State Govt Jobs
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-18-similarity-50-mcq-solutions
সদৃশতা — 50টি সেরা MCQ ও উত্তর সমাধান (Class 10 Math Chapter 18 MCQ)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 18: সদৃশতা (Similarity) থেকে মাধ্যমিক ও স্কুল পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ 50টি সেরা বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ) নিচে দেওয়া হলো। প্রতিটি প্রশ্নের সাথে সঠিক উত্তর এবং থ্যালেসের উপপাদ্য, সমকোণী ত্রিভুজের সদৃশতা ও ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয়ের ধাপে ধাপে জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া হয়েছে।
1. দুটি ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলি পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজ দুটিকে কী বলা হয়?
(A) সর্বসম ত্রিভুজ (B) সদৃশকোণী ত্রিভুজ (Equiangular Triangles) (C) সমকোণী ত্রিভুজ (D) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
সঠিক উত্তর: (B) সদৃশকোণী ত্রিভুজ (Equiangular Triangles)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
দুটি ত্রিভুজের একটির তিনটি কোণ অপরটির অনুরূপ তিনটি কোণের সমান হলে তাদের সদৃশকোণী ত্রিভুজ বলে।
2. দুটি সদৃশকোণী ত্রিভুজ সর্বদা কেমন হয়?
(A) সর্বসম (B) সদৃশ (Similar) (C) সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট (D) সমপরিসীমা বিশিষ্ট
সঠিক উত্তর: (B) সদৃশ (Similar)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
উপপাদ্য অনুসারে, যেকোনো দুটি সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়, ফলে তারা সর্বদা পরস্পর সদৃশ।
3. সমস্ত সর্বসম (Congruent) ত্রিভুজই—
(A) সদৃশ (B) বিষমবাহু (C) সদৃশ নয় (D) সমকোণী
সঠিক উত্তর: (A) সদৃশ
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমস্ত সর্বসম চিত্রই সদৃশ, কিন্তু সমস্ত সদৃশ চিত্র সর্বসম নাও হতে পারে।
4. নিচের কোন দুটি জ্যামিতিক চিত্র সর্বদা পরস্পর সদৃশ হয়?
(A) দুটি আয়তক্ষেত্র (B) দুটি বর্গক্ষেত্র (C) দুটি রম্বস (D) দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
সঠিক উত্তর: (B) দুটি বর্গক্ষেত্র
ব্যাখ্যা / সমাধান:
যেকোনো দুটি বর্গক্ষেত্রের অনুরূপ কোণগুলি সমকোণ ($90^\circ$) এবং বাহুগুলির অনুপাত সর্বদা সমান, তাই তারা সর্বদা সদৃশ।
5. যেকোনো দুটি বৃত্ত পরস্পর সর্বদা—
(A) সর্বসম (B) সদৃশ (Similar) (C) সমান ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট (D) ছেদকারী
সঠিক উত্তর: (B) সদৃশ (Similar)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
বৃত্তের আকৃতি সর্বদা একই রকম হওয়ায় যেকোনো দুটি বৃত্ত পরস্পর সদৃশ হয়।
6. যেকোনো দুটি সমবাহু ত্রিভুজ পরস্পর সর্বদা—
(A) সর্বসম (B) সদৃশ (C) অসমান কোণী (D) অসম্পর্কিত
সঠিক উত্তর: (B) সদৃশ
ব্যাখ্যা / সমাধান:
প্রতিটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ $60^\circ$ এবং তিনটি বাহুই সমান, তাই যেকোনো দুটি সমবাহু ত্রিভুজ সর্বদা সদৃশ।
7. দুটি ত্রিভুজ $\triangle ABC$ এবং $\triangle DEF$-এ $\angle A = \angle D, \angle B = \angle E$ হলে, ত্রিভুজ দুটি সদৃশ হওয়ার কোন শর্তটি পূরণ করে?
(A) SSS শর্ত (B) AA বা AAA শর্ত (C) SAS শর্ত (D) RHS শর্ত
সঠিক উত্তর: (B) AA বা AAA শর্ত
ব্যাখ্যা / সমাধান:
দুটি কোণ সমান হলে তৃতীয় কোণটিও সমান হবে ($\angle C = \angle F$), ফলে AA বা AAA সদৃশতা শর্ত পূরণ করে।
8. $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ হলে নিচের কোন অনুপাতটি সঠিক?
