examuttoron.com | EXAM UTTORON

Link: https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-22-pythagoras-theorem-50-mcq-solutions

পিথাগোরাসের উপপাদ্য — 50টি সেরা MCQ ও উত্তর সমাধান (Class 10 Math Chapter 22 MCQ)

EXAM UTTORON examuttoron.com

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 22: পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) থেকে মাধ্যমিক ও স্কুল পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ 50টি সেরা বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ) নিচে দেওয়া হলো। প্রতিটি প্রশ্নের সাথে সঠিক উত্তর এবং পিথাগোরীয় ত্রিপদী, বিপরীত উপপাদ্য, রম্বস ও জ্যামিতিক রূপান্তর সংক্রান্ত ধাপে ধাপে বিস্তারিত সমাধান দেওয়া হয়েছে।

1. পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি কেবলমাত্র কোন প্রকার ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য?

(A) সমবাহু ত্রিভুজ    (B) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ    (C) সমকোণী ত্রিভুজ (Right-Angled Triangle)    (D) স্থূলকোণী ত্রিভুজ

সঠিক উত্তর: (C) সমকোণী ত্রিভুজ (Right-Angled Triangle)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ এবং অপর দুই বাহুর মধ্যকার সম্পর্ক ব্যক্ত করে।

2. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $c$, লম্ব $a$ এবং ভূমি $b$ হলে, পিথাগোরাসের সূত্রটি কী?

(A) $c = a + b$    (B) $c^2 = a^2 + b^2$    (C) $c^2 = a^2 - b^2$    (D) $c^3 = a^3 + b^3$

সঠিক উত্তর: (B) $c^2 = a^2 + b^2$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান, অর্থাৎ $c^2 = a^2 + b^2$।

3. একটি সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু কোনটি?

(A) লম্ব    (B) ভূমি    (C) অতিভুজ (Hypotenuse)    (D) যেকোনো বাহু হতে পারে

সঠিক উত্তর: (C) অতিভুজ (Hypotenuse)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহু অর্থাৎ অতিভুজ সর্বদা ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহু হয়।

4. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটি 6 সেমি ও 8 সেমি হলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

(A) 9 সেমি    (B) 10 সেমি    (C) 12 সেমি    (D) 14 সেমি

সঠিক উত্তর: (B) 10 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

অতিভুজ = $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ সেমি।

5. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 13 সেমি এবং একটি বাহু 12 সেমি হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

(A) 5 সেমি    (B) 6 সেমি    (C) 7 সেমি    (D) 8 সেমি

সঠিক উত্তর: (A) 5 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

অপর বাহু = $\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ সেমি।

6. কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে, প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি কত?

(A) $45^\circ$    (B) $60^\circ$    (C) $90^\circ$ (সমকোণ)    (D) $180^\circ$

সঠিক উত্তর: (C) $90^\circ$ (সমকোণ)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য (Converse of Pythagoras Theorem) অনুযায়ী প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি অবশ্যই সমকোণ বা $90^\circ$ হবে।

7. $\triangle ABC$-এ $AB^2 + BC^2 = AC^2$ হলে কোন কোণটি সমকোণ?

(A) $\angle A$    (B) $\angle B$    (C) $\angle C$    (D) কোনোটিই নয়

সঠিক উত্তর: (B) $\angle B$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

বৃহত্তম বাহু $AC$-এর বিপরীত কোণ হলো $\angle B$, ফলে $\angle B = 90^\circ$।

8. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটি $a$ একক হলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

(A) $2a$    (B) $a\sqrt{2}$    (C) $a\sqrt{3}$    (D) $\frac{a}{\sqrt{2}}$

সঠিক উত্তর: (B) $a\sqrt{2}$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

অতিভুজ = $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$।

9. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $8\sqrt{2}$ সেমি হলে, সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য কত?

