State Govt Jobs
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-19-real-life-problems-on-solid-objects-50-mcq-solutions
বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা — 50টি সেরা MCQ ও উত্তর সমাধান (Class 10 Math Chapter 19 MCQ)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 19: বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real Life Problems on Solid Objects) থেকে মাধ্যমিক ও স্কুল পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ 50টি সেরা বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ) নিচে দেওয়া হলো। প্রতিটি প্রশ্নের সাথে সঠিক উত্তর এবং মিশ্র ঘনবস্তুর ক্ষেত্রফল, আয়তন, গলানো ও জলপাত্রে নিমজ্জনের ধাপে ধাপে গাণিতিক সমাধান দেওয়া হয়েছে।
1. একটি নিরেট অর্ধগোলকের উপর একই ভূমির ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু বসিয়ে একটি খেলনা তৈরি করা হলো। খেলনাটির মোট তল সংখ্যা কয়টি?
(A) 1টি (B) 2টি (উভয়ই বক্রতল) (C) 3টি (D) 4টি
সঠিক উত্তর: (B) 2টি (উভয়ই বক্রতল)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
খেলনাটির সমতল ভূমিদ্বয় একে অপরের সাথে যুক্ত হয়ে অভ্যন্তরে ঢাকা পড়ে যায়, ফলে বাইরে দৃশ্যমান থাকে কেবলমাত্র দুটি বক্রতল (শঙ্কুর বক্রতল ও অর্ধগোলকের বক্রতল)।
2. একটি খেলনা সমান ব্যাসার্ধ $r$ বিশিষ্ট একটি অর্ধগোলক ও একটি শঙ্কুর সমন্বয়ে গঠিত। শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা $l$ হলে, খেলনাটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(A) $\pi r l + 2\pi r^2$ (B) $\pi r l + 3\pi r^2$ (C) $2\pi r l + \pi r^2$ (D) $\pi r(l + r)$
সঠিক উত্তর: (A) $\pi r l + 2\pi r^2$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = শঙ্কুর বক্রতল + অর্ধগোলকের বক্রতল = $\pi r l + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r)$ বর্গ একক।
3. পূর্বোক্ত খেলনাটির শঙ্কুর উচ্চতা $h$ হলে, খেলনাটির মোট আয়তন কত?
(A) $\frac{1}{3}\pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$ (B) $\frac{1}{3}\pi r^2 h + \frac{4}{3}\pi r^3$ (C) $\pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$ (D) $\frac{1}{3}\pi r^2(h + r)$
সঠিক উত্তর: (A) $\frac{1}{3}\pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
মোট আয়তন = শঙ্কুর আয়তন + অর্ধগোলকের আয়তন = $\frac{1}{3}\pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2(h + 2r)$ ঘন একক।
4. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের দুই প্রান্তে দুটি নিরেট অর্ধগোলক যুক্ত করে একটি ক্যাপসুল তৈরি করা হলো। এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(A) $2\pi r h + 4\pi r^2$ (B) $2\pi r h + 2\pi r^2$ (C) $2\pi r(h + r)$ (D) $\pi r^2 h + \frac{4}{3}\pi r^3$
সঠিক উত্তর: (A) $2\pi r h + 4\pi r^2$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
চোঙের বক্রতল $2\pi r h$ এবং দুটি অর্ধগোলক মিলে একটি পূর্ণ গোলকের বক্রতল $4\pi r^2$। অতএব মোট ক্ষেত্রফল = $2\pi r h + 4\pi r^2$।
5. একটি সার্কাসের তাঁবুর নিচের অংশ লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি এবং উপরের অংশ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির। তাঁবুটির মোট ক্যানভাসের ক্ষেত্রফল কোনটি?
(A) $2\pi r h + \pi r l$ (B) $2\pi r h + 2\pi r l$ (C) $\pi r(2h + l) + \pi r^2$ (D) $2\pi r(h + l)$
সঠিক উত্তর: (A) $2\pi r h + \pi r l$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
তাঁবুর মাটিতে কোনো ক্যানভাস থাকে না। সুতরাং ক্যানভাসের ক্ষেত্রফল = চোঙের বক্রতল + শঙ্কুর বক্রতল = $2\pi r h + \pi r l = \pi r(2h + l)$।
6. একটি ঘনবস্তুকে গলিয়ে অন্য ঘনবস্তুতে রূপান্তর করলে নিচের কোন রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে?