(A) $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$ (B) $\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{DE}$ (C) $AB \times DE = BC \times EF$ (D) $\frac{AB}{DF} = \frac{BC}{EF}$
সঠিক উত্তর: (A) $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়, অর্থাৎ $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$।
9. যদি দুটি বহুভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয় কিন্তু অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী না হয়, তবে তারা কি সদৃশ হবে?
(A) হ্যাঁ (B) না (C) কেবল চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে হবে (D) বলা সম্ভব নয়
সঠিক উত্তর: (B) না
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সাধারণ বহুভুজের ক্ষেত্রে সদৃশ হওয়ার জন্য কোণ সমান এবং বাহু সমানুপাতী— উভয় শর্তই পূরণ হওয়া আবশ্যক (যেমন একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি আয়তক্ষেত্র সদৃশ নয়)।
10. $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ এবং $\angle A = 50^\circ, \angle B = 70^\circ$ হলে, $\angle R$-এর মান কত?
(A) $50^\circ$ (B) $60^\circ$ (C) $70^\circ$ (D) $80^\circ$
সঠিক উত্তর: (B) $60^\circ$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\angle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ$। যেহেতু ত্রিভুজ দুটি সদৃশ, তাই অনুরূপ $\angle R = \angle C = 60^\circ$।
11. কোনো ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুটি বাহুকে বা তাদের বর্ধিত বাহুকে কী অনুপাতে বিভক্ত করে?
(A) অসমান অনুপাতে (B) সমান অনুপাতে (Proportionally) (C) বর্গের অনুপাতে (D) নির্দিষ্ট নয়
সঠিক উত্তর: (B) সমান অনুপাতে (Proportionally)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
থ্যালেসের উপপাদ্য (Thales's Theorem) অনুযায়ী, ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুই বাহুকে সমানুপাতে বিভক্ত করে।
12. $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$ বাহুর উপর যথাক্রমে $D$ ও $E$ বিন্দু অবস্থিত যাতে $DE \parallel BC$ হয়। যদি $AD = 3$ সেমি, $DB = 2$ সেমি এবং $AE = 6$ সেমি হয়, তবে $EC$-এর দৈর্ঘ্য কত?
(A) 3 সেমি (B) 4 সেমি (C) 5 সেমি (D) 6 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 4 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \implies \frac{3}{2} = \frac{6}{EC} \implies 3 EC = 12 \implies EC = 4$ সেমি।
13. $\triangle ABC$-এ $DE \parallel BC$। $AD = 4$ সেমি, $AB = 10$ সেমি এবং $AC = 15$ সেমি হলে, $AE$-এর দৈর্ঘ্য কত?
(A) 5 সেমি (B) 6 সেমি (C) 8 সেমি (D) 9 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 6 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \implies \frac{4}{10} = \frac{AE}{15} \implies AE = \frac{4 \times 15}{10} = 6$ সেমি।
14. $\triangle ABC$-এ $DE \parallel BC$। $AD = x, DB = x - 2, AE = x + 2, EC = x - 1$ হলে, $x$-এর মান কত?
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
সঠিক উত্তর: (B) 4
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\frac{x}{x-2} = \frac{x+2}{x-1} \implies x(x-1) = (x-2)(x+2) \implies x^2 - x = x^2 - 4 \implies -x = -4 \implies x = 4$।
15. $\triangle ABC$-এ $DE \parallel BC$ এবং $AD : DB = 3 : 5$ হলে, $DE : BC$ কত?
(A) 3 : 5 (B) 3 : 8 (C) 5 : 8 (D) 9 : 25
সঠিক উত্তর: (B) 3 : 8
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$AB = AD + DB = 3 + 5 = 8$ ভাগ। সদৃশ ত্রিভুজ $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ থেকে $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{8}$ বা 3 : 8।
16. একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর—
(A) সমান (B) সমান্তরাল ও অর্ধেক (C) দ্বিগুণ (D) লম্ব
সঠিক উত্তর: (B) সমান্তরাল ও অর্ধেক
ব্যাখ্যা / সমাধান:
মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুযায়ী তা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক হয় ($DE \parallel BC$ এবং $DE = \frac{1}{2}BC$)।
17. $\triangle ABC$-এ $AB$ ও $AC$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D$ ও $E$। $BC = 12$ সেমি হলে $DE$-এর দৈর্ঘ্য কত?
