examuttoron.com | EXAM UTTORON

Link: https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-16-cone-koshe-dekhi-16-solutions

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু — কষে দেখি 16 সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Cone Koshe Dekhi 16)

EXAM UTTORON examuttoron.com

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 16: লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)-এর অন্তর্গত কষে দেখি 16-এর প্রতিটি গাণিতিক সমস্যার পুঙ্খানুপুঙ্খ, ধাপে ধাপে ও নির্ভুল সমাধান নিচে বিস্তারিতভাবে প্রদান করা হলো।

কষে দেখি 16 — অনুশীলনী সমাধান

1. আমি একটি মুখবন্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছি যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $15\text{ cm}$ এবং তির্যক উচ্চতা $24\text{ cm}$। ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

প্রদত্ত তথ্য:

ভূমির ব্যাসার্ধ ($r$) $= 15\text{ cm}$
তির্যক উচ্চতা ($l$) $= 24\text{ cm}$

গণনা:

(i) পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল:
$= \pi r l$
$= \frac{22}{7} \times 15 \times 24$
$= \frac{7,920}{7} = 1,131\frac{3}{7}\text{ বর্গসেমি}$ (বা প্রায় $1,131.43\text{ বর্গসেমি}$)

(ii) সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল:
$= \pi r (l + r)$
$= \frac{22}{7} \times 15 \times (24 + 15)$
$= \frac{22}{7} \times 15 \times 39$
$= \frac{12,870}{7} = 1,838\frac{4}{7}\text{ বর্গসেমি}$ (বা প্রায় $1,838.57\text{ বর্গসেমি}$)

উত্তর: পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল $1,131\frac{3}{7}\text{ বর্গসেমি}$ এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $1,838\frac{4}{7}\text{ বর্গসেমি}$।

2. শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করি যখন:

(i) ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $1.5\text{ m}$ এবং উচ্চতা $2.8\text{ m}$
(ii) ভূমির ব্যাস $21\text{ m}$ এবং তির্যক উচ্চতা $17.5\text{ m}$

সমাধান:

(i) প্রথম ক্ষেত্রে:
$r = 1.5\text{ m}$, $h = 2.8\text{ m}$
আয়তন ($V$) $= \frac{1}{3}\pi r^2 h$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.5)^2 \times 2.8$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.25 \times 2.8$
$= \frac{1}{3} \times 22 \times 2.25 \times 0.4$
$= \frac{19.8}{3} = 6.6\text{ ঘনমিটার}$

(ii) দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
ভূমির ব্যাস $= 21\text{ m} \implies$ ব্যাসার্ধ $r = \frac{21}{2} = 10.5\text{ m}$
তির্যক উচ্চতা $l = 17.5\text{ m}$
উচ্চতা $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{(17.5)^2 - (10.5)^2}$
$= \sqrt{(17.5 - 10.5)(17.5 + 10.5)} = \sqrt{7 \times 28} = \sqrt{196} = 14\text{ m}$

আয়তন ($V$) $= \frac{1}{3}\pi r^2 h$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (10.5)^2 \times 14$
$= \frac{1}{3} \times 22 \times 110.25 \times 2$
$= \frac{44 \times 110.25}{3} = \frac{4,851}{3} = 1,617\text{ ঘনমিটার}$

উত্তর: (i) আয়তন $6.6\text{ ঘনমিটার}$, (ii) আয়তন $1,617\text{ ঘনমিটার}$।

3. আমিনা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য $15\text{ cm}$ ও $20\text{ cm}$। $15\text{ cm}$ দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয় তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করি।

সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজটিকে সমকোণ সংলগ্ন বাহুকে অক্ষ ধরে আবর্তন করলে একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু উৎপন্ন হয়।
যেহেতু $15\text{ cm}$ বাহুকে অক্ষ ধরা হয়েছে:
শঙ্কুর উচ্চতা ($h$) $= 15\text{ cm}$
ভূমির ব্যাসার্ধ ($r$) $= 20\text{ cm}$

