examuttoron.com | EXAM UTTORON

Link: https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-3-koshe-dekhi-3-2-solutions

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য — কষে দেখি 3.2 সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Circle Theorems Koshe Dekhi 3.2)

EXAM UTTORON examuttoron.com

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 3: বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য থেকে কষে দেখি 3.2 (Koshe Dekhi 3.2)-এর প্রতিটি গাণিতিক সমস্যা, উপপাদ্য প্রয়োগ, পিথাগোরাসের সম্পর্ক ও বহুনির্বাচনী প্রশ্নের (MCQ) জ্যামিতিক চিত্রসহ নির্ভুল সমাধান নিচে দেওয়া হলো।

1. $O$ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং $AB$ একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.। $O$ বিন্দু থেকে $AB$ জ্যা-এর দূরত্ব হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি, $O$ বিন্দু থেকে $AB$ জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব $OC \perp AB$।
অতএব $OC$-ই হলো নির্ণেয় দূরত্ব।
যেহেতু কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে,
$\therefore C$ হলো $AB$-এর মধ্যবিন্দু।
$$AC = CB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}$$
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OA = 5\text{ cm}$।
এখন সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OAC$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$OA^2 = OC^2 + AC^2$$
$$\implies 5^2 = OC^2 + 4^2$$
$$\implies 25 = OC^2 + 16$$
$$\implies OC^2 = 25 - 16 = 9$$
$$\implies OC = \sqrt{9} = 3\text{ cm}$$

উত্তর: $O$ বিন্দু থেকে $AB$ জ্যা-এর দূরত্ব 3 সেমি.।

2. $O$ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি.। $O$ বিন্দু থেকে $PQ$ জ্যা-এর দূরত্ব 5 সেমি.। $PQ$ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

বৃত্তের ব্যাস $= 26\text{ cm} \implies$ ব্যাসার্ধ $OP = \frac{26}{2} = 13\text{ cm}$।
কেন্দ্র $O$ থেকে $PQ$ জ্যা-এর ওপর লম্ব দূরত্ব $OM = 5\text{ cm}$ ($OM \perp PQ$)।
যেহেতু কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $M$ হলো $PQ$-এর মধ্যবিন্দু।
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OPM$-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
$$PM^2 = OP^2 - OM^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$
$$\implies PM = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$$

অতএব সম্পূর্ণ জ্যা $PQ = 2 \times PM = 2 \times 12 = 24\text{ cm}$।

উত্তর: $PQ$ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সেমি.।

3. $O$ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের $PQ$ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি. এবং $O$ বিন্দু থেকে $PQ$-এর দূরত্ব 2.1 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

দেওয়া আছে, জ্যা $PQ = 4\text{ cm}$ এবং কেন্দ্র থেকে লম্ব দূরত্ব $ON = 2.1\text{ cm}$।
যেহেতু $ON \perp PQ$, সুতরাং $N$ হলো $PQ$-এর মধ্যবিন্দু।
$$PN = \frac{4}{2} = 2\text{ cm}$$
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ONP$-এ অতিভুজ $OP$ হলো ব্যাসার্ধ ($r$):
$$OP^2 = ON^2 + PN^2 = (2.1)^2 + 2^2 = 4.41 + 4 = 8.41$$
$$OP = \sqrt{8.41} = 2.9\text{ cm}$$

অতএব বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য $= 2 \times \text{ব্যাসার্ধ} = 2 \times 2.9 = 5.8\text{ cm}$।

উত্তর: বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 5.8 সেমি.।

4. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে 6 সেমি. ও 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি জ্যা। যদি ছোটো দৈর্ঘ্যের জ্যাটির বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 4 সেমি. হয়, তাহলে অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব কত তা হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি দুটি জ্যা যথাক্রমে $AB = 6\text{ cm}$ এবং $CD = 8\text{ cm}$।
ছোট জ্যা $AB$-এর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব $OP = 4\text{ cm}$ ($OP \perp AB$)।
যেহেতু লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $AP = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}$।
সমকোণী $\triangle OAP$ থেকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OA$:
$$OA = \sqrt{OP^2 + AP^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$$

যেহেতু একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ সর্বদা সমান, তাই $OC = 5\text{ cm}$।
অপর জ্যা $CD$-এর ক্ষেত্রে লম্ব $OQ \perp CD$ এবং $CQ = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}$।
সমকোণী $\triangle OCQ$ থেকে কেন্দ্র থেকে অপর জ্যা-এর দূরত্ব $OQ$:
$$OQ = \sqrt{OC^2 - CQ^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\text{ cm}$$