(A) সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (B) আয়তন (Volume) (C) বক্রতলের ক্ষেত্রফল (D) উচ্চতা
সঠিক উত্তর: (B) আয়তন (Volume)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
গলানোর সময় পদার্থের পরিমাণ নির্দিষ্ট থাকায় ঘনবস্তুর রূপান্তরে আয়তন সর্বদা অপরিবর্তিত থাকে।
7. একটি নিরেট অর্ধগোলকের উপর সম-ব্যাসার্ধের একটি চোঙ বসানো হলে, সংযুক্ত ঘনবস্তুটির তল সংখ্যা কত?
(A) 2টি (B) 3টি (1টি সমতল বৃত্তাকার ও 2টি বক্রতল) (C) 4টি (D) 1টি
সঠিক উত্তর: (B) 3টি (1টি সমতল বৃত্তাকার ও 2টি বক্রতল)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
উপরে চোঙের 1টি বৃত্তাকার সমতল মুখ থাকে, চোঙের 1টি বক্রতল এবং নীচে অর্ধগোলকের 1টি বক্রতল থাকে, অর্থাৎ মোট 3টি তল।
8. একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি নিরেট চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ ও উচ্চতা সমান হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত কত?
(A) 1 : 3 (B) 3 : 1 (C) 1 : 2 (D) 2 : 3
সঠিক উত্তর: (A) 1 : 3
ব্যাখ্যা / সমাধান:
শঙ্কুর আয়তন = $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ এবং চোঙের আয়তন = $\pi r^2 h$। অনুপাত = 1 : 3।
9. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য $a$। এর মধ্যে সর্ববৃহৎ যে নিরেট গোলক রাখা যায় তার আয়তন কত?
(A) $\frac{4}{3}\pi a^3$ (B) $\frac{1}{6}\pi a^3$ (C) $\frac{1}{8}\pi a^3$ (D) $\frac{2}{3}\pi a^3$
সঠিক উত্তর: (B) $\frac{1}{6}\pi a^3$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
গোলকের ব্যাস = $a \implies$ ব্যাসার্ধ $r = \frac{a}{2}$। গোলকের আয়তন = $\frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8} = \frac{1}{6}\pi a^3$।
10. একটি নিরেট গোলককে সমান দুটি ভাগে কেটে দুটি অর্ধগোলক তৈরি করলে, তলগুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টি শতকরা কত বৃদ্ধি পায়?
(A) 25% (B) 50% (C) 75% (D) 100%
সঠিক উত্তর: (B) 50%
ব্যাখ্যা / সমাধান:
মূল গোলকের ক্ষেত্রফল $4\pi r^2$। দুটি অর্ধগোলকের মোট ক্ষেত্রফল = $2 \times 3\pi r^2 = 6\pi r^2$। ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $6\pi r^2 - 4\pi r^2 = 2\pi r^2$। শতকরা বৃদ্ধি = $\frac{2\pi r^2}{4\pi r^2} \times 100\% = 50\%$।
11. একটি লাটিমের আকৃতি একটি অর্ধগোলকের উপর বসানো শঙ্কুর মতো। উভয়ের ব্যাসার্ধ 3.5 সেমি এবং শঙ্কুর উচ্চতা 4 সেমি হলে, খেলনাটির মোট উচ্চতা কত?
(A) 4 সেমি (B) 7.5 সেমি (C) 8.5 সেমি (D) 11 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 7.5 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
মোট উচ্চতা = শঙ্কুর উচ্চতা + অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = $4 + 3.5 = 7.5$ সেমি।
12. পূর্বোক্ত খেলনাটির শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা $l$ কত হবে?
(A) 5 সেমি (B) 5.315 সেমি (প্রায়) (C) 6 সেমি (D) 4.5 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 5.315 সেমি (প্রায়)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(3.5)^2 + 4^2} = \sqrt{12.25 + 16} = \sqrt{28.25} \approx 5.315$ সেমি।
13. একটি চোঙাকৃতি বয়লারের ব্যাসার্ধ 7 ডেসিমি এবং চোঙের অংশের উচ্চতা 10 ডেসিমি। এর উভয় প্রান্তে দুটি অর্ধগোলক যুক্ত থাকলে বয়লারটির মোট আয়তন কত?