তির্যক উচ্চতা ($l$):
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\text{ cm}$

1. পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল:
$= \pi r l = \frac{22}{7} \times 20 \times 25 = \frac{11,000}{7} = 1,571\frac{3}{7}\text{ বর্গসেমি}$

2. সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল:
$= \pi r(l + r) = \frac{22}{7} \times 20 \times (25 + 20) = \frac{22}{7} \times 20 \times 45 = \frac{19,800}{7} = 2,828\frac{4}{7}\text{ বর্গসেমি}$

3. আয়তন:
$= \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 20^2 \times 15 = \frac{22 \times 400 \times 5}{7} = \frac{44,000}{7} = 6,285\frac{5}{7}\text{ ঘনসেমি}$

উত্তর: পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল $1,571\frac{3}{7}\text{ বর্গসেমি}$, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $2,828\frac{4}{7}\text{ বর্গসেমি}$ এবং আয়তন $6,285\frac{5}{7}\text{ ঘনসেমি}$।

4. কোনো শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা যথাক্রমে $6\text{ cm}$ ও $10\text{ cm}$ হলে, শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করি।

সমাধান:

উচ্চতা ($h$) $= 6\text{ cm}$, তির্যক উচ্চতা ($l$) $= 10\text{ cm}$
ভূমির ব্যাসার্ধ ($r$):
$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$

(i) সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল:
$= \pi r(l + r) = \frac{22}{7} \times 8 \times (10 + 8) = \frac{22 \times 8 \times 18}{7} = \frac{3,168}{7} = 452\frac{4}{7}\text{ বর্গসেমি}$

(ii) আয়তন:
$= \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 8^2 \times 6 = \frac{22 \times 64 \times 2}{7} = \frac{2,816}{7} = 402\frac{2}{7}\text{ ঘনসেমি}$

উত্তর: সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $452\frac{4}{7}\text{ বর্গসেমি}$ এবং আয়তন $402\frac{2}{7}\text{ ঘনসেমি}$।

5. কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন $100\pi\text{ ঘনসেমি}$ এবং উচ্চতা $12\text{ cm}$ হলে শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি ভূমির ব্যাসার্ধ $r\text{ cm}$ এবং উচ্চতা $h = 12\text{ cm}$।
প্রশ্নানুসারে:
$\frac{1}{3}\pi r^2 h = 100\pi$
$\frac{1}{3} r^2 \times 12 = 100$
$4r^2 = 100$
$r^2 = 25 \implies r = 5\text{ cm}$

তির্যক উচ্চতা ($l$):
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$

উত্তর: শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা $13\text{ cm}$।

6. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরিতে $77\text{ বর্গমিটার}$ ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি $7\text{ মিটার}$ হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

তাঁবু তৈরিতে প্রয়োজনীয় ত্রিপল হলো তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল।
পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল $= \pi r l = 77\text{ বর্গমিটার}$
দেওয়া আছে তির্যক উচ্চতা $l = 7\text{ মিটার}$।
$\frac{22}{7} \times r \times 7 = 77$
$22r = 77$
$r = \frac{77}{22} = \frac{7}{2} = 3.5\text{ মিটার}$

ভূমিতলের ক্ষেত্রফল:
$= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} = \frac{11 \times 7}{2} = \frac{77}{2} = 38.5\text{ বর্গমিটার}$

উত্তর: তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল $38.5\text{ বর্গমিটার}$।

7. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস $21\text{ মিটার}$ এবং উচ্চতা $14\text{ মিটার}$। প্রতি বর্গমিটার $1.50\text{ টাকা}$ হিসেবে পার্শ্বতল রং করতে কত খরচ পড়বে নির্ণয় করি।

সমাধান:

ভূমির ব্যাসার্ধ $r = \frac{21}{2} = 10.5\text{ মিটার}$
উচ্চতা $h = 14\text{ মিটার}$

তির্যক উচ্চতা ($l$):
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(10.5)^2 + 14^2} = \sqrt{110.25 + 196} = \sqrt{306.25} = 17.5\text{ মিটার}$

পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল:
$= \pi r l = \frac{22}{7} \times 10.5 \times 17.5 = 22 \times 1.5 \times 17.5 = 577.5\text{ বর্গমিটার}$

প্রতি বর্গমিটারে $1.50\text{ টাকা}$ হারে রং করার মোট খরচ:
$= 577.5 \times 1.50 = 866.25\text{ টাকা}$

উত্তর: মোট খরচ পড়বে $866.25\text{ টাকা}$।

8. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার পাতের বয়া তৈরি করতে $75\frac{3}{7}\text{ বর্গমিটার}$ লোহার পাত লেগেছে। বয়াটির তির্যক উচ্চতা যদি $5\text{ মিটার}$ হয়, তবে বয়াটিতে কত বায়ুর আয়তন আছে ও উচ্চতা কত?

সমাধান:

বয়া একটি মুখবন্ধ শঙ্কু, তাই ব্যবহৃত লোহার পাত তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= \pi r(l + r) = 75\frac{3}{7} = \frac{528}{7}\text{ বর্গমিটার}$
দেওয়া আছে তির্যক উচ্চতা $l = 5\text{ মিটার}$।

$\frac{22}{7} \times r(5 + r) = \frac{528}{7}$
$22r(5 + r) = 528$
$r(5 + r) = \frac{528}{22} = 24$
$r^2 + 5r - 24 = 0$
$(r + 8)(r - 3) = 0$

যেহেতু ব্যাসার্ধ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $r = 3\text{ মিটার}$।

বয়াটির উচ্চতা ($h$):
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ মিটার}$

বয়াটিতে থাকা বায়ুর আয়তন:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3^2 \times 4 = \frac{22 \times 3 \times 4}{7} = \frac{264}{7} = 37\frac{5}{7}\text{ ঘনমিটার}$

উত্তর: বয়াটির উচ্চতা $4\text{ মিটার}$ এবং বায়ুর আয়তন $37\frac{5}{7}\text{ ঘনমিটার}$ (বা $37.71\text{ ঘনমিটার}$)।

9. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে $4\text{ বর্গমিটার}$ জায়গা এবং $20\text{ ঘনমিটার}$ বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুটির উচ্চতা হিসাব করি।

সমাধান:

11 জন লোকের জন্য ভূমির মোট প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রফল:
$\text{ভূমির ক্ষেত্রফল} (\pi r^2) = 11 \times 4 = 44\text{ বর্গমিটার}$

11 জন লোকের জন্য মোট বাতাসের আয়তন:
$\text{মোট আয়তন} (V) = 11 \times 20 = 220\text{ ঘনমিটার}$

আমরা জানি, শঙ্কুর আয়তন:
$V = \frac{1}{3} \times (\text{ভূমির ক্ষেত্রফল}) \times \text{উচ্চতা}$
$220 = \frac{1}{3} \times 44 \times h$
$h = \frac{220 \times 3}{44} = 5 \times 3 = 15\text{ মিটার}$

উত্তর: তাঁবুটির উচ্চতা $15\text{ মিটার}$।

10. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নোত্তর (VSA & MCQ):

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ ও উচ্চতা অর্ধেক করলে তার আয়তন পূর্বের তুলনায় কত হবে?
উত্তর: দ্বিগুণ হবে।
ব্যাখ্যা: নতুন আয়তন $V' = \frac{1}{3}\pi (2r)^2 \left(\frac{h}{2}\right) = \frac{1}{3}\pi (4r^2) \frac{h}{2} = 2 \left(\frac{1}{3}\pi r^2 h\right) = 2V$।

(ii) শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুণ করলে আয়তন শতকরা কত বৃদ্ধি পায়?
উত্তর: $100\%$ বৃদ্ধি পাবে।
ব্যাখ্যা: নতুন আয়তন $V' = 2V$, বৃদ্ধির হার $= \frac{2V - V}{V} \times 100\% = 100\%$।