State Govt Jobs
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-24-complementary-angles-koshe-dekhi-24-solutions
পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত — কষে দেখি 24 সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Complementary Angles Solutions)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 24: পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementary Angles)-এর অন্তর্গত কষে দেখি 24-এর প্রতিটি সূত্র, জ্যামিতিক ব্যাখ্যা এবং সমস্ত গাণিতিক অনুশীলনী প্রশ্নের পুঙ্খানুপুঙ্খ ও নির্ভুল সমাধান নিচে সহজ ভাষায় প্রদান করা হলো।
চিত্র 1: সমকোণী ত্রিভুজে দুটি সূক্ষ্মকোণ পরস্পর পূরক কোণ (A + C = 90°)
পূরক কোণের 6টি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সূত্র:
1. $\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$
2. $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$
3. $\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta$
4. $\cot(90^\circ - \theta) = \tan\theta$
5. $\sec(90^\circ - \theta) = \csc\theta$
6. $\csc(90^\circ - \theta) = \sec\theta$
কষে দেখি 24 — অনুশীলনী সমাধান
1. মান নির্ণয় করি:
(i) $\frac{\sin 38^\circ}{\cos 52^\circ}$
(ii) $\csc 79^\circ \cos 11^\circ$
(iii) $\frac{\tan 27^\circ}{\cot 63^\circ}$
সমাধান:
(i) $\frac{\sin 38^\circ}{\cos 52^\circ}$:
যেহেতু $38^\circ + 52^\circ = 90^\circ \implies 38^\circ = 90^\circ - 52^\circ$।
$= \frac{\sin(90^\circ - 52^\circ)}{\cos 52^\circ} = \frac{\cos 52^\circ}{\cos 52^\circ} = 1$।
(ii) $\csc 79^\circ \cos 11^\circ$:
যেহেতু $79^\circ = 90^\circ - 11^\circ$।
$= \csc(90^\circ - 11^\circ) \cos 11^\circ = \sec 11^\circ \cos 11^\circ = \frac{1}{\cos 11^\circ} \times \cos 11^\circ = 1$।
(iii) $\frac{\tan 27^\circ}{\cot 63^\circ}$:
যেহেতু $27^\circ = 90^\circ - 63^\circ$।
$= \frac{\tan(90^\circ - 63^\circ)}{\cot 63^\circ} = \frac{\cot 63^\circ}{\cot 63^\circ} = 1$।
2. দেখাই যে: $\cos^2 57^\circ + \cos^2 33^\circ = 1$ এবং $\csc^2 48^\circ - \tan^2 42^\circ = 1$।
সমাধান:
(i) প্রথমটির ক্ষেত্রে:
বামপক্ষ $= \cos^2 57^\circ + \cos^2 33^\circ$
যেহেতু $33^\circ = 90^\circ - 57^\circ$:
$= \cos^2 57^\circ + [\cos(90^\circ - 57^\circ)]^2$
$= \cos^2 57^\circ + \sin^2 57^\circ = 1$ = ডানপক্ষ। [প্রমাণিত]
(ii) দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রে:
বামপক্ষ $= \csc^2 48^\circ - \tan^2 42^\circ$
যেহেতু $42^\circ = 90^\circ - 48^\circ$:
$= \csc^2 48^\circ - [\tan(90^\circ - 48^\circ)]^2$
$= \csc^2 48^\circ - \cot^2 48^\circ = 1$ = ডানপক্ষ। [প্রমাণিত]
3. যদি $\angle A + \angle B = 90^\circ$ হয়, তবে প্রমাণ করি যে $1 + \frac{\tan A}{\tan B} = \sec^2 A$।
সমাধান:
প্রদত্ত $A + B = 90^\circ \implies B = 90^\circ - A$।
বামপক্ষ:
$= 1 + \frac{\tan A}{\tan B}$
$= 1 + \frac{\tan A}{\tan(90^\circ - A)}$
$= 1 + \frac{\tan A}{\cot A}$
$= 1 + \tan A \times \frac{1}{\cot A}$
$= 1 + \tan A \times \tan A$
$= 1 + \tan^2 A$
আমরা জানি ত্রিকোণমিতিক মৌলিক অভেদ $1 + \tan^2 A = \sec^2 A$।
$= \sec^2 A$ = ডানপক্ষ।
প্রমাণিত।
4. যেকোনো ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করি যে $\sin\left(\frac{B + C}{2}\right) = \cos\left(\frac{A}{2}\right)$।
সমাধান:
যেকোনো ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর তিনটি কোণের সমষ্টি $180^\circ$:
$A + B + C = 180^\circ$
$B + C = 180^\circ - A$
উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{B + C}{2} = \frac{180^\circ - A}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$
এখন বামপক্ষ:
$= \sin\left(\frac{B + C}{2}\right)$
$= \sin\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right)$
$= \cos\left(\frac{A}{2}\right)$ = ডানপক্ষ।
প্রমাণিত।
5. যদি $\sec 5A = \csc(A + 36^\circ)$ হয় এবং $5A$ একটি ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে $A$-এর মান কত?
সমাধান:
প্রদত্ত:
$\sec 5A = \csc(A + 36^\circ)$
আমরা জানি $\sec\theta = \csc(90^\circ - \theta)$।
অতএব $\sec 5A = \csc(90^\circ - 5A)$ বসিয়ে পাই:
$\csc(90^\circ - 5A) = \csc(A + 36^\circ)$
উভয়পক্ষের কোণ তুলনা করে পাই:
$90^\circ - 5A = A + 36^\circ$
$90^\circ - 36^\circ = A + 5A$
$54^\circ = 6A$
$A = \frac{54^\circ}{6} = 9^\circ$
উত্তর: $A = 9^\circ$।