উত্তর: অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 3 সেমি.।

5. যদি কোনো বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 48 সেমি. এবং কেন্দ্র থেকে ওই জ্যা-এর দূরত্ব 7 সেমি. হয়, তবে ওই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে যে জ্যা-এর দূরত্ব 20 সেমি., সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

প্রথম জ্যা $AB = 48\text{ cm}$ এবং কেন্দ্র থেকে লম্ব দূরত্ব $OP = 7\text{ cm}$।
$P$ মধ্যবিন্দু হওয়ায় $AP = \frac{48}{2} = 24\text{ cm}$।
সমকোণী $\triangle OAP$ থেকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ:
$$R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\text{ cm}$$

দ্বিতীয় জ্যা $CD$-এর ক্ষেত্রে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব $OQ = 20\text{ cm}$।
সমকোণী $\triangle OCQ$ থেকে জ্যাটির অর্ধেক অংশ:
$$CQ = \sqrt{R^2 - OQ^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\text{ cm}$$

অতএব দ্বিতীয় জ্যাটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য $= 2 \times CQ = 2 \times 15 = 30\text{ cm}$।

উত্তর: জ্যাটির দৈর্ঘ্য 30 সেমি.।

6. পাশের $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছবিতে $OP \perp AB$; $AB = 6$ সেমি. এবং $PC = 2$ সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি (যেখানে $C$ পরিধির বিন্দু এবং $OPC$ একই সরলরেখায় অবস্থিত)।

সমাধান:

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= r\text{ cm}$।
চিত্রানুযায়ী $OC = r\text{ cm}$।
যেহেতু $PC = 2\text{ cm}$, তাই $OP = OC - PC = (r - 2)\text{ cm}$।
আবার $OP \perp AB$ হওয়ায় $P$ হলো $AB$-এর মধ্যবিন্দু।
$$PB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}$$
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OPB$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
$$OB^2 = OP^2 + PB^2$$
$$\implies r^2 = (r - 2)^2 + 3^2$$
$$\implies r^2 = r^2 - 4r + 4 + 9$$
$$\implies 4r = 13 \implies r = \frac{13}{4} = 3.25\text{ cm}$$

উত্তর: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.25 সেমি.।

7. একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে এবং অপরটিকে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে $AC = DB$।

সমাধান:

প্রদত্ত: দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের সাধারণ কেন্দ্র হলো $O$। একটি সরলরেখা বৃহত্তর বৃত্তটিকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রামাণ্য বিষয়: $AC = DB$।

অঙ্কন: কেন্দ্র $O$ থেকে সরলরেখাংশটির ওপর $OP \perp AB$ অঙ্কন করা হলো।

প্রমাণ:

বৃহত্তর বৃত্তের ক্ষেত্রে $AB$ একটি জ্যা এবং $OP \perp AB$।
যেহেতু কেন্দ্র থেকে লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে:
$AP = PB$ ---- (1)
ক্ষুদ্রতর বৃত্তের ক্ষেত্রে $CD$ একটি জ্যা এবং $OP \perp CD$।
অনুরূপভাবে:
$CP = PD$ ---- (2)
সমীকরণ (1) থেকে সমীকরণ (2) বিয়োগ করে পাই:
$AP - CP = PB - PD$
$\implies AC = DB$।
অতএব, $AC = DB$। [প্রমাণিত]

8. প্রমাণ করি, কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়।

সমাধান:

প্রদত্ত: মনে করি, $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ ও $CD$ দুটি জ্যা (যাদের কোনোটিই ব্যাস নয়) পরস্পরকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রামাণ্য বিষয়: জ্যা দুটি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না (যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়)।

অঙ্কন: কেন্দ্র $O$-এর সঙ্গে ছেদবিন্দু $P$ যুক্ত করা হলো (অর্থাৎ $O, P$ যুক্ত করা হলো)।

প্রমাণ:

যদি সম্ভব হয় ধরে নিই, জ্যা দুটি পরস্পরকে $P$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে, অর্থাৎ $P$ বিন্দুটি $AB$ এবং $CD$ উভয় জ্যা-এরই মধ্যবিন্দু।
যেহেতু $P$, $AB$ জ্যা-এর মধ্যবিন্দু এবং $AB$ ব্যাস নয়, তাই উপপাদ্য 33 অনুসারে $OP \perp AB$।
আবার যেহেতু $P$, $CD$ জ্যা-এর মধ্যবিন্দু এবং $CD$ ব্যাস নয়, তাই $OP \perp CD$।
এর অর্থ হলো, একই বিন্দু $P$-তে $OP$ রেখাংশটি $AB$ ও $CD$ দুটি ভিন্ন সরলরেখার ওপর একই সাথে লম্ব, যা জ্যামিতিকভাবে অসম্ভব।
এটি কেবলমাত্র তখনই সম্ভব যদি $P$ বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র $O$-এর সাথে সমাপতিত হয় (অর্থাৎ $OP = 0$)।
কিন্তু কেন্দ্রগামী জ্যা সর্বদাই বৃত্তের ব্যাস।
অতএব, উভয়েই ব্যাস না হলে বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না। [প্রমাণিত]

9. $X$ ও $Y$ কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $XY$-এর মধ্যবিন্দু $S$-এর সঙ্গে $A$ বিন্দু যুক্ত করলাম এবং $A$ বিন্দু দিয়ে $SA$-এর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে $PA = AQ$।

সমাধান:

প্রদত্ত: $S$ হলো $XY$-এর মধ্যবিন্দু ($XS = SY$) এবং $PQ \perp SA$।

অঙ্কন: $X$ ও $Y$ বিন্দু থেকে $PQ$-এর ওপর যথাক্রমে $XM \perp PQ$ এবং $YN \perp PQ$ লম্ব টানা হলো।

প্রমাণ:

যেহেতু $XM \perp PQ$, $SA \perp PQ$ এবং $YN \perp PQ$,
সুতরাং $XM \parallel SA \parallel YN$।
এখন তিনটি সমান্তরাল সরলরেখা অপর সরলরেখা $XY$ থেকে দুটি সমান অংশ ছেদ করেছে (যেহেতু $XS = SY$)।
সুতরাং সমান্তরাল সরলরেখার ছেদক ধর্ম অনুসারে, তারা ভেদক $PQ$ থেকেও সমান দুটি অংশ ছিন্ন করবে:
$MA = AN$ ---- (1)
আবার, $X$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে $XM \perp PA$ হওয়ায় $M$ হলো $PA$-এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ $MA = \frac{1}{2}PA$।
এবং $Y$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে $YN \perp AQ$ হওয়ায় $N$ হলো $AQ$-এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ $AN = \frac{1}{2}AQ$।
সমীকরণ (1) থেকে পাই:
$\frac{1}{2}PA = \frac{1}{2}AQ \implies PA = AQ$।
অতএব, $PA = AQ$। [প্রমাণিত]

10. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেমি. ও 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা $AB$ এবং $CD$ কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। যদি $AB$ ও $CD$-জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 17 সেমি. হয়, তবে হিসাব করে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য লিখি।

সমাধান:

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= r\text{ cm}$।
কেন্দ্র $O$ থেকে $AB$ ও $CD$-এর ওপর যথাক্রমে $OP \perp AB$ এবং $OQ \perp CD$।
যেহেতু জ্যা দুটি সমান্তরাল এবং বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত, তাই $P, O, Q$ বিন্দু তিনটি সমরেখ।
দেওয়া আছে, জ্যা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $PQ = 17\text{ cm}$।
ধরি, $OP = x\text{ cm}$, তাহলে $OQ = (17 - x)\text{ cm}$।
যেহেতু লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে:
$PB = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$ এবং $QD = \frac{24}{2} = 12\text{ cm}$।

সমকোণী $\triangle OPB$ থেকে:
$r^2 = OP^2 + PB^2 = x^2 + 5^2 = x^2 + 25$ ---- (1)
সমকোণী $\triangle OQD$ থেকে:
$r^2 = OQ^2 + QD^2 = (17 - x)^2 + 12^2 = (17 - x)^2 + 144$ ---- (2)

(1) ও (2) তুলনা করে পাই:
$x^2 + 25 = (17 - x)^2 + 144$
$\implies x^2 + 25 = 289 - 34x + x^2 + 144$
$\implies 34x = 289 + 144 - 25 = 408$
$\implies x = \frac{408}{34} = 12$।

