয়।
48. দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি ও 3 সেমি। বৃহত্তর বৃত্তের যে জ্যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তকে স্পর্শ করে, তার দৈর্ঘ্য কত?
(A) 4 সেমি (B) 6 সেমি (C) 8 সেমি (D) 10 সেমি
সঠিক উত্তর: (C) 8 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ লম্ব হওয়ায় সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়। অর্ধ-জ্যা = $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ সেমি। জ্যা-টির মোট দৈর্ঘ্য = $2 \times 4 = 8$ সেমি।
49. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 8 সেমি। বৃত্তের বাইরে এমন একটি বিন্দু যার থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 15 সেমি। কেন্দ্র থেকে বিন্দুটির দূরত্ব কত?
(A) 17 সেমি (B) 19 সেমি (C) 23 সেমি (D) 25 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) 17 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
দূরত্ব $d = \sqrt{r^2 + L^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ সেমি।
50. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত স্পর্শক $PT$ এবং $PAB$ একটি ছেদক যা বৃত্তকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। তবে নিচের কোনটি সঠিক?
(A) $PT^2 = PA \times PB$ (B) $PT = PA + PB$ (C) $PT^2 = PA^2 + PB^2$ (D) $PT \times PB = PA$
সঠিক উত্তর: (A) $PT^2 = PA \times PB$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ছেদক ও স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুযায়ী, $PT^2 = PA \times PB$।
