examuttoron.com | EXAM UTTORON

Link: https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-17-construction-tangent-to-a-circle-50-mcq-solutions

সম্পাদ্য: বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন — 50টি সেরা MCQ ও উত্তর সমাধান (Class 10 Math Chapter 17 MCQ)

EXAM UTTORON examuttoron.com

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 17: সম্পাদ্য: বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Tangent to a Circle) থেকে মাধ্যমিক ও স্কুল পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ 50টি সেরা বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ) নিচে দেওয়া হলো। প্রতিটি প্রশ্নের সাথে সঠিক উত্তর এবং বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন পদ্ধতি, অর্ধবৃত্তস্থ কোণের ধর্ম ও স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের ধাপে ধাপে গাণিতিক ও জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া হয়েছে।

1. একটি বৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

(A) 1টি    (B) 2টি    (C) 3টি    (D) অসংখ্য

সঠিক উত্তর: (A) 1টি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি এবং কেবল একটিই স্পর্শক অঙ্কন করা সম্ভব।

2. বৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কন করতে হলে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর কত ডিগ্রি কোণ অঙ্কন করতে হয়?

(A) $45^\circ$    (B) $60^\circ$    (C) $90^\circ$ (লম্ব)    (D) $120^\circ$

সঠিক উত্তর: (C) $90^\circ$ (লম্ব)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

স্পর্শক এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্ব হওয়ায় স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধের উপর $90^\circ$ কোণ অঙ্কন করতে হয়।

3. বৃত্তের কেন্দ্র না জেনে কেবল বৃত্তচাপ বা বৃত্ত দেওয়া থাকলে স্পর্শক অঙ্কন করতে কোন জ্যামিতিক উপপাদ্য প্রয়োগ করা হয়?

(A) পিথাগোরাসের উপপাদ্য    (B) একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণের উপপাদ্য    (C) থেলেসের উপপাদ্য    (D) অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য

সঠিক উত্তর: (B) একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণের উপপাদ্য

ব্যাখ্যা / সমাধান:

কেন্দ্র ব্যতিরেকে স্পর্শবিন্দুতে যেকোনো জ্যা অঙ্কন করে একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণের সমান কোণ স্পর্শবিন্দুতে বিপরীত পাশে অঙ্কন করে স্পর্শক টানা যায়।

4. বৃত্তের ব্যাসের উভয় প্রান্তে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক পরস্পর কেমন হয়?

(A) পরস্পর লম্ব    (B) পরস্পর সমান্তরাল    (C) পরস্পরছেদী    (D) সমান দৈর্ঘ্যের নয়

সঠিক উত্তর: (B) পরস্পর সমান্তরাল

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ব্যাসের উভয় প্রান্তে ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল ($90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, অন্তঃস্থ কোণ সম্পূরক)।

5. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সেমি। বৃত্তের উপর একটি বিন্দু $A$-তে স্পর্শক অঙ্কন করলে কেন্দ্র $O$ থেকে স্পর্শকের দূরত্ব কত?

(A) 0 সেমি    (B) 4 সেমি    (C) 8 সেমি    (D) 2 সেমি

সঠিক উত্তর: (B) 4 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্বই হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 4 সেমি।

6. একটি বৃত্তের পরিধির উপর $A$ ও $B$ বিন্দু দুটি এমন যে তারা একটি ব্যাসের বিপরীত প্রান্তে অবস্থিত নয়। তাদের স্পর্শক দুটি পরস্পরকে—

(A) ছেদ করবে    (B) কখনোই ছেদ করবে না    (C) সমান্তরাল হবে    (D) সমপাতিত হবে

সঠিক উত্তর: (A) ছেদ করবে

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ব্যাস ব্যতীত যেকোনো জ্যা-এর প্রান্তবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি সমান্তরাল হয় না, তারা বৃত্তের বাইরে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

7. বৃত্তের উপরিস্থিত বিন্দুতে স্কেল ও পেনসিল কম্পাস দিয়ে লম্ব অঙ্কনে কত মাপের বৃত্তচাপ ব্যবহার করা হয়?

