examuttoron.com | EXAM UTTORON

Link: https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-25-heights-and-distances-koshe-dekhi-25-solutions

উচ্চতা ও দূরত্ব — কষে দেখি 25 সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Heights and Distances Koshe Dekhi 25)

EXAM UTTORON examuttoron.com

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 25: ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব (Trigonometric Heights and Distances)-এর অন্তর্গত কষে দেখি 25-এর প্রতিটি বাস্তবধর্মী গাণিতিক সমস্যার নিখুঁত জ্যামিতিক নকশা, উন্নতি ও অবনতি কোণের বিশ্লেষণ এবং ধাপে ধাপে সম্পূর্ণ সমাধান নিচে বিস্তারিতভাবে প্রদান করা হলো।

কষে দেখি 25 — অনুশীলনী সমাধান

1. একটি নারকেল গাছের গোড়া থেকে অনুভূমিক তলে $20\text{ মিটার}$ দূরে অবস্থিত একটি বিন্দু থেকে গাছের অগ্রভাগের উন্নতি কোণ $60^\circ$ হলে গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করি।

সমাধান:

ধরি নারকেল গাছটির উচ্চতা $AB = h\text{ মিটার}$।
গাছের গোড়া $B$ থেকে পর্যবেক্ষক বিন্দুর দূরত্ব $BC = 20\text{ মিটার}$।
$C$ বিন্দুতে গাছের অগ্রভাগ $A$-এর উন্নতি কোণ $\angle ACB = 60^\circ$।

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-তে:
$\tan 60^\circ = \frac{AB}{BC}$
$\sqrt{3} = \frac{h}{20}$
$h = 20\sqrt{3}\text{ মিটার}$

যদি $\sqrt{3} = 1.732$ বসানো হয়:
$h = 20 \times 1.732 = 34.64\text{ মিটার}$

উত্তর: নারকেল গাছটির উচ্চতা $20\sqrt{3}\text{ মিটার}$ (বা প্রায় $34.64\text{ মিটার}$)।

2. সূর্যের উন্নতি কোণ $30^\circ$ থেকে বৃদ্ধি পেয়ে $60^\circ$ হলে একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য $10\text{ মিটার}$ কমে যায়। স্তম্ভটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি স্তম্ভটির উচ্চতা $AB = h\text{ মিটার}$।
প্রথম অবস্থানে ছায়ার দৈর্ঘ্য $BD$ এবং উন্নতি কোণ $\angle ADB = 30^\circ$।
দ্বিতীয় অবস্থানে ছায়ার দৈর্ঘ্য $BC$ এবং উন্নতি কোণ $\angle ACB = 60^\circ$।
প্রশ্নানুসারে ছায়ার হ্রাস $CD = BD - BC = 10\text{ মিটার}$।

1. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-তে:
$\tan 60^\circ = \frac{AB}{BC} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{BC} \implies BC = \frac{h}{\sqrt{3}}$   ...(1)

2. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABD$-তে:
$\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{BD} \implies BD = \sqrt{3}h$   ...(2)

এখন $BD - BC = 10$:
$\sqrt{3}h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 10$
$\frac{3h - h}{\sqrt{3}} = 10$
$\frac{2h}{\sqrt{3}} = 10$
$2h = 10\sqrt{3}$
$h = 5\sqrt{3}\text{ মিটার}$

মান বসিয়ে: $h = 5 \times 1.732 = 8.66\text{ মিটার}$।

উত্তর: স্তম্ভটির উচ্চতা $5\sqrt{3}\text{ মিটার}$ (বা $8.66\text{ মিটার}$)।

3. ঝড়ে একটি টেলিগ্রাফ পোস্ট মাটি থেকে কিছুটা উঁচুতে মচকে গিয়ে তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে $8\sqrt{3}\text{ মিটার}$ দূরে মাটি স্পর্শ করেছে এবং অনুভূমিকের সঙ্গে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করেছে। পোস্টটি মাটি থেকে কত উঁচুতে মচকেছিল এবং পোস্টটির মোট উচ্চতা কত ছিল?