(A) 4 সেমি (B) 6 সেমি (C) 8 সেমি (D) 24 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 6 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$DE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 12 = 6$ সেমি।
18. কোনো ত্রিভুজের যেকোনো কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক বিপরীত বাহুকে সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের কী অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে?
(A) সমান অনুপাতে (B) সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাতে (C) বর্গের অনুপাতে (D) নির্দিষ্ট নয়
সঠিক উত্তর: (B) সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাতে
ব্যাখ্যা / সমাধান:
কোণ সমদ্বিখণ্ডক উপপাদ্য অনুযায়ী, $\triangle ABC$-এ $\angle A$-এর সমদ্বিখণ্ডক $AD$ হলে $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$।
19. $\triangle ABC$-এ $\angle A$-এর সমদ্বিখণ্ডক $AD$, $BC$ বাহুকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। $AB = 6$ সেমি, $AC = 8$ সেমি, $BD = 3$ সেমি হলে, $DC$-এর দৈর্ঘ্য কত?
(A) 3 সেমি (B) 4 সেমি (C) 5 সেমি (D) 6 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 4 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \implies \frac{6}{8} = \frac{3}{DC} \implies 6 DC = 24 \implies DC = 4$ সেমি।
20. থ্যালেসের উপপাদ্যের বিপরীত বিবৃতিটি কোন ক্ষেত্রে সত্য?
(A) কেবলমাত্র সমবাহু ত্রিভুজে (B) যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রে (C) কেবল সমকোণী ত্রিভুজে (D) কখনোই নয়
সঠিক উত্তর: (B) যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
ব্যাখ্যা / সমাধান:
যেকোনো ত্রিভুজে কোনো সরলরেখা দুটি বাহুকে সমঅনুপাতে বিভক্ত করলে তা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হবে— এটি সর্বত্র সত্য।
21. সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়, তারা—
(A) পরস্পর বিষম (B) পরস্পর সদৃশ এবং মূল ত্রিভুজের সাথেও সদৃশ (C) সর্বসম (D) সমান বাহু বিশিষ্ট
সঠিক উত্তর: (B) পরস্পর সদৃশ এবং মূল ত্রিভুজের সাথেও সদৃশ
ব্যাখ্যা / সমাধান:
উপপাদ্য অনুসারে, উৎপন্ন ত্রিভুজ দুটি মূল ত্রিভুজের সহিত সদৃশ এবং নিজেরাও পরস্পর সদৃশ।
22. $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
(A) $AD^2 = BD \times DC$ (B) $AD^2 = BD + DC$ (C) $AD = BD \times DC$ (D) $AD^2 = AB \times AC$
সঠিক উত্তর: (A) $AD^2 = BD \times DC$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\triangle ABD \sim \triangle CAD \implies \frac{AD}{CD} = \frac{BD}{AD} \implies AD^2 = BD \times DC$।
23. $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$। $BD = 4$ সেমি এবং $CD = 9$ সেমি হলে, $AD$-এর দৈর্ঘ্য কত?
(A) 5 সেমি (B) 6 সেমি (C) 6.5 সেমি (D) 13 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 6 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$AD^2 = BD \times CD = 4 \times 9 = 36 \implies AD = \sqrt{36} = 6$ সেমি।
24. $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$ হলে, $AB^2$-এর মান কোনটি?
(A) $BC \times BD$ (B) $BC \times CD$ (C) $BD \times CD$ (D) $AD \times BC$
সঠিক উত্তর: (A) $BC \times BD$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\triangle ABD \sim \triangle CBA \implies \frac{AB}{BC} = \frac{BD}{AB} \implies AB^2 = BC \times BD$।
25. $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$ হলে, $AC^2$-এর মান কোনটি?
(A) $BC \times BD$ (B) $BC \times CD$ (C) $AD^2 + BD^2$ (D) $AB \times BC$
সঠিক উত্তর: (B) $BC \times CD$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\triangle CAD \sim \triangle CBA \implies \frac{AC}{BC} = \frac{CD}{AC} \implies AC^2 = BC \times CD$।
26. $\triangle ABC$-এর $\angle B = 90^\circ$ এবং $BD \perp AC$। $AD = 3$ সেমি, $CD = 12$ সেমি হলে, $BD$-এর মান কত?
(A) 4 সেমি (B) 6 সেমি (C) 7.5 সেমি (D) 9 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 6 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$BD^2 = AD \times CD = 3 \times 12 = 36 \implies BD = 6$ সেমি।
27. $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$। $AB = 5$ সেমি, $AC = 12$ সেমি হলে, $AD$-এর দৈর্ঘ্য কত?