(A) 4 সেমি    (B) 8 সেমি    (C) 16 সেমি    (D) $4\sqrt{2}$ সেমি

সঠিক উত্তর: (B) 8 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \implies a = 8$ সেমি।

10. $\triangle ABC$-এ $c^2 < a^2 + b^2$ হলে ত্রিভুজটি কেমন ত্রিভুজ (যেখানে $c$ বৃহত্তম বাহু)?

(A) সমকোণী    (B) সূক্ষ্মকোণী (Acute-angled)    (C) স্থূলকোণী    (D) সমবাহু

সঠিক উত্তর: (B) সূক্ষ্মকোণী (Acute-angled)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

বৃহত্তম বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হলে ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী হয়।

11. নিচের কোন সংখ্যামালাটি একটি পিথাগোরীয় ত্রিপদী (Pythagorean Triplet)?

(A) 3, 4, 6    (B) 5, 12, 13    (C) 6, 8, 12    (D) 7, 9, 11

সঠিক উত্তর: (B) 5, 12, 13

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$। সুতরাং $(5, 12, 13)$ একটি পিথাগোরীয় ত্রিপদী।

12. বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সেমি, 24 সেমি ও 25 সেমি হলে ত্রিভুজটি কী ধরনের ত্রিভুজ?

(A) সমকোণী ত্রিভুজ    (B) স্থূলকোণী ত্রিভুজ    (C) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ    (D) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

সঠিক উত্তর: (A) সমকোণী ত্রিভুজ

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$। পিথাগোরাসের উপপাদ্য সিদ্ধ করায় ত্রিভুজটি সমকোণী।

13. নিচের কোন বাহুগুলি দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়?

(A) 8, 15, 17    (B) 9, 40, 41    (C) 6, 10, 11    (D) 20, 21, 29

সঠিক উত্তর: (C) 6, 10, 11

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136 \neq 11^2$ (121)। ফলে 6, 10, 11 সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে না।

14. $m > 1$ হলে যেকোনো পিথাগোরীয় ত্রিপদী গঠনের সাধারণ রূপ কোনটি?

(A) $2m, m^2 - 1, m^2 + 1$    (B) $m, m+1, m+2$    (C) $2m, m, m^2$    (D) $m^2, 2m, m+1$

সঠিক উত্তর: (A) $2m, m^2 - 1, m^2 + 1$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$(2m)^2 + (m^2 - 1)^2 = 4m^2 + m^4 - 2m^2 + 1 = m^4 + 2m^2 + 1 = (m^2 + 1)^2$।

15. যদি একটি পিথাগোরীয় ত্রিপদীর ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 8 হয়, তবে অপর দুটি সংখ্যা কত?

(A) 15 ও 17    (B) 12 ও 14    (C) 10 ও 12    (D) 16 ও 18

সঠিক উত্তর: (A) 15 ও 17

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$2m = 8 \implies m = 4$। অপর সংখ্যা দুটি = $m^2 - 1 = 15$ এবং $m^2 + 1 = 17$। ত্রিপদীটি $(8, 15, 17)$।

16. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলি 9 সেমি, 12 সেমি ও 15 সেমি হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান কত?

(A) $60^\circ$    (B) $90^\circ$    (C) $120^\circ$    (D) $105^\circ$

সঠিক উত্তর: (B) $90^\circ$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$। ত্রিভুজটি সমকোণী হওয়ায় বৃহত্তম কোণটি সমকোণ ($90^\circ$)।

17. বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 11 সেমি, 60 সেমি ও 61 সেমি হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

(A) 330 বর্গসেমি    (B) 660 বর্গসেমি    (C) 335.5 বর্গসেমি    (D) 120 বর্গসেমি

সঠিক উত্তর: (A) 330 বর্গসেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2$ (সমকোণী)। ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 11 \times 60 = 330$ বর্গসেমি।

18. একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে বাহুগুলির মান কত?