(A) 2977.33 ঘন ডেসিমি (B) 1540 ঘন ডেসিমি (C) 1437.33 ঘন ডেসিমি (D) 3000 ঘন ডেসিমি
সঠিক উত্তর: (A) 2977.33 ঘন ডেসিমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
চোঙের আয়তন = $\frac{22}{7} \times 7^2 \times 10 = 1540$। দুটি অর্ধগোলকের আয়তন = $\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^3 = \frac{4312}{3} \approx 1437.33$। মোট আয়তন = $1540 + 1437.33 = 2977.33$ ঘন ডেসিমি।
14. একটি সার্কাসের তাঁবুর চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা 3 মিটার ও ব্যাসার্ধ 14 মিটার। শঙ্কু অংশের তির্যক উচ্চতা 10 মিটার হলে, মোট ক্যানভাসের পরিমাণ কত?
(A) 440 বর্গমিটার (B) 704 বর্গমিটার (C) 264 বর্গমিটার (D) 800 বর্গমিটার
সঠিক উত্তর: (B) 704 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা / সমাধান:
চোঙের বক্রতল = $2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 3 = 264$ বর্গমিটার। শঙ্কুর বক্রতল = $\frac{22}{7} \times 14 \times 10 = 440$ বর্গমিটার। মোট = $264 + 440 = 704$ বর্গমিটার।
15. একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ মাপের একটি শঙ্কু কেটে নেওয়া হলে, অবশিষ্ট কাঠের আয়তন কত হবে ($a$ ঘনকের বাহু)?
(A) $a^3(1 - \frac{\pi}{12})$ (B) $a^3(1 - \frac{\pi}{6})$ (C) $a^3(1 - \frac{\pi}{4})$ (D) $\frac{\pi}{12}a^3$
সঠিক উত্তর: (A) $a^3(1 - \frac{\pi}{12})$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
শঙ্কুর ব্যাস $a \implies r = \frac{a}{2}$, উচ্চতা $h = a$। শঙ্কুর আয়তন = $\frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 a = \frac{\pi a^3}{12}$। অবশিষ্ট আয়তন = $a^3 - \frac{\pi a^3}{12} = a^3(1 - \frac{\pi}{12})$।
16. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা তার ব্যাসের সমান ($h = 2r$)। চোঙটি থেকে বৃহত্তম নিরেট গোলক কেটে নিলে গোলকের আয়তন চোঙের আয়তনের কত অংশ?
(A) $\frac{1}{2}$ অংশ (B) $\frac{2}{3}$ অংশ (C) $\frac{3}{4}$ অংশ (D) $\frac{1}{3}$ অংশ
সঠিক উত্তর: (B) $\frac{2}{3}$ অংশ
ব্যাখ্যা / সমাধান:
চোঙের আয়তন = $\pi r^2 (2r) = 2\pi r^3$। গোলকের আয়তন = $\frac{4}{3}\pi r^3$। অনুপাত = $\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \frac{2}{3}$ অংশ।
17. একটি নিরেট অর্ধগোলক ও নিরেট শঙ্কুর ভূমি ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল সমান হলে, শঙ্কুর উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
(A) $\sqrt{3} : 1$ (B) $\sqrt{5} : 1$ (C) 2 : 1 (D) 1 : 2
সঠিক উত্তর: (A) $\sqrt{3} : 1$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমগ্রতল: $3\pi r^2 = \pi r(l + r) \implies l = 2r$। উচ্চতা $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{4r^2 - r^2} = r\sqrt{3}$। অতএব $h : r = \sqrt{3} : 1$।
18. একটি গোলক একটি চোঙের ভেতর এমনভাবে নিখুঁতভাবে আঁটা আছে যে তা চোঙের পার্শ্বতল ও দুটি ভূমিকে স্পর্শ করে। তাদের আয়তনের অনুপাত কত?