(A) যেকোনো সুবিধাজনক ব্যাসার্ধের    (B) কেবল ব্যাসার্ধের সমান    (C) ব্যাসের সমান    (D) 1 সেমি

সঠিক উত্তর: (A) যেকোনো সুবিধাজনক ব্যাসার্ধের

ব্যাখ্যা / সমাধান:

নির্দিষ্ট বিন্দুতে লম্ব অঙ্কনের জন্য যেকোনো সুবিধাজনক ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ কেটে $90^\circ$ কোণ তৈরি করা হয়।

8. একটি বৃত্তের জ্যা $AB$-এর দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের সমান। $A$ ও $B$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

(A) $30^\circ$    (B) $60^\circ$    (C) $120^\circ$    (D) $90^\circ$

সঠিক উত্তর: (C) $120^\circ$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

জ্যা ব্যাসার্ধের সমান হওয়ায় $\triangle OAB$ সমবাহু, ফলে কেন্দ্রে কোণ $\angle AOB = 60^\circ$। স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ = $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।

9. একটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কন করতে ন্যূনতম কী কী জ্যামিতিক সরঞ্জাম আবশ্যক?

(A) চাঁদা ও স্কেল    (B) স্কেল ও পেনসিল কম্পাস    (C) সেট স্কয়ার    (D) কেবল স্কেল

সঠিক উত্তর: (B) স্কেল ও পেনসিল কম্পাস

ব্যাখ্যা / সমাধান:

মাধ্যমিকের সম্পাদ্য নীতি অনুযায়ী কেবলমাত্র স্কেল ও পেনসিল কম্পাস ব্যবহার করেই $90^\circ$ কোণ ও স্পর্শক অঙ্কন করতে হয়।

10. বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তটিকে কয়টি বিন্দুতে স্পর্শ করে?

(A) কেবল 1টি বিন্দুতে    (B) 2টি বিন্দুতে    (C) অসীম সংখ্যক বিন্দুতে    (D) কোনো বিন্দুতেই নয়

সঠিক উত্তর: (A) কেবল 1টি বিন্দুতে

ব্যাখ্যা / সমাধান:

স্পর্শকের সংজ্ঞানুযায়ী তা বৃত্তের সাথে কেবলমাত্র 1টি সাধারণ স্পর্শবিন্দু বজায় রাখে।

11. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ওই বৃত্তের উপর কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা সম্ভব?

(A) 1টি    (B) 2টি    (C) 3টি    (D) অসংখ্য

সঠিক উত্তর: (B) 2টি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

বৃত্তের বাইরের যেকোনো বিন্দু থেকে ওই বৃত্তের উপর সর্বাধিক 2টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।

12. বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক অঙ্কন করার প্রথম ধাপে কী করতে হয়?

(A) বৃত্তের ব্যাস আঁকতে হয়    (B) বহিঃস্থ বিন্দু ও কেন্দ্র যুক্ত করে রেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করতে হয়    (C) কোণের সমদ্বিখণ্ডক আঁকতে হয়    (D) ত্রিভুজ আঁকতে হয়

সঠিক উত্তর: (B) বহিঃস্থ বিন্দু ও কেন্দ্র যুক্ত করে রেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করতে হয়

ব্যাখ্যা / সমাধান:

কেন্দ্র $O$ এবং বহিঃস্থ বিন্দু $P$ যোগ করে $OP$-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করে মধ্যবিন্দু $M$ নির্ণয় করতে হয়।

13. বহিঃস্থ বিন্দু থেকে স্পর্শক অঙ্কনে $OP$-এর মধ্যবিন্দু $M$ নির্ণয় করে কোন ব্যাসার্ধের বৃত্ত বা বৃত্তচাপ অঙ্কন করা হয়?