(A) 2, 4, 6    (B) 6, 8, 10    (C) 8, 10, 12    (D) 4, 6, 8

সঠিক উত্তর: (B) 6, 8, 10

ব্যাখ্যা / সমাধান:

কেবলমাত্র 6, 8, 10 বাহুত্রয় ক্রমিক জোড় সংখ্যা এবং $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$।

19. একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা হলে তারা কোনটি?

(A) 1, 2, 3    (B) 3, 4, 5    (C) 2, 3, 4    (D) 4, 5, 6

সঠিক উত্তর: (B) 3, 4, 5

ব্যাখ্যা / সমাধান:

3, 4, 5 হলো একমাত্র ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা যা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু হতে পারে।

20. একটি ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য $a, b, c$ এবং $c^2 > a^2 + b^2$ ($c$ বৃহত্তম)। ত্রিভুজটি কেমন?

(A) সূক্ষ্মকোণী    (B) সমকোণী    (C) স্থূলকোণী (Obtuse-angled)    (D) সমদ্বিবাহু

সঠিক উত্তর: (C) স্থূলকোণী (Obtuse-angled)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

বৃহত্তম বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি অপেক্ষা বৃহত্তর হলে বৃহত্তম কোণটি স্থূলকোণ হয়, অর্থাৎ ত্রিভুজটি স্থূলকোণী।

21. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি হলে তার কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

(A) 6 সেমি    (B) $6\sqrt{2}$ সেমি    (C) 12 সেমি    (D) $6\sqrt{3}$ সেমি

সঠিক উত্তর: (B) $6\sqrt{2}$ সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

পিথাগোরাস প্রয়োগে কর্ণ = $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ সেমি।

22. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 সেমি এবং প্রস্থ 5 সেমি হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

(A) 13 সেমি    (B) 15 সেমি    (C) 17 সেমি    (D) 14 সেমি

সঠিক উত্তর: (A) 13 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

কর্ণ $d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ সেমি।

23. বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ বিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার মান কত?

(A) $\frac{\sqrt{3}}{2}a$    (B) $\frac{\sqrt{3}}{4}a$    (C) $\sqrt{3}a$    (D) $\frac{a}{2}$

সঠিক উত্তর: (A) $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

উচ্চতা শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির মধ্যবিন্দুতে লম্ব হয়। $h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$।

24. একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি হলে ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

(A) $4\sqrt{3}$ সেমি    (B) $8\sqrt{3}$ সেমি    (C) 4 সেমি    (D) $16\sqrt{3}$ সেমি

সঠিক উত্তর: (A) $4\sqrt{3}$ সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

উচ্চতা = $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4\sqrt{3}$ সেমি।

25. একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 12 সেমি ও 16 সেমি। রম্বসটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

(A) 8 সেমি    (B) 10 সেমি    (C) 14 সেমি    (D) 20 সেমি

সঠিক উত্তর: (B) 10 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। বাহু $a = \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2 + \left(\frac{16}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ সেমি।

26. একটি রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য 13 সেমি এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 24 সেমি হলে অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

(A) 5 সেমি    (B) 10 সেমি    (C) 12 সেমি    (D) 20 সেমি

সঠিক উত্তর: (B) 10 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

অর্ধ-কর্ণ $d_2 / 2 = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ সেমি। অপর সম্পূর্ণ কর্ণ = $2 \times 5 = 10$ সেমি।

27. রম্বসের বাহু $a$ এবং কর্ণদ্বয় $d_1$ ও $d_2$ হলে এদের মধ্যে সম্পর্ক কোনটি?

(A) $4a^2 = d_1^2 + d_2^2$    (B) $2a^2 = d_1^2 + d_2^2$    (C) $a^2 = d_1^2 + d_2^2$    (D) $a = d_1 + d_2$

সঠিক উত্তর: (A) $4a^2 = d_1^2 + d_2^2$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} \implies 4a^2 = d_1^2 + d_2^2$।

28. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং ভূমি 12 সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

(A) 48 বর্গসেমি    (B) 60 বর্গসেমি    (C) 96 বর্গসেমি    (D) 120 বর্গসেমি

সঠিক উত্তর: (A) 48 বর্গসেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

উচ্চতা $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ সেমি। ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$ বর্গসেমি।

29. একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $10\sqrt{2}$ সেমি হলে তার ক্ষেত্রফল কত?