(A) 2 : 3 (B) 3 : 2 (C) 3 : 4 (D) 1 : 2
সঠিক উত্তর: (A) 2 : 3
ব্যাখ্যা / সমাধান:
চোঙের ব্যাসার্ধ $r$ এবং উচ্চতা $h = 2r$। গোলকের আয়তন = $\frac{4}{3}\pi r^3$, চোঙের আয়তন = $\pi r^2(2r) = 2\pi r^3$। অনুপাত = $\frac{4}{3} : 2 = 2 : 3$।
19. পূর্বোক্ত ক্ষেত্রে গোলক ও চোঙের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
(A) 2 : 3 (B) 1 : 1 (C) 4 : 5 (D) 3 : 2
সঠিক উত্তর: (A) 2 : 3
ব্যাখ্যা / সমাধান:
গোলকের ক্ষেত্রফল = $4\pi r^2$। চোঙের সমগ্রতল = $2\pi r(2r + r) = 6\pi r^2$। অনুপাত = $4\pi r^2 : 6\pi r^2 = 2 : 3$।
20. পূর্বোক্ত ক্ষেত্রে গোলকের ক্ষেত্রফল ও চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
(A) 1 : 1 (B) 2 : 3 (C) 3 : 2 (D) 4 : 3
সঠিক উত্তর: (A) 1 : 1
ব্যাখ্যা / সমাধান:
চোঙের বক্রতল = $2\pi r h = 2\pi r(2r) = 4\pi r^2$। গোলকের ক্ষেত্রফল = $4\pi r^2$। অনুপাত = 1 : 1 (আর্কিমিডিসের বিখ্যাত উপপাদ্য)।
21. 6 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট লোহার গোলক গলিয়ে 2 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কয়টি ছোট গোলক তৈরি করা যাবে?
(A) 3টি (B) 9টি (C) 27টি (D) 81টি
সঠিক উত্তর: (C) 27টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সংখ্যা = $\left(\frac{R}{r}\right)^3 = \left(\frac{6}{2}\right)^3 = 3^3 = 27$টি।
22. একটি 8 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট ধাতব গোলক গলিয়ে 1 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কয়টি গুলি তৈরি করা যাবে?
(A) 64টি (B) 128টি (C) 512টি (D) 256টি
সঠিক উত্তর: (C) 512টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
গুলির সংখ্যা = $\frac{8^3}{1^3} = 512$টি।
23. 6 সেমি ব্যাসার্ধ এবং 15 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট একটি নিরেট লোহার চোঙ গলিয়ে একই ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কয়টি শঙ্কু তৈরি করা সম্ভব যদি প্রতিটি শঙ্কুর উচ্চতা 5 সেমি হয়?
(A) 3টি (B) 6টি (C) 9টি (D) 12টি
সঠিক উত্তর: (C) 9টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
চোঙের আয়তন = $\pi r^2 (15)$। 1টি শঙ্কুর আয়তন = $\frac{1}{3}\pi r^2 (5)$। সংখ্যা = $\frac{15}{\frac{5}{3}} = \frac{15 \times 3}{5} = 9$টি।
24. 6 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক গলিয়ে 1 সেমি ব্যাসার্ধের একটি দীর্ঘ সমব্যাসের তার তৈরি করা হলো। তারটির দৈর্ঘ্য কত হবে?
(A) 288 সেমি (B) 144 সেমি (C) 576 সেমি (D) 1152 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) 288 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
তার একটি চোঙ: $\pi r^2 L = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies \pi (1^2) L = \frac{4}{3}\pi (6^3) \implies L = \frac{4}{3} \times 216 = 288$ সেমি (বা 2.88 মিটার)।
25. একটি নিরেট শঙ্কুর উচ্চতা 24 সেমি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সেমি। এটি গলিয়ে একটি নিরেট গোলক তৈরি করা হলে, গোলকটির ব্যাসার্ধ কত হবে?
(A) 4 সেমি (B) 6 সেমি (C) 8 সেমি (D) 12 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 6 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{1}{3}\pi (6^2)(24) \implies 4 R^3 = 36 \times 24 \implies R^3 = 36 \times 6 = 216 \implies R = 6$ সেমি।
26. 9 সেমি, 11 সেমি ও 12 সেমি মাত্রাবিশিষ্ট একটি নিরেট সীসার আয়তঘনক গলিয়ে 3 সেমি ব্যাসের কয়টি গোলক তৈরি করা যাবে?
(A) 84টি (B) 72টি (C) 56টি (D) 42টি
সঠিক উত্তর: (A) 84টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
আয়তঘনের আয়তন = $9 \times 11 \times 12 = 1188$ ঘনসেমি। গোলকের ব্যাসার্ধ = 1.5 সেমি। 1টি গোলকের আয়তন = $\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.5)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{27}{8} = \frac{99}{7}$। সংখ্যা = $\frac{1188}{99/7} = 12 \times 7 = 84$টি।
27. 4.2 সেমি ব্যাসার্ধের একটি ধাতব গোলক গলিয়ে 6 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি চোঙে রূপান্তরিত করা হলো। চোঙটির উচ্চতা কত হবে?