(A) $OP$    (B) $MO$ বা $MP$    (C) মূল বৃত্তের ব্যাসার্ধের    (D) যেকোনো মাপের

সঠিক উত্তর: (B) $MO$ বা $MP$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$M$ কে কেন্দ্র করে $MO$ (বা $MP$)-কে ব্যাসার্ধ ধরে একটি সহায়ক বৃত্ত বা বৃত্তচাপ অঙ্কন করা হয়।

14. এই সহায়ক বৃত্তটি মূল বৃত্তকে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

(A) 1টি    (B) 2টি (স্পর্শবিন্দুদ্বয়)    (C) 3টি    (D) 4টি

সঠিক উত্তর: (B) 2টি (স্পর্শবিন্দুদ্বয়)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

সহায়ক বৃত্তটি মূল বৃত্তের পরিধিকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, যে দুটি বিন্দুই হলো নির্ণেয় স্পর্শবিন্দু।

15. সহায়ক বৃত্তের সাহায্যে স্পর্শবিন্দু পাওয়ার মূল জ্যামিতিক কারণ কী?

(A) একান্তর কোণ সমান    (B) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ ($90^\circ$)    (C) অনুরূপ কোণ সমান    (D) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ গঠন

সঠিক উত্তর: (B) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ ($90^\circ$)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$OP$ ব্যাস হওয়ায় পরিধিস্থ কোণটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এবং তার মান $90^\circ$ হয়, যা স্পর্শকের শর্ত পূরণ করে।

16. বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত দুটি স্পর্শক $PA$ ও $PB$ হলে, তাদের দৈর্ঘ্যের মধ্যে সম্পর্ক কী?

(A) $PA > PB$    (B) $PA < PB$    (C) $PA = PB$    (D) $PA = 2PB$

সঠিক উত্তর: (C) $PA = PB$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

উপপাদ্য অনুযায়ী বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান, অর্থাৎ $PA = PB$।

17. বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ দুটি কেমন হয়?

(A) অসমান    (B) পরস্পর সমান ($\angle POA = \angle POB$)    (C) সম্পূরক    (D) পূরক

সঠিক উত্তর: (B) পরস্পর সমান ($\angle POA = \angle POB$)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

স্পর্শকদ্বয় কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে, অর্থাৎ $\angle POA = \angle POB$।

18. বহিঃস্থ বিন্দু $P$ ও কেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখা $OP$ স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\angle APB$-কে কী করে?

(A) সমদ্বিখণ্ডিত করে    (B) অসমান অংশে বিভক্ত করে    (C) স্পর্শ করে    (D) কোনো প্রভাব ফেলে না

সঠিক উত্তর: (A) সমদ্বিখণ্ডিত করে

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$OP$ রেখাংশ স্পর্শক দুটির অন্তর্ভুক্তি কোণ $\angle APB$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে ($\angle APO = \angle BPO$)।

19. বৃত্তের বাইরে কোনো বিন্দু থেকে কেবল 1টি স্পর্শক অঙ্কন করতে চাইলে সহায়ক বৃত্তটির কী অঙ্কন করলেই চলে?

(A) সম্পূর্ণ বৃত্ত    (B) একদিকের কেবল একটি বৃত্তচাপ    (C) জ্যা    (D) ব্যাস

সঠিক উত্তর: (B) একদিকের কেবল একটি বৃত্তচাপ

ব্যাখ্যা / সমাধান:

কেবল একটি স্পর্শক অঙ্কনের ক্ষেত্রে যেকোনো একপাশে মূল বৃত্তের উপর একটি ছেদবিন্দু (বৃত্তচাপ কেটে) নির্ধারণ করলেই চলে।

20. বহিঃস্থ বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির যত কাছে আসবে, স্পর্শক দুটির মধ্যবর্তী কোণ তত—

(A) হ্রাস পাবে    (B) বৃদ্ধি পাবে    (C) একই থাকবে    (D) শূন্য হবে

সঠিক উত্তর: (B) বৃদ্ধি পাবে

ব্যাখ্যা / সমাধান:

বহিঃস্থ বিন্দু বৃত্তের যত নিকটে আসবে, স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ তত বড় হবে এবং পরিধিতে এলে তা $180^\circ$ বা সরলরেখা হবে।

21. 3 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সেমি দূরে অবস্থিত বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

(A) 3 সেমি    (B) 4 সেমি    (C) 5 সেমি    (D) 6 সেমি

সঠিক উত্তর: (B) 4 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{OP^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ সেমি।

22. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2.5 সেমি। কেন্দ্র থেকে 6.5 সেমি দূরবর্তী বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

(A) 5 সেমি    (B) 6 সেমি    (C) 7 সেমি    (D) 5.5 সেমি

সঠিক উত্তর: (B) 6 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(6.5)^2 - (2.5)^2} = \sqrt{(6.5 + 2.5)(6.5 - 2.5)} = \sqrt{9 \times 4} = \sqrt{36} = 6$ সেমি।

23. 4 সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কত দূরে বহিঃস্থ বিন্দু নিলে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ সেমি হবে?

(A) 6 সেমি    (B) 8 সেমি    (C) 10 সেমি    (D) 12 সেমি

সঠিক উত্তর: (B) 8 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$OP = \sqrt{r^2 + L^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$ সেমি।

24. বৃত্তের কেন্দ্র $O$ থেকে 13 সেমি দূরবর্তী বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 12 সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাস কত?

(A) 5 সেমি    (B) 10 সেমি    (C) 12 সেমি    (D) 15 সেমি

সঠিক উত্তর: (B) 10 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ সেমি। অতএব ব্যাস = $2 \times 5 = 10$ সেমি।

25. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সেমি এবং কেন্দ্র থেকে বহিঃস্থ বিন্দুর দূরত্ব 10 সেমি। স্পর্শবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

(A) 4.8 সেমি    (B) 9.6 সেমি    (C) 8 সেমি    (D) 12 সেমি

সঠিক উত্তর: (B) 9.6 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

স্পর্শক = 8 সেমি। সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর উচ্চতা $h = \frac{6 \times 8}{10} = 4.8$ সেমি। জ্যা-এর মোট দৈর্ঘ্য = $2 \times 4.8 = 9.6$ সেমি।

26. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে দুটি স্পর্শক $PA$ ও $PB$ অঙ্কন করা হলো। চতুর্ভুজ $OAPB$ একটি কী রূপ চতুর্ভুজ?

(A) সামান্তরিক    (B) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ    (C) রম্বস    (D) ট্রাপিজিয়াম

সঠিক উত্তর: (B) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\angle OAP + \angle OBP = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$। বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হওয়ায় $OAPB$ সর্বদা একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

27. যদি $OAPB$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে $\angle AOB = 130^\circ$ হয়, তবে স্পর্শক দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle APB$-এর মান কত?

(A) $40^\circ$    (B) $50^\circ$    (C) $60^\circ$    (D) $65^\circ$

সঠিক উত্তর: (B) $50^\circ$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\angle APB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$।

28. একটি 5 সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের এমন দুটি স্পর্শক অঙ্কন করতে হবে যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $90^\circ$। কেন্দ্র থেকে বহিঃস্থ বিন্দুর দূরত্ব কত হতে হবে?

(A) $5\sqrt{2}$ সেমি    (B) 10 সেমি    (C) $5\sqrt{3}$ সেমি    (D) 5 সেমি

সঠিক উত্তর: (A) $5\sqrt{2}$ সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

কোণ $90^\circ$ হলে চতুর্ভুজটি বর্গক্ষেত্র হয় যার বাহু $r = 5$ সেমি। কর্ণের দৈর্ঘ্য $OP = r\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ সেমি।

29. স্কেল ও পেনসিল কম্পাস দিয়ে $OP$ রেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করতে $O$ ও $P$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে কোন মাপের ব্যাসার্ধের বৃত্তচাপ আঁকতে হয়?

(A) $OP$-এর অর্ধেকের কম    (B) $OP$-এর অর্ধেকের বেশি    (C) ঠিক $OP$-এর সমান    (D) যেকোনো ক্ষুদ্র মাপ

সঠিক উত্তর: (B) $OP$-এর অর্ধেকের বেশি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

যেকোনো সরলরেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করতে হলে রেখাংশটির আনুমানিক অর্ধেকের বেশি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে উভয় পাশে বৃত্তচাপ আঁকতে হয়।

30. বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুদ্বয়কে কেন্দ্র $O$-এর সাথে যুক্ত করলে গঠিত ত্রিভুজ $\triangle OAB$ সর্বদা কী ধরনের ত্রিভুজ?