এখন সমীকরণ (1)-এ $x = 12$ বসিয়ে পাই:
$r^2 = 12^2 + 25 = 144 + 25 = 169$
$\implies r = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$।

উত্তর: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি.।

11. দুটি বৃত্তের কেন্দ্র $P$ এবং $Q$; বৃত্ত দুটি $A$ এবং $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। $A$ বিন্দু দিয়ে $PQ$ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, $CD = 2PQ$।

সমাধান:

প্রদত্ত: $P$ ও $Q$ কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $A$ বিন্দুগামী একটি সরলরেখা $CD \parallel PQ$ বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রামাণ্য বিষয়: $CD = 2PQ$।

অঙ্কন: $P$ ও $Q$ কেন্দ্র থেকে $CD$-এর ওপর যথাক্রমে $PR \perp CD$ এবং $QS \perp CD$ লম্ব অঙ্কন করা হলো।

প্রমাণ:

যেহেতু $PQ \parallel RS$ এবং $PR \parallel QS$ (উভয়েই $CD$-এর ওপর লম্ব), তাই $PRSQ$ একটি আয়তক্ষেত্র।
$\therefore RS = PQ$ ---- (1)

প্রথম বৃত্তে $PR \perp CA$ জ্যা হওয়ায় $R$ হলো $CA$-এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ $AR = \frac{1}{2}AC$।
দ্বিতীয় বৃত্তে $QS \perp AD$ জ্যা হওয়ায় $S$ হলো $AD$-এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ $AS = \frac{1}{2}AD$।
এখন:
$RS = AR + AS = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}(AC + AD) = \frac{1}{2}CD$।
সমীকরণ (1) থেকে পাই:
$PQ = \frac{1}{2}CD \implies CD = 2PQ$।
অতএব, $CD = 2PQ$। [প্রমাণিত]

12. একটি বৃত্তের $AB$ ও $AC$ জ্যা দুটি সমান। প্রমাণ করি যে, $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।

সমাধান:

প্রদত্ত: মনে করি, $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি সমান জ্যা $AB = AC$।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।

অঙ্কন: $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করা হলো যা $BC$ জ্যা-কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং $B, C$ যুক্ত করা হলো।

প্রমাণ:

$\triangle ABD$ এবং $\triangle ACD$-এর মধ্যে:
1. $AB = AC$ (প্রদত্ত)
2. $\angle BAD = \angle CAD$ (যেহেতু $AD$ হলো $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক)
3. $AD$ সাধারণ বাহু।

S-A-S সর্বসমতা অনুসারে $\triangle ABD \cong \triangle ACD$।
$\therefore BD = CD$ এবং $\angle ADB = \angle ADC$।
যেহেতু কোণ দুটির সমষ্টি $180^\circ$, তাই $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$।
সুতরাং $AD \perp BC$ এবং $D$ হলো $BC$-এর মধ্যবিন্দু।
অর্থাৎ $AD$ হলো $BC$ জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক।
উপপাদ্য অনুসারে বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক সর্বদাই কেন্দ্রগামী।
অতএব, $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী। [প্রমাণিত]

13. একটি বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা-এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক যদি কেন্দ্রগামী হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি সমান।

সমাধান:

প্রদত্ত: মনে করি, $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ ও $CD$ দুটি জ্যা পরস্পরকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং $OP$ হলো $\angle APC$-এর সমদ্বিখণ্ডক।

প্রামাণ্য বিষয়: জ্যা দুটি পরস্পর সমান, অর্থাৎ $AB = CD$।

অঙ্কন: কেন্দ্র $O$ থেকে $AB$ ও $CD$-এর ওপর যথাক্রমে $OE \perp AB$ এবং $OF \perp CD$ লম্ব অঙ্কন করা হলো।

প্রমাণ:

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OPE$ এবং $\triangle OPF$-এর মধ্যে:
1. $\angle OEP = \angle OFP = 90^\circ$ ($OE \perp AB, OF \perp CD$)
2. $\angle EPO = \angle FPO$ (যেহেতু $OP$ হলো কোণের সমদ্বিখণ্ডক)
3. $OP$ সাধারণ বাহু।

A-A-S সর্বসমতা অনুসারে:
$\triangle OPE \cong \triangle OPF$
অতএব, অনুরূপ বাহুদ্বয় সমান: $OE = OF$।
অর্থাৎ $AB$ ও $CD$ জ্যা দুটি কেন্দ্র $O$ থেকে সমদূরবর্তী।
আমরা জানি, কোনো বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী জ্যাগুলির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান হয়।
অতএব, $AB = CD$। [প্রমাণিত]