সমাধান:

ধরি সম্পূর্ণ পোস্টটির উচ্চতা $AD$। পোস্টটি মাটি থেকে $B$ বিন্দুতে মচকে গেছে।
মাটিতে স্পর্শবিন্দুটি হলো $C$। গোড়া থেকে দূরত্ব $AC = 8\sqrt{3}\text{ মিটার}$।
ভাঙ্গা অংশ $BD = BC$ এবং $\angle BCA = 30^\circ$।

1. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle BAC$-তে:
$\tan 30^\circ = \frac{AB}{AC}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{8\sqrt{3}}$
$AB = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8\text{ মিটার}$

2. ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য ($BC$):
$\cos 30^\circ = \frac{AC}{BC}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{BC}$
$\sqrt{3} \times BC = 16\sqrt{3} \implies BC = 16\text{ মিটার}$

অতএব পোস্টটির মোট উচ্চতা:
$= AB + BC = 8 + 16 = 24\text{ মিটার}$

উত্তর: পোস্টটি মাটি থেকে $8\text{ মিটার}$ উঁচুতে মচকেছিল এবং তার মোট উচ্চতা ছিল $24\text{ মিটার}$।

4. একটি নদীর একটি পাড়ের একটি পোস্ট থেকে সরাসরি অপর পাড়ে একটি খুঁটি পোঁতা হলো। নদীর পাড় বরাবর $7\sqrt{3}\text{ মিটার}$ সরে গিয়ে প্রথম পোস্টটি দেখলে তার উন্নতি কোণ হয় $30^\circ$। নদীটির বিস্তার (প্রস্থ) কত?

সমাধান:

ধরি নদীর দুই বিপরীত পাড়ে দুটি বিন্দু যথাক্রমে $A$ ও $B$। অতএব নদীর বিস্তার $AB = d\text{ মিটার}$।
এক পাড় বরাবর $B$ বিন্দু থেকে $C$ বিন্দুতে সরে যাওয়া হলো, যেখানে $BC = 7\sqrt{3}\text{ মিটার}$।
$C$ বিন্দু থেকে অপর পাড়ের পোস্ট $A$-এর কোণ $\angle ACB = 30^\circ$ এবং $\angle B = 90^\circ$।

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-তে:
$\tan 30^\circ = \frac{AB}{BC}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{d}{7\sqrt{3}}$
$d = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 7\text{ মিটার}$

উত্তর: নদীটির বিস্তার $7\text{ মিটার}$।

5. মাঠের মাঝে দাঁড়িয়ে একটি ঘুড়ি ওড়ানোর সময় সুতোর দৈর্ঘ্য $150\text{ মিটার}$ এবং সুতোটি অনুভূমিকের সঙ্গে $60^\circ$ কোণ উৎপন্ন করেছে। ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উঁচুতে রয়েছে?

সমাধান:

ধরি ঘুড়িটির অবস্থান $A$ এবং পর্যবেক্ষকের অবস্থান $C$।
ঘুড়িটির অনুভূমিক দূরত্ব ও উলম্ব উচ্চতা যথাক্রমে $BC$ ও $AB$ ($B$ হলো মাটিস্থ বিন্দু)।
সুতোর দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) $AC = 150\text{ মিটার}$।
উন্নতি কোণ $\angle ACB = 60^\circ$।

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-তে:
$\sin 60^\circ = \frac{AB}{AC}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{150}$
$AB = \frac{150\sqrt{3}}{2} = 75\sqrt{3}\text{ মিটার}$
$AB = 75 \times 1.732 = 129.9\text{ মিটার}$

উত্তর: ঘুড়িটি মাটি থেকে $75\sqrt{3}\text{ মিটার}$ বা প্রায় $129.9\text{ মিটার}$ উঁচুতে রয়েছে।

6. একটি তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে একটি মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ $60^\circ$ এবং পাদদেশের অবনতি কোণ $30^\circ$। বাড়িটির উচ্চতা $16\text{ মিটার}$ হলে মনুমেন্টের উচ্চতা এবং বাড়ি ও মনুমেন্টের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করি।

সমাধান:

ধরি তিনতলা বাড়ির উচ্চতা $AB = 16\text{ মিটার}$ ($A$ হলো ছাদ, $B$ হলো পাদদেশ)।
মনুমেন্টের উচ্চতা $CD = H\text{ মিটার}$ ($C$ হলো চূড়া, $D$ হলো পাদদেশ)।
বাড়ি ও মনুমেন্টের মধ্যবর্তী দূরত্ব $BD = x\text{ মিটার}$।
ছাদ $A$ থেকে মনুমেন্টের উপর অনুভূমিক লম্ব টানা হলো $AE \perp CD$, যেখানে $AE = BD = x$ এবং $ED = AB = 16\text{ মিটার}$।
অতএব $CE = CD - ED = (H - 16)\text{ মিটার}$।