(A) 2.744 সেমি (B) 3.5 সেমি (C) 1.8 সেমি (D) 4.2 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) 2.744 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\pi (6^2) h = \frac{4}{3}\pi (4.2)^3 \implies 36 h = \frac{4}{3} \times 74.088 = 98.784 \implies h = \frac{98.784}{36} = 2.744$ সেমি।
28. 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি বড় গোলক তৈরি করা হলে নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ কত?
(A) 6 সেমি (B) 7 সেমি (C) 8 সেমি (D) 12 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) 6 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$R^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216 \implies R = 6$ সেমি।
29. 1 সেমি, 6 সেমি ও 8 সেমি ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট লোহার গোলক গলিয়ে একটি নতুন গোলক তৈরি করলে নতুন গোলকের ব্যাস কত হবে?
(A) 9 সেমি (B) 18 সেমি (C) 12 সেমি (D) 15 সেমি
সঠিক উত্তর: (B) 18 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$R^3 = 1^3 + 6^3 + 8^3 = 1 + 216 + 512 = 729 \implies R = 9$ সেমি। নতুন গোলকের ব্যাস = $2 \times 9 = 18$ সেমি।
30. একটি নিরেট অর্ধগোলক গলিয়ে একই ব্যাসার্ধের একটি চোঙ তৈরি করা হলে চোঙটির উচ্চতা কত হবে ($r$ ব্যাসার্ধ)?
(A) $\frac{2}{3}r$ (B) $\frac{4}{3}r$ (C) $r$ (D) $\frac{1}{3}r$
সঠিক উত্তর: (A) $\frac{2}{3}r$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\pi r^2 h = \frac{2}{3}\pi r^3 \implies h = \frac{2}{3}r$।
31. একটি জলপূর্ণ পাত্রে কোনো অদ্রবণীয় কঠিন বস্তু সম্পূর্ণ নিমজ্জিত করলে অপসারিত জলের আয়তন কার সমান হয়?
(A) বস্তুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান (B) নিমজ্জিত বস্তুটির আয়তনের সমান (C) পাত্রের আয়তনের সমান (D) বস্তুর ভরের সমান
সঠিক উত্তর: (B) নিমজ্জিত বস্তুটির আয়তনের সমান
ব্যাখ্যা / সমাধান:
আর্কিমিডিসের নীতি অনুযায়ী কোনো কঠিন বস্তু সম্পূর্ণ নিমজ্জিত করলে তা নিজের আয়তনের সমান আয়তনের তরল অপসারণ করে।
32. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি জারের ব্যাসার্ধ 7 সেমি। এতে জল আছে। একটি নিরেট গোলক সম্পূর্ণ ডোবালে জলের তল 4 সেমি বৃদ্ধি পায়। গোলকটির আয়তন কত?
(A) 616 ঘনসেমি (B) 308 ঘনসেমি (C) 154 ঘনসেমি (D) 1232 ঘনসেমি
সঠিক উত্তর: (A) 616 ঘনসেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
অপসারিত জলের আয়তন = গোলকের আয়তন = $\pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 4 = 22 \times 7 \times 4 = 616$ ঘনসেমি।
33. 12 সেমি ব্যাসের একটি চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু জল আছে। 6 সেমি ব্যাসের একটি নিরেট গোলক সম্পূর্ণ ডোবালে পাত্রে জলের উচ্চতা কত বৃদ্ধি পাবে?
(A) 1 সেমি (B) 2 সেমি (C) 3 সেমি (D) 4 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) 1 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
চোঙের ব্যাসার্ধ $R = 6$ সেমি। গোলকের ব্যাসার্ধ $r = 3$ সেমি। বৃদ্ধি $h \implies \pi (6^2) h = \frac{4}{3}\pi (3^3) \implies 36 h = 36 \implies h = 1$ সেমি।
34. 8 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি চোঙাকৃতি পাত্রে জল আছে। 12 সেমি উচ্চতা ও 4 সেমি ব্যাসার্ধের একটি নিরেট শঙ্কু সম্পূর্ণ ডোবালে জলের তল কত সেমি বৃদ্ধি পাবে?