14. প্রমাণ করি, একটি বৃত্তে দুটি জ্যা-এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-টির দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

সমাধান:

প্রদত্ত: মনে করি, $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা $AB$ ও $CD$। কেন্দ্র থেকে তাদের লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে $OP \perp AB$ এবং $OQ \perp CD$। দেওয়া আছে, $AB$ জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী, অর্থাৎ $OP < OQ$।

প্রামাণ্য বিষয়: $AB > CD$।

অঙ্কন: $O, A$ এবং $O, C$ যুক্ত করা হলো। বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OA = OC = r$।

প্রমাণ:

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OAP$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$r^2 = OP^2 + AP^2$
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OCQ$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$r^2 = OQ^2 + CQ^2$

$\therefore OP^2 + AP^2 = OQ^2 + CQ^2$
$\implies AP^2 - CQ^2 = OQ^2 - OP^2$

যেহেতু $OP < OQ \implies OQ^2 - OP^2 > 0$
$\therefore AP^2 - CQ^2 > 0 \implies AP^2 > CQ^2 \implies AP > CQ$।
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই:
$2 AP > 2 CQ \implies AB > CD$ (যেহেতু কেন্দ্র থেকে লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে)।
অতএব, কেন্দ্রের নিকটবর্তী জ্যাটির দৈর্ঘ্য বৃহত্তর। [প্রমাণিত]

15. একটি বৃত্তের ভিতর যে-কোনো বিন্দু দিয়ে ক্ষুদ্রতম জ্যা কোনটি হবে তা প্রমাণ করে লিখি।

সমাধান:

প্রদত্ত: মনে করি, $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের অভ্যন্তরে $P$ যেকোনো একটি প্রদত্ত বিন্দু। $P$ বিন্দুগামী একটি জ্যা $AB$, যার ওপর $OP$ লম্ব ($OP \perp AB$), অর্থাৎ $P$ হলো $AB$-এর মধ্যবিন্দু। $P$ বিন্দুগামী অপর যেকোনো একটি জ্যা হলো $CD$।

প্রামাণ্য বিষয়: $AB$ হলো $P$ বিন্দুগামী ক্ষুদ্রতম জ্যা, অর্থাৎ $AB < CD$।

অঙ্কন: কেন্দ্র $O$ থেকে $CD$-এর ওপর $OQ \perp CD$ লম্ব অঙ্কন করা হলো।

প্রমাণ:

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OPQ$-তে $\angle OQP = 90^\circ$ হওয়ায় $OP$ হলো অতিভুজ।
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু, সুতরাং $OP > OQ$।
আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে যে জ্যা-এর দূরত্ব বেশি, তার দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতর।
যেহেতু $AB$ জ্যা-এর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব $OP$ এবং $CD$ জ্যা-এর দূরত্ব $OQ$, এবং $OP > OQ$,
সুতরাং $AB < CD$।
অতএব, প্রদত্ত বিন্দু $P$-তে কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত রেখাংশের ওপর লম্ব জ্যা-টিই হলো $P$ বিন্দুগামী ক্ষুদ্রতম জ্যা। [প্রমাণিত]

16. (A)(i) $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ ও $CD$ জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। $\angle AOB = 60^\circ$ হলে, $\angle COD$-এর মান কত?

(A) $40^\circ$   (B) $30^\circ$   (C) $60^\circ$   (D) $90^\circ$

সঠিক উত্তর: (C)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং $\angle COD = \angle AOB = 60^\circ$।

17. (A)(ii) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি. এবং বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব কত?

(A) 12.5 সেমি.   (B) 12 সেমি.   (C) $\sqrt{69}$ সেমি.   (D) 24 সেমি.

সঠিক উত্তর: (B)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

জ্যা-এর অর্ধেক $= \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$। ব্যাসার্ধ $= 13\text{ cm}$।
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী দূরত্ব $= \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$।

18. (A)(iii) $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ ও $CD$ দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। $O$ বিন্দু থেকে $AB$ জ্যা-এর দূরত্ব 4 সেমি. হলে, $CD$ জ্যা-এর দূরত্ব কত?