(A) বিষমবাহু    (B) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ    (C) সমবাহু ত্রিভুজ    (D) স্থূলকোণী ত্রিভুজ

সঠিক উত্তর: (B) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$OA$ এবং $OB$ উভয়ই একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($OA = OB$), ফলে $\triangle OAB$ সর্বদা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

31. একটি বৃত্তের এমন দুটি স্পর্শক অঙ্কন করতে হবে যাদের মধ্যবর্তী কোণ $60^\circ$। তাদের স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত হতে হবে?

(A) $60^\circ$    (B) $90^\circ$    (C) $120^\circ$    (D) $150^\circ$

সঠিক উত্তর: (C) $120^\circ$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

স্পর্শক দুটির মধ্যবর্তী কোণ ও কেন্দ্রে ব্যাসার্ধ দুটির কোণ পরস্পর সম্পূরক। অতএব কোণ = $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।

32. বৃত্তের এমন দুটি স্পর্শক আঁকতে হবে যারা পরস্পরের উপর লম্ব ($90^\circ$)। বৃত্তের কেন্দ্রে ব্যাসার্ধ দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত আঁকতে হবে?

(A) $45^\circ$    (B) $60^\circ$    (C) $90^\circ$    (D) $180^\circ$

সঠিক উত্তর: (C) $90^\circ$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

কেন্দ্রে কোণ = $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$।

33. স্পর্শকদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ $45^\circ$ হলে কেন্দ্রে কোণ কত অঙ্কন করতে হয়?

(A) $45^\circ$    (B) $90^\circ$    (C) $135^\circ$    (D) $150^\circ$

সঠিক উত্তর: (C) $135^\circ$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

কেন্দ্রে কোণ = $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$।

34. স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $30^\circ$ হলে কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ কত হবে?

(A) $60^\circ$    (B) $120^\circ$    (C) $150^\circ$    (D) $90^\circ$

সঠিক উত্তর: (C) $150^\circ$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$।

35. একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের উপরিস্থিত দুটি বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি কেন্দ্রে ব্যাসার্ধদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ—

(A) $90^\circ$ হয়    (B) $180^\circ$ হয় (সরলকোণ)    (C) $120^\circ$ হয়    (D) $60^\circ$ হয়

সঠিক উত্তর: (B) $180^\circ$ হয় (সরলকোণ)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

কেন্দ্রে কোণ $180^\circ$ হলে স্পর্শবিন্দু দুটি ব্যাসের বিপরীত দুই প্রান্তে অবস্থিত হয়, ফলে স্পর্শক দুটি সমান্তরাল হয়।

36. নির্দিষ্ট কোণে স্পর্শক যুগল আঁকার সময় প্রথমে কী আঁকা হয়?

(A) স্পর্শক আঁকা হয়    (B) কেন্দ্রে সম্পূরক কোণ বিশিষ্ট দুটি ব্যাসার্ধ আঁকা হয়    (C) বহিঃস্থ বিন্দু নেওয়া হয়    (D) ছেদক আঁকা হয়

সঠিক উত্তর: (B) কেন্দ্রে সম্পূরক কোণ বিশিষ্ট দুটি ব্যাসার্ধ আঁকা হয়

ব্যাখ্যা / সমাধান:

প্রথমে কেন্দ্রে সম্পূরক কোণ বিশিষ্ট দুটি ব্যাসার্ধ $OA$ ও $OB$ অঙ্কন করা হয়, তারপর $A$ ও $B$ বিন্দুতে দুটি লম্ব অঙ্কন করা হয়।

37. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সেমি। বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ $60^\circ$ হলে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

(A) 4 সেমি    (B) $4\sqrt{3}$ সেমি    (C) $\frac{4}{\sqrt{3}}$ সেমি    (D) 8 সেমি

সঠিক উত্তর: (B) $4\sqrt{3}$ সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজে কোণটি $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$। $\tan 30^\circ = \frac{r}{L} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{L} \implies L = 4\sqrt{3}$ সেমি।

38. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি। বহিঃস্থ বিন্দু থেকে স্পর্শকের মধ্যবর্তী কোণ $60^\circ$ হলে কেন্দ্র থেকে বহিঃস্থ বিন্দুর দূরত্ব কত?