(A) 50 বর্গসেমি    (B) 100 বর্গসেমি    (C) 200 বর্গসেমি    (D) 150 বর্গসেমি

সঠিক উত্তর: (B) 100 বর্গসেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

বাহু $a = 10$ সেমি। ক্ষেত্রফল = $10^2 = 100$ বর্গসেমি।

30. একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 34 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 60 বর্গসেমি হলে তার কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

(A) 13 সেমি    (B) 15 সেমি    (C) 17 সেমি    (D) 12 সেমি

সঠিক উত্তর: (A) 13 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$l + w = 17$ এবং $lw = 60$। $d^2 = l^2 + w^2 = (l+w)^2 - 2lw = 17^2 - 2(60) = 289 - 120 = 169 \implies d = 13$ সেমি।

31. 10 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সেমি দূরবর্তী জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

(A) 8 সেমি    (B) 12 সেমি    (C) 16 সেমি    (D) 18 সেমি

সঠিক উত্তর: (C) 16 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

অর্ধ-জ্যা = $\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$ সেমি। জ্যা-এর মোট দৈর্ঘ্য = $2 \times 8 = 16$ সেমি।

32. একটি বৃত্তের 24 সেমি দীর্ঘ একটি জ্যা-এর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 5 সেমি হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

(A) 12 সেমি    (B) 13 সেমি    (C) 15 সেমি    (D) 17 সেমি

সঠিক উত্তর: (B) 13 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

অর্ধ-জ্যা = 12 সেমি। ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = 13$ সেমি।

33. $\triangle ABC$-এর $\angle C = 90^\circ$ এবং $BC, CA$-এর উপর যথাক্রমে $D, E$ দুটি বিন্দু অবস্থিত হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

(A) $AE^2 + BD^2 = AB^2 + DE^2$    (B) $AE^2 - BD^2 = AB^2 - DE^2$    (C) $AE + BD = AB + DE$    (D) $AE^2 + BD^2 = 2(AB^2 + DE^2)$

সঠিক উত্তর: (A) $AE^2 + BD^2 = AB^2 + DE^2$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

পিথাগোরাস উপপাদ্য চারবার প্রয়োগ করে প্রমাণিত হয় যে $AE^2 + BD^2 = AB^2 + DE^2$।

34. $\triangle ABC$-এর $AD$ মধ্যমা হলে অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য কোনটি?

(A) $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$    (B) $AB^2 + AC^2 = AD^2 + BD^2$    (C) $AB^2 + AC^2 = 3AD^2$    (D) $AB + AC = 2AD$

সঠিক উত্তর: (A) $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রে বাহু ও মধ্যমার সম্পর্ক হলো $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$।

35. $\triangle ABC$-এ $\angle A = 90^\circ$ এবং $BL, CM$ দুটি মধ্যমা হলে, $4(BL^2 + CM^2)$-এর মান কোনটি?

(A) $3BC^2$    (B) $4BC^2$    (C) $5BC^2$    (D) $6BC^2$

সঠিক উত্তর: (C) $5BC^2$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

উপপাদ্য অনুসারে সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ সংলগ্ন মধ্যমাদ্বয়ের জন্য $4(BL^2 + CM^2) = 5BC^2$ হয়।

36. একটি সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর $\angle B = 90^\circ$। $D$ বিন্দু $BC$-এর মধ্যবিন্দু হলে, $AC^2$-এর মান কত?

(A) $AD^2 + 3CD^2$    (B) $AD^2 + CD^2$    (C) $2AD^2 - CD^2$    (D) $AD^2 + 2CD^2$

সঠিক উত্তর: (A) $AD^2 + 3CD^2$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (AD^2 - BD^2) + (2CD)^2 = AD^2 - CD^2 + 4CD^2 = AD^2 + 3CD^2$।

37. একটি সমবাহু ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর $AD \perp BC$ হলে, $3AB^2$-এর মান কার সমান?