(A) $\frac{60}{13}$ সেমি (B) 6 সেমি (C) $\frac{65}{12}$ সেমি (D) 4 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) $\frac{60}{13}$ সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অতিভুজ $BC = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ সেমি। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times BC \times AD \implies AD = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{5 \times 12}{13} = \frac{60}{13}$ সেমি।
28. $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$ হলে, $\frac{AB^2}{AC^2}$-এর অনুপাত কার সমান?
(A) $\frac{BD}{CD}$ (B) $\frac{CD}{BD}$ (C) $\frac{BD^2}{CD^2}$ (D) $\frac{AD}{BC}$
সঠিক উত্তর: (A) $\frac{BD}{CD}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$AB^2 = BC \times BD$ এবং $AC^2 = BC \times CD$। অতএব $\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BC \times BD}{BC \times CD} = \frac{BD}{CD}$।
29. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত লম্ব $h$, সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটি $a$ ও $b$ হলে, $\frac{1}{h^2}$-এর মান কত?
(A) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ (B) $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$ (C) $a^2 + b^2$ (D) $\frac{1}{ab}$
সঠিক উত্তর: (A) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$h = \frac{ab}{c} \implies h^2 = \frac{a^2 b^2}{c^2} = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} \implies \frac{1}{h^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$।
30. সমকোণী ত্রিভুজের সদৃশতা সংক্রান্ত ধর্মাবলী ব্যবহার করে কোন বিখ্যাত উপপাদ্যটি সরাসরি প্রমাণ করা যায়?
(A) থেলেসের উপপাদ্য (B) পিথাগোরাসের উপপাদ্য (C) টলেমির উপপাদ্য (D) ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য
সঠিক উত্তর: (B) পিথাগোরাসের উপপাদ্য
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$AB^2 = BC \times BD$ এবং $AC^2 = BC \times CD$ যোগ করে পাই $AB^2 + AC^2 = BC(BD + CD) = BC^2$, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্য।
31. দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের অনুরূপ বাহুগুলির কীসের অনুপাতের সমান?
(A) সমান (B) বর্গের অনুপাতের সমান (C) ঘনের অনুপাতের সমান (D) বর্গমূলের অনুপাতের সমান
সঠিক উত্তর: (B) বর্গের অনুপাতের সমান
ব্যাখ্যা / সমাধান:
উপপাদ্য অনুসারে, দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের যেকোনো দুটি অনুরূপ বাহুর বর্গের অনুপাতের সমান।
32. দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর অনুপাত 3 : 5 হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
(A) 3 : 5 (B) 6 : 10 (C) 9 : 25 (D) 27 : 125
সঠিক উত্তর: (C) 9 : 25
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $3^2 : 5^2 = 9 : 25$।
33. দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16 : 49 হলে, তাদের অনুরূপ বাহুর অনুপাত কত?
(A) 4 : 7 (B) 16 : 49 (C) 2 : 7 (D) 256 : 2401
সঠিক উত্তর: (A) 4 : 7
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অনুরূপ বাহুর অনুপাত = $\sqrt{16} : \sqrt{49} = 4 : 7$।
34. দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 81 : 121 হলে, তাদের অনুরূপ উচ্চতার অনুপাত কত?
(A) 9 : 11 (B) 81 : 121 (C) 3 : 4 (D) 18 : 22
সঠিক উত্তর: (A) 9 : 11
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অনুরূপ উচ্চতার অনুপাত বাহুর অনুপাতের সমান = $\sqrt{81} : \sqrt{121} = 9 : 11$।
35. দুটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে 24 সেমি ও 36 সেমি। প্রথমটির একটি বাহু 8 সেমি হলে, দ্বিতীয়টির অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
(A) 10 সেমি (B) 12 সেমি (C) 14 সেমি (D) 16 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 12 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\frac{\text{পরিসীমা}_1}{\text{পরিসীমা}_2} = \frac{\text{বাহু}_1}{\text{বাহু}_2} \implies \frac{24}{36} = \frac{8}{x} \implies \frac{2}{3} = \frac{8}{x} \implies 2x = 24 \implies x = 12$ সেমি।
36. $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ এবং $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল 64 বর্গসেমি, $\triangle DEF$-এর ক্ষেত্রফল 121 বর্গসেমি। $EF = 15.4$ সেমি হলে $BC$-এর দৈর্ঘ্য কত?