(A) 5 সেমি    (B) 10 সেমি    (C) $5\sqrt{3}$ সেমি    (D) 12 সেমি

সঠিক উত্তর: (B) 10 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\sin 30^\circ = \frac{r}{OP} \implies \frac{1}{2} = \frac{5}{OP} \implies OP = 10$ সেমি।

39. বৃত্তের কোনো জ্যা-এর দুই প্রান্তে স্পর্শক টানলে স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে কোথায় ছেদ করে?

(A) বৃত্তের কেন্দ্রে    (B) বৃত্তের বাইরে    (C) বৃত্তের পরিধিতে    (D) কখনোই ছেদ করে না

সঠিক উত্তর: (B) বৃত্তের বাইরে

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ব্যাস ব্যতীত যেকোনো জ্যা-এর দুই প্রান্তের স্পর্শক দুটি সর্বদা বৃত্তের বহির্ভাগে কোনো বিন্দুতে ছেদ করে।

40. কোনো বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন করতে সেট স্কয়ার বা চাঁদা ব্যবহার করা কি মাধ্যমিক পরীক্ষায় গ্রহণযোগ্য?

(A) হ্যাঁ    (B) না, কেবল স্কেল ও কম্পাস ব্যবহার্য    (C) কেবল কোণ মাপার জন্য    (D) ঐচ্ছিক

সঠিক উত্তর: (B) না, কেবল স্কেল ও কম্পাস ব্যবহার্য

ব্যাখ্যা / সমাধান:

মাধ্যমিক পরীক্ষার নির্দেশিকা অনুযায়ী সম্পাদ্যের সমস্ত জ্যামিতিক অঙ্কন কেবল স্কেল ও পেনসিল কম্পাস দিয়েই সম্পন্ন করতে হয়।

41. দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 5 সেমি ও 3 সেমি। বৃহত্তর বৃত্তের একটি বিন্দু থেকে ক্ষুদ্রতর বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

(A) 2 সেমি    (B) 4 সেমি    (C) 6 সেমি    (D) 8 সেমি

সঠিক উত্তর: (B) 4 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

বৃহত্তর বৃত্তের বিন্দুটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব $R = 5$ সেমি। ক্ষুদ্রতর বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = 3$ সেমি। স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ সেমি।

42. দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ 13 সেমি ও 5 সেমি। বৃহত্তর বৃত্তের যে জ্যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তকে স্পর্শ করে তার দৈর্ঘ্য কত?

(A) 12 সেমি    (B) 18 সেমি    (C) 24 সেমি    (D) 26 সেমি

সঠিক উত্তর: (C) 24 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

অর্ধ-জ্যা = $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ সেমি। সম্পূর্ণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = $2 \times 12 = 24$ সেমি।

43. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান— এই উপপাদ্যের প্রমাণে কোন সর্বসমতা শর্ত ব্যবহৃত হয়?

(A) SSS    (B) SAS    (C) RHS (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)    (D) AAA

সঠিক উত্তর: (C) RHS (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\triangle OAP$ ও $\triangle OBP$-তে $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$, সাধারণ অতিভুজ $OP$ এবং ব্যাসার্ধ $OA = OB$। ফলে RHS শর্তে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম।

44. বৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দু $P$-তে স্পর্শক অঙ্কন করার ক্ষেত্রে $P$ বিন্দুটি বৃত্তের—

(A) একমাত্র স্পর্শবিন্দু    (B) কেন্দ্রবিন্দু    (C) বহিঃস্থ বিন্দু    (D) ছেদবিন্দু

সঠিক উত্তর: (A) একমাত্র স্পর্শবিন্দু

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$P$ বিন্দুটি বৃত্ত এবং স্পর্শকের একমাত্র সাধারণ বিন্দু (Point of Contact বা স্পর্শবিন্দু)।

45. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সেমি ও 2 সেমি এবং তারা পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। তাদের সাধারণ স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত সাধারণ স্পর্শকটি কেমন স্পর্শক?