(A) 2 সেমি.   (B) 4 সেমি.   (C) 6 সেমি.   (D) 8 সেমি.

সঠিক উত্তর: (B)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যাগুলি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হয়। সুতরাং $CD$ জ্যা-এর দূরত্বও 4 সেমি. হবে।

19. (A)(iv) $AB$ ও $CD$ দুটি সমান্তরাল জ্যা-এর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 16 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হলে, জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব কত?

(A) 12 সেমি.   (B) 16 সেমি.   (C) 20 সেমি.   (D) 5 সেমি.

সঠিক উত্তর: (A)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

প্রতিটি জ্যা-এর অর্ধেক $= 8\text{ cm}$। ব্যাসার্ধ $= 10\text{ cm}$।
কেন্দ্র থেকে প্রতিটি জ্যা-এর দূরত্ব $= \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = 6\text{ cm}$।
যেহেতু জ্যা দুটি সমান এবং সমান্তরাল, তাই তারা কেন্দ্রের দুই বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত।
অতএব মধ্যবর্তী দূরত্ব $= 6 + 6 = 12\text{ cm}$।

20. (A)(v) দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র $O$; একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। $AC = 5$ সেমি. হলে $BD$-এর দৈর্ঘ্য কত?

(A) 2.5 সেমি.   (B) 5 সেমি.   (C) 10 সেমি.   (D) কোনোটিই নয়

সঠিক উত্তর: (B)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

7 নম্বর প্রশ্নের উপপাদ্য অনুসারে সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের ক্ষেত্রে জ্যা দুটির বহিরাংশ সমান হয়, অর্থাৎ $BD = AC = 5\text{ cm}$।

21. (B)(i) সত্য না মিথ্যা লিখি: তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে যায় এরকম একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।

সমাধান:

উত্তর: মিথ্যা।

যুক্তি: তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে কোনো বৃত্ত অঙ্কন করা যায় না। কেবল তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটিই নির্দিষ্ট বৃত্ত অঙ্কন করা সম্ভব।

22. (B)(ii) সত্য না মিথ্যা লিখি: ABCDA ও ABCEA বৃত্ত দুটি একই বৃত্ত।

সমাধান:

উত্তর: সত্য।

যুক্তি: বৃত্ত দুটিতে তিনটি সাধারণ বিন্দু $A, B, C$ রয়েছে। যেহেতু তিনটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে একটি এবং কেবলমাত্র একটিই বৃত্ত অঙ্কন করা যায়, তাই বৃত্ত দুটি একই বৃত্ত।

23. (B)(iii) সত্য না মিথ্যা লিখি: $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ এবং $AC$ জ্যা দুটি $OA$ ব্যাসার্ধের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হলে, $\angle OAB = \angle OAC$।

সমাধান:

উত্তর: সত্য।

যুক্তি: জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান হলে ($\triangle OAB \cong \triangle OAC$), অনুরূপ কোণ $\angle OAB = \angle OAC$ হবে।

24. (C)(i) শূন্যস্থান পূরণ করি: $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে $PQ$ ও $RS$ জ্যা দুটির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1:1 হলে, $\angle POQ : \angle ROS =$ ______।

সমাধান:

যেহেতু জ্যা দুটির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1:1, অর্থাৎ $PQ = RS$, তাই কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ দুটিও সমান হবে।

উত্তর: 1:1।

25. (C)(ii) শূন্যস্থান পূরণ করি: বৃত্তের কোনো জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক ওই বৃত্তের ______।

সমাধান:

উপপাদ্য অনুসারে বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক সর্বদাই কেন্দ্রের ওপর দিয়ে যায়।

উত্তর: কেন্দ্রবিন্দুগামী (বা কেন্দ্রগামী)।

26. (i) 10 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের দুটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করে এবং তাদের সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি.। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।

সমাধান:

ধরি বৃত্ত দুটির কেন্দ্র $P$ ও $Q$ এবং সাধারণ জ্যা $AB = 12\text{ cm}$।
কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখা $PQ$ সাধারণ জ্যা $AB$-কে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে $M$ বিন্দুতে।
$\therefore AM = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}$ এবং $PA = 10\text{ cm}$ (ব্যাসার্ধ)।
সমকোণী $\triangle PAM$ থেকে:
$PM = \sqrt{PA^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$।
যেহেতু বৃত্ত দুটি সমান, তাই $MQ = PM = 8\text{ cm}$।
অতএব কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $PQ = PM + MQ = 8 + 8 = 16\text{ cm}$।