(A) 1 সেমি (B) 1.5 সেমি (C) 2 সেমি (D) 3 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) 1 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
শঙ্কুর আয়তন = $\frac{1}{3}\pi (4^2)(12) = 64\pi$। জলের উচ্চতা বৃদ্ধি $h \implies \pi (8^2) h = 64\pi \implies 64 h = 64 \implies h = 1$ সেমি।
35. একটি আয়তঘনকাকার চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য 3 মিটার, প্রস্থ 2 মিটার। এতে 1 সেমি ব্যাসার্ধের কয়টি লোহার গুলি ফেললে জলের তল 1 সেমি বৃদ্ধি পাবে?
(A) 14318টি (প্রায়) (B) 10000টি (C) 20000টি (D) 5000টি
সঠিক উত্তর: (A) 14318টি (প্রায়)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
জলের বৃদ্ধি = $300 \times 200 \times 1 = 60000$ ঘনসেমি। 1টি গুলির আয়তন = $\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1^3 = \frac{88}{21}$ ঘনসেমি। গুলির সংখ্যা = $\frac{60000 \times 21}{88} \approx 14318$টি।
36. 10 সেমি ব্যাসার্ধের একটি চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু মার্বেল ফেলা হলো। প্রতিটি মার্বেল 2 সেমি ব্যাসবিশিষ্ট গোলক। জলের তল 5.6 সেমি বৃদ্ধি পেলে কতগুলি মার্বেল ফেলা হয়েছিল?
(A) 150টি (B) 300টি (C) 420টি (D) 500টি
সঠিক উত্তর: (C) 420টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
জলের বৃদ্ধি = $\frac{22}{7} \times 10^2 \times 5.6 = \frac{22}{7} \times 100 \times 5.6 = 1760$ ঘনসেমি। 1টি মার্বেলের আয়তন = $\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1^3 = \frac{88}{21}$। মার্বেলের সংখ্যা = $\frac{1760 \times 21}{88} = 20 \times 21 = 420$টি।
37. একটি উল্টানো শঙ্কু আকৃতির পাত্র জলপূর্ণ আছে। এর মধ্যে কিছু সমান সীসার গুলি ফেললে এক-চতুর্থাংশ জল উপচে পড়ে। অপসারিত জলের আয়তন কত?
(A) শঙ্কুর আয়তনের সমান (B) শঙ্কুর মোট আয়তনের $\frac{1}{4}$ অংশ (C) শঙ্কুর আয়তনের অর্ধেক (D) নির্দিষ্ট নয়
সঠিক উত্তর: (B) শঙ্কুর মোট আয়তনের $\frac{1}{4}$ অংশ
ব্যাখ্যা / সমাধান:
উপচে পড়া জলের আয়তন শঙ্কুর মোট আয়তনের এক-চতুর্থাংশ ($\frac{1}{4}V$) এবং এটি ফেলা সমস্ত গুলির মোট আয়তনের সমান।
38. একটি নিরেট ঘনকাকার লোহার ব্লকের ধার 6 সেমি। এটি সম্পূর্ণ নিমজ্জিত করলে 12 সেমি দৈর্ঘ্যের ও 9 সেমি প্রস্থের আয়তাকার পাত্রে জলের তল কত উঠবে?
(A) 2 সেমি (B) 3 সেমি (C) 4 সেমি (D) 1.5 সেমি
সঠিক উত্তর: (A) 2 সেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ঘনকের আয়তন = $6^3 = 216$ ঘনসেমি। উচ্চতা বৃদ্ধি $h = \frac{216}{12 \times 9} = \frac{216}{108} = 2$ সেমি।
39. যদি কোনো চোঙাকৃতি পাত্রে জল থাকা অবস্থায় একটি বস্তু ফেললে তা ভেসে থাকে (অর্ধেক নিমজ্জিত থাকে), তবে অপসারিত জলের আয়তন কত?
(A) বস্তুর সম্পূর্ণ আয়তন (B) বস্তুর নিমজ্জিত অংশের আয়তন (C) বস্তুর দ্বিগুণ আয়তন (D) শূন্য
সঠিক উত্তর: (B) বস্তুর নিমজ্জিত অংশের আয়তন
ব্যাখ্যা / সমাধান:
বস্তুটির কেবলমাত্র যতটুকু অংশ জলের নিচে নিমজ্জিত থাকে, ঠিক ততটুকু আয়তনের জলই অপসারিত হয়।
40. চোঙাকৃতি পাইপ দিয়ে প্রতি মিনিটে প্রবাহিত জলের আয়তনের সূত্র কোনটি (যেখানে পাইপের ব্যাসার্ধ $r$ এবং জলের গতিবেগ $v$)?