(A) সরল সাধারণ স্পর্শক    (B) তির্যক বা প্রত্যক্ষ সাধারণ স্পর্শক    (C) অসীম স্পর্শক    (D) ছেদক

সঠিক উত্তর: (B) তির্যক বা প্রত্যক্ষ সাধারণ স্পর্শক

ব্যাখ্যা / সমাধান:

বহিঃস্পর্শবিন্দুগামী সাধারণ স্পর্শকটি বৃত্ত দুটির স্পর্শবিন্দুতে লম্বভাবে থাকে যা একটি সাধারণ স্পর্শক।

46. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত স্পর্শক $PT$। যদি $PT = OP$ হয়, তবে $\angle OPT$-এর মান কত?

(A) $45^\circ$    (B) $60^\circ$    (C) অসম্ভব (কারণ অতিভুজ সর্বদা বৃহত্তম)    (D) $90^\circ$

সঠিক উত্তর: (C) অসম্ভব (কারণ অতিভুজ সর্বদা বৃহত্তম)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OPT$-এ $OP$ অতিভুজ। অতিভুজ সমকোণ সংলগ্ন যেকোনো বাহুর ($PT$) সমান হতে পারে না, ফলে এটি জ্যামিতিকভাবে অসম্ভব।

47. বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় বৃত্তটিকে স্পর্শ করলে যে চতুর্ভুজ গঠিত হয়, তার কর্ণদ্বয় পরস্পরকে—

(A) সমকোণে ছেদ করে    (B) সমান্তরাল হয়    (C) সমান হয়    (D) ছেদ করে না

সঠিক উত্তর: (A) সমকোণে ছেদ করে

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ঘুড়ি বা কাইট আকৃতির চতুর্ভুজ $OAPB$-এর কর্ণদ্বয় $OP$ এবং $AB$ পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

48. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ এবং কেন্দ্র থেকে $P$-এর দূরত্ব $2r$ হলে, স্পর্শক দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত?

(A) $30^\circ$    (B) $45^\circ$    (C) $60^\circ$    (D) $90^\circ$

সঠিক উত্তর: (C) $60^\circ$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\sin(\angle APO) = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2} \implies \angle APO = 30^\circ$। অতএব সম্পূর্ণ স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ = $2 \times 30^\circ = 60^\circ$।

49. সম্পাদ্য অঙ্কনের পর খাতায় কোন বিষয়টি উল্লেখ করা আবশ্যিক?

(A) কেবল ছবি    (B) অঙ্কন পরিচিতি (যেমন: $PA$ ও $PB$ দুটি নির্ণেয় স্পর্শক এবং তাদের দৈর্ঘ্য)    (C) কোনো ব্যাখ্যার প্রয়োজন নেই    (D) রং করা

সঠিক উত্তর: (B) অঙ্কন পরিচিতি (যেমন: $PA$ ও $PB$ দুটি নির্ণেয় স্পর্শক এবং তাদের দৈর্ঘ্য)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

বোর্ড পরীক্ষার মূল্যায়নে চিত্রাঙ্কনের পাশাপাশি অঙ্কন পরিচিতি এবং স্পর্শকের মেপে নেওয়া দৈর্ঘ্যের উল্লেখ থাকা আবশ্যক।

50. বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কনের সম্পাদ্যে পেন্সিলের সূক্ষ্মতা ও নির্ভুলতার জন্য আদর্শ পেন্সিল গ্রেড কোনটি?

(A) 2B বা 4B    (B) HB বা 2H    (C) মোমের রঙ    (D) কালি পেন

সঠিক উত্তর: (B) HB বা 2H

ব্যাখ্যা / সমাধান:

জ্যামিতিক সম্পাদ্যে সূক্ষ্ম ও নিখুঁত রেখাঙ্কনের জন্য HB বা 2H গ্রেডের ধারালো পেনসিল ব্যবহার করা সবচেয়ে উপযুক্ত।