উত্তর: বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 16 সেমি.।

27. (ii) 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে $AB$ এবং $AC$ দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। বৃত্তের কেন্দ্র $ABC$ ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত। $AB = AC = 6$ সেমি. হলে, $BC$ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধান:

ধরি বৃত্তের কেন্দ্র $O$ এবং ব্যাসার্ধ $OA = OB = OC = 5\text{ cm}$।
যেহেতু $AB = AC = 6\text{ cm}$, তাই $OA$ হলো $BC$-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক যা $BC$-কে $D$ বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করে।
ধরি $OD = x$। যেহেতু কেন্দ্র ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত, তাই $AD = OA + OD = 5 + x$।
সমকোণী $\triangle ABD$-তে: $BD^2 = AB^2 - AD^2 = 6^2 - (5 + x)^2 = 36 - (25 + 10x + x^2) = 11 - 10x - x^2$
সমকোণী $\triangle OBD$-তে: $BD^2 = OB^2 - OD^2 = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$
উভয় সমীকরণ তুলনা করে পাই:
$25 - x^2 = 11 - 10x - x^2 \implies 10x = 11 - 25 = -14 \implies x = -1.4$ (চিহ্ন দূরত্ব নির্দেশ করে, অর্থাৎ $D$ বিন্দুটি $OA$-এর ওপর অবস্থিত এবং $AD = 5 - 1.4 = 3.6$ বা বিপরীতমুখী)।
অতএব $BD = \sqrt{25 - (1.4)^2} = \sqrt{25 - 1.96} = \sqrt{23.04} = 4.8\text{ cm}$।
অতএব $BC$ জ্যা-এর সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য $= 2 \times BD = 2 \times 4.8 = 9.6\text{ cm}$।

উত্তর: $BC$ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 9.6 সেমি.।

28. (iii) $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে $AB$ ও $CD$ জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। $\angle AOB = 60^\circ$ এবং $CD = 6$ সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।

সমাধান:

দেওয়া আছে $AB = CD = 6\text{ cm}$।
$\triangle AOB$-তে $OA = OB$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle OAB = \angle OBA$।
যেহেতু $\angle AOB = 60^\circ$, তাই:
$\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$।
যেহেতু ত্রিভুজটির তিনটি কোণই $60^\circ$, সুতরাং $\triangle AOB$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
অতএব ব্যাসার্ধ $OA = AB = 6\text{ cm}$।

উত্তর: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।

29. (iv) $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের ভিতর $P$ যে-কোনো একটি বিন্দু। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং $OP = 3$ সেমি. হলে, $P$ বিন্দুগামী যে জ্যাটির দৈর্ঘ্য ন্যূনতম তা নির্ণয় করি।

সমাধান:

আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে প্রদত্ত বিন্দুর সংযোগকারী রেখাংশের ওপর লম্ব জ্যা-টিই হলো ওই বিন্দুগামী ক্ষুদ্রতম জ্যা।
ধরি $P$ বিন্দুগামী ক্ষুদ্রতম জ্যাটি হলো $AB$, যেখানে $OP \perp AB$।
অতএব $P$ হলো $AB$-এর মধ্যবিন্দু।
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OPB$-তে:
$BP = \sqrt{OB^2 - OP^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ cm}$।
অতএব ক্ষুদ্রতম জ্যাটির দৈর্ঘ্য $= 2 \times BP = 2 \times 4 = 8\text{ cm}$।

উত্তর: ন্যূনতম জ্যাটির দৈর্ঘ্য 8 সেমি.।

30. (v) $P$ ও $Q$ কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। $A$ বিন্দু দিয়ে $PQ$-এর সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্তদুটিকে যথাক্রমে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। $PQ = 5$ সেমি. হলে, $CD$-এর দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।

সমাধান:

আমরা 11 নম্বর প্রশ্নে প্রমাণ করেছি যে, দুটি বৃত্তের কেন্দ্র $P$ ও $Q$ হলে এবং $A$ বিন্দুগামী সমান্তরাল রেখা বৃত্তদুটিকে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করলে:
$$CD = 2 PQ$$
দেওয়া আছে $PQ = 5\text{ cm}$।
অতএব $CD = 2 \times 5 = 10\text{ cm}$।

উত্তর: $CD$-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.।