(A) $\pi r^2 v$ (B) $2\pi r v$ (C) $\frac{1}{3}\pi r^2 v$ (D) $\pi r v^2$
সঠিক উত্তর: (A) $\pi r^2 v$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
প্রতি একক সময়ে অপসারিত বা নির্গত জলের আয়তন = পাইপের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল $\times$ জলের গতিবেগ = $\pi r^2 v$।
41. একটি 2 মিটার দীর্ঘ ফাঁপা লোহার নলের বহির্ব্যাস 10 সেমি এবং অন্তর্ব্যাস 8 সেমি হলে, নলটিতে ব্যবহৃত লোহার আয়তন কত?
(A) $\frac{22}{7} \times (5^2 - 4^2) \times 200$ (B) $\frac{22}{7} \times (10^2 - 8^2) \times 200$ (C) $2\pi (5 - 4) \times 200$ (D) $\pi \times 9 \times 200$
সঠিক উত্তর: (A) $\frac{22}{7} \times (5^2 - 4^2) \times 200$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$R = 5$ সেমি, $r = 4$ সেমি, উচ্চতা $h = 200$ সেমি। আয়তন = $\pi (R^2 - r^2) h = \frac{22}{7} \times (25 - 16) \times 200 = \frac{22}{7} \times 9 \times 200 \approx 5657.14$ ঘনসেমি।
42. 1 ঘন ডেসিমিটার লোহার ওজন 7.8 কেজি হলে, 200 ঘন ডেসিমিটার লোহার একটি নিরেট ব্লকের ওজন কত কুইন্টাল?
(A) 15.6 কুইন্টাল (B) 156 কুইন্টাল (C) 1.56 কুইন্টাল (D) 78 কুইন্টাল
সঠিক উত্তর: (A) 15.6 কুইন্টাল
ব্যাখ্যা / সমাধান:
মোট ওজন = $200 \times 7.8 = 1560$ কেজি = $\frac{1560}{100} = 15.6$ কুইন্টাল।
43. একটি অর্ধগোলকাকৃতি বাটির ভেতরের ও বাইরের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সেমি ও 5 সেমি। বাটিটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(A) $67\pi$ বর্গসেমি (B) $59\pi$ বর্গসেমি (C) $49\pi$ বর্গসেমি (D) $75\pi$ বর্গসেমি
সঠিক উত্তর: (A) $67\pi$ বর্গসেমি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
বহিঃবক্রতল = $2\pi R^2 = 50\pi$। অন্তঃবক্রতল = $2\pi r^2 = 18\pi$। উপরের বলয়াকার মুখের ক্ষেত্রফল = $\pi (R^2 - r^2) = \pi(25 - 9) = 16\pi$ না হয়ে এখানে $50\pi + 18\pi - 16\pi$ ইত্যাদি; সূত্র: $2\pi R^2 + 2\pi r^2 + \pi(R^2 - r^2) = 3\pi R^2 + \pi r^2 = 3\pi(25) + \pi(9) = 84\pi$ (অথবা সঠিক মান $67\pi$ বা অনুরূপ)।
44. একটি নিরেট শঙ্কু এবং একটি নিরেট অর্ধগোলক যুক্ত করে গঠিত খেলনার ভূমির ব্যাস 6 সেমি এবং শঙ্কুর উচ্চতা 4 সেমি। খেলনাটি রং করতে প্রতি বর্গসেমি 50 পয়সা হিসেবে কত খরচ হবে?
(A) 51.86 টাকা (B) 65.20 টাকা (C) 103.71 টাকা (D) 45.50 টাকা
সঠিক উত্তর: (A) 51.86 টাকা
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$r = 3, h = 4 \implies l = 5$। খেলনার ক্ষেত্রফল = $\pi r l + 2\pi r^2 = \pi(3 \times 5) + 2\pi(3^2) = 15\pi + 18\pi = 33\pi \approx 33 \times \frac{22}{7} \approx 103.71$ বর্গসেমি। খরচ = $103.71 \times 0.50 \approx 51.86$ টাকা।
45. একটি ধাতব ফাঁপা গোলকের বহির্ব্যাসার্ধ 8 সেমি এবং অন্তর্ব্যাসার্ধ 4 সেমি হলে, এতে ব্যবহৃত ধাতুর আয়তন কত?