(A) 11.2 সেমি (B) 10.5 সেমি (C) 8.8 সেমি (D) 12.4 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) 11.2 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\frac{\text{Area}(\triangle ABC)}{\text{Area}(\triangle DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2 \implies \frac{64}{121} = \left(\frac{BC}{15.4}\right)^2 \implies \frac{8}{11} = \frac{BC}{15.4} \implies BC = \frac{8 \times 15.4}{11} = 8 \times 1.4 = 11.2$ সেমি।
37. দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ মধ্যমার অনুপাত 2 : 3 হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
(A) 2 : 3 (B) 4 : 9 (C) 8 : 27 (D) 1 : 2
সঠিক উত্তর: (B) 4 : 9
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অনুরূপ মধ্যমার অনুপাত বাহুর অনুপাতের সমান। অতএব ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $2^2 : 3^2 = 4 : 9$।
38. $\triangle ABC$-এ $DE \parallel BC$ এবং $DE$ ত্রিভুজটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট অঞ্চলে বিভক্ত করে। $AD : AB$-এর মান কত?
(A) 1 : 2 (B) $1 : \sqrt{2}$ (C) $(\sqrt{2}-1) : \sqrt{2}$ (D) 1 : 4
সঠিক উত্তর: (B) $1 : \sqrt{2}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\frac{\text{Area}(\triangle ADE)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = \frac{1}{2} \implies \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \frac{1}{2} \implies \frac{AD}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ বা $1 : \sqrt{2}$।
39. পূর্বের প্রশ্নে $BD : AB$-এর মান কত?
(A) $(\sqrt{2}-1) : \sqrt{2}$ (B) 1 : $\sqrt{2}$ (C) $1 : (\sqrt{2}-1)$ (D) 1 : 2
সঠিক উত্তর: (A) $(\sqrt{2}-1) : \sqrt{2}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$BD = AB - AD$। সুতরাং $\frac{BD}{AB} = \frac{AB - AD}{AB} = 1 - \frac{AD}{AB} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$।
40. দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হলে তাদের পরিসীমার অনুপাত তাদের অনুরূপ বাহুর অনুপাতের—
(A) সমান (B) বর্গের সমান (C) বর্গমূলের সমান (D) ব্যস্তানুপাতিক
সঠিক উত্তর: (A) সমান
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমার অনুপাত তাদের অনুরূপ যেকোনো বাহুদ্বয়ের অনুপাতের হুবহু সমান হয়।
41. একটি ট্রাপিজিয়াম $ABCD$-এর $AB \parallel DC$ এবং কর্ণদ্বয় পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। যদি $AB = 3CD$ হয়, তবে $\triangle AOB$ ও $\triangle COD$-এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
(A) 3 : 1 (B) 9 : 1 (C) 6 : 1 (D) 1 : 9
সঠিক উত্তর: (B) 9 : 1
ব্যাখ্যা / সমাধান:
একান্তর কোণ সমান হওয়ায় $\triangle AOB \sim \triangle COD$। ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $\left(\frac{AB}{CD}\right)^2 = \left(\frac{3CD}{CD}\right)^2 = 3^2 = 9 : 1$।
42. একটি উল্লম্ব দণ্ডের দৈর্ঘ্য 6 মিটার এবং ভূমিতে তার ছায়ার দৈর্ঘ্য 4 মিটার। একই সময়ে একটি মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 28 মিটার হলে মিনারটির উচ্চতা কত?
(A) 36 মিটার (B) 40 মিটার (C) 42 মিটার (D) 48 মিটার
সঠিক উত্তর: (C) 42 মিটার
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সদৃশ ত্রিভুজ থেকে: $\frac{\text{উচ্চতা}_1}{\text{ছায়া}_1} = \frac{\text{উচ্চতা}_2}{\text{ছায়া}_2} \implies \frac{6}{4} = \frac{H}{28} \implies H = \frac{6 \times 28}{4} = 42$ মিটার।
43. $\triangle ABC \sim \triangle PQR$। $\triangle ABC$-এর পরিসীমা 30 সেমি ও $\triangle PQR$-এর পরিসীমা 20 সেমি। $PQ = 8$ সেমি হলে, $AB$-এর দৈর্ঘ্য কত?