(A) $2AD^2$    (B) $4AD^2$    (C) $AD^2$    (D) $6AD^2$

সঠিক উত্তর: (B) $4AD^2$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$AD = \frac{\sqrt{3}}{2}AB \implies AD^2 = \frac{3}{4}AB^2 \implies 4AD^2 = 3AB^2$।

38. একটি আয়তাকার পার্কের ভেতরের যেকোনো বিন্দু $O$। শীর্ষবিন্দু $A, B, C, D$ হলে কোনটি সত্য?

(A) $OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2$    (B) $OA + OC = OB + OD$    (C) $OA^2 + OB^2 = OC^2 + OD^2$    (D) $OA \times OC = OB \times OD$

সঠিক উত্তর: (A) $OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ব্রিটিশ ফ্ল্যাগ উপপাদ্য (British Flag Theorem) অনুযায়ী $OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2$।

39. $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$। $AB = 3$ সেমি, $AC = 4$ সেমি হলে $BD$-এর দৈর্ঘ্য কত?

(A) 1.8 সেমি    (B) 2.4 সেমি    (C) 3.2 সেমি    (D) 1.5 সেমি

সঠিক উত্তর: (A) 1.8 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$BC = 5$ সেমি। $AB^2 = BC \times BD \implies 3^2 = 5 \times BD \implies BD = \frac{9}{5} = 1.8$ সেমি।

40. পূর্বোক্ত প্রশ্নে $CD$-এর দৈর্ঘ্য কত?

(A) 1.8 সেমি    (B) 2.4 সেমি    (C) 3.2 সেমি    (D) 3.6 সেমি

সঠিক উত্তর: (C) 3.2 সেমি

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$CD = BC - BD = 5 - 1.8 = 3.2$ সেমি (অথবা $AC^2 = BC \times CD \implies CD = \frac{16}{5} = 3.2$ সেমি)।

41. একটি 10 মিটার দীর্ঘ মই দেওয়ালের সঙ্গে এমনভাবে রাখা হলো যে তার শীর্ষবিন্দু মাটি থেকে 8 মিটার উঁচুতে একটি জানলাকে স্পর্শ করে। দেওয়াল থেকে মইটির পাদদেশের দূরত্ব কত?

(A) 4 মিটার    (B) 6 মিটার    (C) 7 মিটার    (D) 8 মিটার

সঠিক উত্তর: (B) 6 মিটার

ব্যাখ্যা / সমাধান:

দূরত্ব = $\sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ মিটার।

42. একটি ব্যক্তি একটি বিন্দু থেকে 24 মিটার পশ্চিমে গিয়ে তারপর 10 মিটার উত্তরে গেলেন। শুরুর বিন্দু থেকে তিনি এখন কত দূরে আছেন?

(A) 26 মিটার    (B) 34 মিটার    (C) 28 মিটার    (D) 25 মিটার

সঠিক উত্তর: (A) 26 মিটার

ব্যাখ্যা / সমাধান:

দূরত্ব = $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ মিটার।

43. ঝড়ে একটি গাছ মাটি থেকে 5 মিটার উঁচুতে মচকে গিয়ে তার শীর্ষবিন্দু গাছের গোড়া থেকে 12 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করল। ভাঙার পূর্বে সম্পূর্ণ গাছটির উচ্চতা কত ছিল?