ছাদ $A$ থেকে চূড়া $C$-এর উন্নতি কোণ $\angle CAE = 60^\circ$।
ছাদ $A$ থেকে পাদদেশ $D$-এর অবনতি কোণ $30^\circ \implies \angle EAD = 30^\circ \implies \angle ADB = 30^\circ$।

1. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABD$-তে:
$\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{x} \implies x = 16\sqrt{3}\text{ মিটার}$

2. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle CEA$-তে:
$\tan 60^\circ = \frac{CE}{AE}$
$\sqrt{3} = \frac{H - 16}{x}$
$H - 16 = x\sqrt{3} = (16\sqrt{3}) \times \sqrt{3} = 16 \times 3 = 48\text{ মিটার}$
$H = 48 + 16 = 64\text{ মিটার}$

উত্তর: বাড়ি ও মনুমেন্টের মধ্যবর্তী দূরত্ব $16\sqrt{3}\text{ মিটার}$ এবং মনুমেন্টটির উচ্চতা $64\text{ মিটার}$।

7. একটি লাইটহাউস থেকে তার দুই বিপরীত দিকে থাকা দুটি জাহাজের অবনতি কোণ যথাক্রমে $60^\circ$ এবং $30^\circ$। লাইটহাউসের উচ্চতা $150\text{ মিটার}$ হলে জাহাজ দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

ধরি লাইটহাউসের উচ্চতা $AB = 150\text{ মিটার}$ ($B$ হলো পাদদেশ)।
দুই বিপরীত দিকে জাহাজ দুটির অবস্থান যথাক্রমে $C$ ও $D$।
শীর্ষদেশ $A$ থেকে $C$-এর অবনতি কোণ $60^\circ \implies \angle ACB = 60^\circ$।
শীর্ষদেশ $A$ থেকে $D$-এর অবনতি কোণ $30^\circ \implies \angle ADB = 30^\circ$।

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-তে:
$\tan 60^\circ = \frac{AB}{BC} \implies \sqrt{3} = \frac{150}{BC} \implies BC = \frac{150}{\sqrt{3}} = \frac{150\sqrt{3}}{3} = 50\sqrt{3}\text{ মিটার}$

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABD$-তে:
$\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{150}{BD} \implies BD = 150\sqrt{3}\text{ মিটার}$

জাহাজ দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব ($CD$):
$CD = BC + BD = 50\sqrt{3} + 150\sqrt{3} = 200\sqrt{3}\text{ মিটার}$
$= 200 \times 1.732 = 346.4\text{ মিটার}$

উত্তর: জাহাজ দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $200\sqrt{3}\text{ মিটার}$ (বা $346.4\text{ মিটার}$)।

8. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন (VSA) ও বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ)

(i) সূর্যের উন্নতি কোণ $45^\circ$ হলে একটি উলম্ব দণ্ডের দৈর্ঘ্য ও তার ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত?
উত্তর: ধরি দণ্ডের দৈর্ঘ্য $h$ এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য $x$। $\tan 45^\circ = \frac{h}{x} \implies 1 = \frac{h}{x} \implies h : x = 1 : 1$। অনুপাত হলো $1 : 1$।

(ii) সূর্যের উন্নতি কোণ $30^\circ$ থেকে বৃদ্ধি পেয়ে $45^\circ$ হলে কোনো স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য বাড়ে না কমে?
উত্তর: সূর্যের উন্নতি কোণ বৃদ্ধি পেলে ছায়ার দৈর্ঘ্য কমে (হ্রাস পায়)।

(iii) একটি পোস্টের ছায়ার দৈর্ঘ্য তার উচ্চতার $\sqrt{3}$ গুণ হলে সূর্যের উন্নতি কোণ কত?
উত্তর: $\tan\theta = \frac{h}{\sqrt{3}h} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30^\circ \implies \theta = 30^\circ$। সূর্যের উন্নতি কোণ $30^\circ$।