(A) 10 সেমি (B) 12 সেমি (C) 15 সেমি (D) 16 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 12 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{\text{পরিসীমা}_1}{\text{পরিসীমা}_2} \implies \frac{AB}{8} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} \implies AB = \frac{8 \times 3}{2} = 12$ সেমি।
44. দুটি সমকোণী ত্রিভুজের একটির সূক্ষ্মকোণ অপরটির একটি সূক্ষ্মকোণের সমান হলে, ত্রিভুজ দুটি কি সদৃশ হবে?
(A) হ্যাঁ, সর্বদা সদৃশ হবে (B) না, কখনো নয় (C) কেবল অতিভুজ সমান হলে (D) বলা যায় না
সঠিক উত্তর: (A) হ্যাঁ, সর্বদা সদৃশ হবে
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমকোণ ($90^\circ$) উভয়ক্ষেত্রেই বিদ্যমান এবং একটি সূক্ষ্মকোণ সমান হওয়ায় AA শর্তানুসারে ত্রিভুজ দুটি সর্বদা সদৃশ।
45. একটি বৃত্তের দুটি জ্যা $AB$ ও $CD$ বৃত্তের অভ্যন্তরে $P$ বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, নিচের কোনটি সঠিক?
(A) $PA \times PB = PC \times PD$ (B) $PA + PB = PC + PD$ (C) $PA \times PC = PB \times PD$ (D) $\frac{PA}{PB} = \frac{PC}{PD}$
সঠিক উত্তর: (A) $PA \times PB = PC \times PD$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
একই বৃত্তাংশস্থ কোণ সমান হওয়ার কারণে $\triangle PAC \sim \triangle PDB$ হয়, ফলে $\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB} \implies PA \times PB = PC \times PD$।
46. একটি বৃত্তের দুটি জ্যা $AB$ ও $CD$-কে বর্ধিত করলে তারা বৃত্তের বাইরে $P$ বিন্দুতে মিলিত হয়। তবে কোনটি সঠিক?
(A) $PA \times PB = PC \times PD$ (B) $PA \times PC = PB \times PD$ (C) $PA + PB = PC + PD$ (D) $AB \times CD = PA \times PC$
সঠিক উত্তর: (A) $PA \times PB = PC \times PD$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
বহিঃস্থ ছেদকের ক্ষেত্রেও ত্রিভুজের সদৃশতা প্রয়োগ করে প্রমাণিত হয় যে $PA \times PB = PC \times PD$।
47. $\triangle ABC$-এর $BC$ বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা $AB$ ও $AC$-কে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $AP = 2$ সেমি, $PB = 3$ সেমি হলে, $\triangle APQ$ ও $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
(A) 4 : 9 (B) 4 : 25 (C) 2 : 5 (D) 4 : 5
সঠিক উত্তর: (B) 4 : 25
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$AB = AP + PB = 2 + 3 = 5$ সেমি। ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $\left(\frac{AP}{AB}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$ বা 4 : 25।
48. কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি। অপর একটি সদৃশ ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু 15 সেমি হলে তার ক্ষুদ্রতম বাহু কত?
(A) 6 সেমি (B) 9 সেমি (C) 12 সেমি (D) 10 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 9 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
বৃহত্তম বাহুর অনুপাত = $\frac{15}{5} = 3$ গুণ। অতএব ক্ষুদ্রতম বাহু = $3 \times 3 = 9$ সেমি।
49. দুটি সদৃশ ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার জন্য তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হতে হবে?
(A) 1 : 2 (B) 1 : 1 (C) 2 : 1 (D) 4 : 1
সঠিক উত্তর: (B) 1 : 1
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অনুরূপ বাহুগুলি সমান ($1 : 1$) হলেই কেবল সদৃশ ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম হয়, ফলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : 1 হতে হবে।
50. $\triangle ABC$-এ $D$ ও $E$ যথাক্রমে $AB$ ও $AC$-এর উপর এমন দুটি বিন্দু যাতে $AD \times AC = AB \times AE$ হয়। তবে $\angle ADE$-এর মান কার সমান?
(A) $\angle B$ (B) $\angle C$ (C) $\angle A$ (D) $90^\circ$
সঠিক উত্তর: (B) $\angle C$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ এবং সাধারণ কোণ $\angle A$ থাকায় $\triangle ADE \sim \triangle ABC$। অতএব অনুরূপ কোণ $\angle ADE = \angle B$ (বা বিপরীতক্রমে সাজালে $\angle C$)।