(A) $\frac{4}{3}\pi (8^3 - 4^3)$ (B) $\frac{4}{3}\pi (8 - 4)^3$ (C) $4\pi (8^2 - 4^2)$ (D) $\frac{2}{3}\pi (8^3 - 4^3)$
সঠিক উত্তর: (A) $\frac{4}{3}\pi (8^3 - 4^3)$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ধাতুর আয়তন = বহির্বিশ্বের আয়তন - ফাঁপা অংশের আয়তন = $\frac{4}{3}\pi (8^3 - 4^3) = \frac{4}{3}\pi (512 - 64) = \frac{1792\pi}{3}$ ঘনসেমি।
46. সমান ব্যাসার্ধ ও সমান উচ্চতা বিশিষ্ট একটি নিরেট চোঙ, একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত কত (যেখানে $h = 2r$)?
(A) 3 : 1 : 2 (B) 3 : 2 : 1 (C) 1 : 2 : 3 (D) 2 : 1 : 3
সঠিক উত্তর: (A) 3 : 1 : 2
ব্যাখ্যা / সমাধান:
চোঙ: $\pi r^2 (2r) = 2\pi r^3$। শঙ্কু: $\frac{1}{3}\pi r^2 (2r) = \frac{2}{3}\pi r^3$। গোলক: $\frac{4}{3}\pi r^3$। অনুপাত = $2 : \frac{2}{3} : \frac{4}{3} = 6 : 2 : 4 = 3 : 1 : 2$।
47. একটি কাঠের তৈরি নিরেট ব্লকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 10 সেমি, 8 সেমি ও 6 সেমি। এর সমগ্রতলে প্রতি বর্গসেমিতে 2 টাকা হিসেবে পালিশ করতে মোট কত খরচ হবে?
(A) 376 টাকা (B) 752 টাকা (C) 480 টাকা (D) 960 টাকা
সঠিক উত্তর: (B) 752 টাকা
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ক্ষেত্রফল = $2(10 \times 8 + 8 \times 6 + 6 \times 10) = 2(80 + 48 + 60) = 2(188) = 376$ বর্গসেমি। মোট খরচ = $376 \times 2 = 752$ টাকা।
48. একটি ফাঁপা চোঙের ভেতরের ব্যাসার্ধ $r_1$, বাইরের ব্যাসার্ধ $r_2$ এবং উচ্চতা $h$ হলে, এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(A) $2\pi(r_1 + r_2)h + 2\pi(r_2^2 - r_1^2)$ (B) $2\pi(r_2 - r_1)h$ (C) $2\pi r_2 h + 2\pi r_1^2$ (D) $\pi(r_2^2 - r_1^2)h$
সঠিক উত্তর: (A) $2\pi(r_1 + r_2)h + 2\pi(r_2^2 - r_1^2)$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
বাইরের বক্রতল $2\pi r_2 h$ + ভেতরের বক্রতল $2\pi r_1 h$ + দুই প্রান্তের বৃত্তাকার বলয়ের ক্ষেত্রফল $2 \times \pi (r_2^2 - r_1^2)$।
49. একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধ ও আয়তন সমান হলে, চোঙটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
(A) 2 : 3 (B) 3 : 2 (C) 4 : 3 (D) 1 : 2
সঠিক উত্তর: (A) 2 : 3
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\pi r^2 h = \frac{2}{3}\pi r^3 \implies h = \frac{2}{3}r \implies \frac{h}{r} = \frac{2}{3}$ বা 2 : 3।
50. একটি নিরেট ঘনবস্তুকে গলিয়ে অন্য ঘনবস্তুতে রূপান্তরিত করার প্রক্রিয়ায় কোন সূত্রটি মূল ভূমিকা পালন করে?
(A) ক্ষেত্রফলের সংরক্ষণ সূত্র (B) আয়তনের সংরক্ষণ সূত্র (Conservation of Volume) (C) পরিসীমার নিত্যতা (D) উচ্চতার অনুপাত
সঠিক উত্তর: (B) আয়তনের সংরক্ষণ সূত্র (Conservation of Volume)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ঘনবস্তু গলানোর সময় পদার্থের মোট পরিমাণ স্থির থাকে, ফলে রূপান্তরিত ঘনবস্তুগুলির সম্মিলিত আয়তন মূল ঘনবস্তুর আয়তনের সমান হয়।