(A) 13 মিটার    (B) 17 মিটার    (C) 18 মিটার    (D) 20 মিটার

সঠিক উত্তর: (C) 18 মিটার

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ মিটার। সম্পূর্ণ গাছের আদি উচ্চতা = $5 + 13 = 18$ মিটার।

44. দুটি উল্লম্ব খুঁটির উচ্চতা যথাক্রমে 6 মিটার ও 11 মিটার এবং তাদের পাদদেশের মধ্যবর্তী দূরত্ব 12 মিটার। তাদের শীর্ষবিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

(A) 12 মিটার    (B) 13 মিটার    (C) 14 মিটার    (D) 15 মিটার

সঠিক উত্তর: (B) 13 মিটার

ব্যাখ্যা / সমাধান:

উচ্চতার পার্থক্য = $11 - 6 = 5$ মিটার। শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব = $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = 13$ মিটার।

45. একটি ঘরের দৈর্ঘ্য 8 মিটার, প্রস্থ 6 মিটার এবং উচ্চতা 5 মিটার হলে, ঘরে রাখা যায় এমন দীর্ঘতম দণ্ডের দৈর্ঘ্য কত?

(A) $5\sqrt{5}$ মিটার (প্রায় 11.18 মিটার)    (B) 10 মিটার    (C) 12 মিটার    (D) 14 মিটার

সঠিক উত্তর: (A) $5\sqrt{5}$ মিটার (প্রায় 11.18 মিটার)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

কর্ণ = $\sqrt{8^2 + 6^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 36 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \approx 11.18$ মিটার।

46. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলি $(2a - 1)$ সেমি, $2\sqrt{2a}$ সেমি এবং $(2a + 1)$ সেমি হলে ত্রিভুজটি কেমন?

(A) সমকোণী    (B) সমবাহু    (C) স্থূলকোণী    (D) সমদ্বিবাহু

সঠিক উত্তর: (A) সমকোণী

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$(2a - 1)^2 + (2\sqrt{2a})^2 = 4a^2 - 4a + 1 + 8a = 4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1)^2$। সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।

47. $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$। $AB = c, BC = a, CA = b$ এবং $A$ থেকে $BC$-এর উপর অঙ্কিত লম্ব $p$ হলে, কোনটি সঠিক?

(A) $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$    (B) $p^2 = b^2 + c^2$    (C) $p = b + c$    (D) $\frac{1}{p} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

সঠিক উত্তর: (A) $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}ap = \frac{1}{2}bc \implies p = \frac{bc}{a} \implies \frac{1}{p^2} = \frac{a^2}{b^2 c^2} = \frac{b^2 + c^2}{b^2 c^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$।

48. একটি চতুর্ভুজ $ABCD$-এর কর্ণদ্বয় $AC$ এবং $BD$ পরস্পর লম্ব হলে কোনটি সত্য?

(A) $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$    (B) $AB^2 + BC^2 = CD^2 + DA^2$    (C) $AB = CD$    (D) $AC = BD$

সঠিক উত্তর: (A) $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

কর্ণদ্বয় সমকোণে ছেদ করলে পিথাগোরাস উপপাদ্য অনুযায়ী বিপরীত বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি সমান হয়: $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$।

49. একটি সমকোণী ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ $R$ এবং অতিভুজ $c$ হলে, তাদের সম্পর্ক কোনটি?

(A) $R = c$    (B) $R = \frac{c}{2}$    (C) $R = 2c$    (D) $R = c^2$

সঠিক উত্তর: (B) $R = \frac{c}{2}$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দুই হলো পরিকেন্দ্র, তাই পরিব্যাসার্ধ অতিভুজের অর্ধেক ($R = \frac{c}{2}$)।

50. প্রাচীন ভারতীয় কোন গণিতবিদের সূত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের অনুরূপ উপপাদ্য পাওয়া যায়?

(A) বৌধায়ন (শুল্বসূত্র)    (B) আর্যভট্ট    (C) বরাহমিহির    (D) ভাস্করাচার্য

সঠিক উত্তর: (A) বৌধায়ন (শুল্বসূত্র)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

প্রাচীন ভারতীয় গণিতবিদ ঋষি বৌধায়ন তাঁর শুল্বসূত্রে পিথাগোরাসের বহু পূর্বে আয়তক্ষেত্রের কর্ণের বর্গ সংক্রান্ত এই সূত্র লিপিবদ্ধ করেন।