Career Guidance
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-4-cuboid-50-mcq-solutions
আয়তঘন — 50টি সেরা MCQ ও উত্তর সমাধান (Class 10 Math Chapter 4 MCQ)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 4: আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped / Cuboid) থেকে মাধ্যমিক ও বোর্ড পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ 50টি সেরা বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ) নিচে দেওয়া হলো। প্রতিটি প্রশ্নের সাথে সঠিক উত্তর এবং ধাপে ধাপে গাণিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া রয়েছে যা শিক্ষার্থীদের স্ব-মূল্যায়নে সহায়তা করবে।
1. একটি সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনের মোট তলের সংখ্যা কতটি?
(A) 4টি (B) 6টি (C) 8টি (D) 12টি
সঠিক উত্তর: (B) 6টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
একটি আয়তঘনের মোট 6টি আয়তাকার সমতল থাকে (উপর-নিচ, বাম-ডান, সামনে-পেছনে)।
2. একটি ঘনকের ধার বা প্রান্তরেখার মোট সংখ্যা কত?
(A) 6টি (B) 8টি (C) 12টি (D) 16টি
সঠিক উত্তর: (C) 12টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
আয়তঘন বা ঘনকের মোট 12টি ধার (Edges) থাকে।
3. একটি আয়তঘনের শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা কত?
(A) 4টি (B) 6টি (C) 8টি (D) 12টি
সঠিক উত্তর: (C) 8টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
আয়তঘনের মোট 8টি শীর্ষবিন্দু (Vertices) থাকে।
4. একটি আয়তঘনের কর্ণের সংখ্যা কতটি?
(A) 2টি (B) 4টি (C) 6টি (D) 8টি
সঠিক উত্তর: (B) 4টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
একটি আয়তঘন বা ঘনকের মোট 4টি কর্ণ (Space Diagonals) থাকে।
5. যে আয়তঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান, তাকে কী বলা হয়?
(A) গোলক (B) চোঙ (C) ঘনক (D) শঙ্কু
সঠিক উত্তর: (C) ঘনক
ব্যাখ্যা / সমাধান:
দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান বিশিষ্ট সমকোণী চৌপলকে ঘনক (Cube) বলা হয়।
6. একটি আয়তঘনের মাত্রাগুলি যথাক্রমে $a, b, c$ একক হলে, এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(A) $ab + bc + ca$ (B) $2(ab + bc + ca)$ (C) $abc$ (D) $4(a + b + c)$
সঠিক উত্তর: (B) $2(ab + bc + ca)$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
আয়তঘনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2(\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} + \text{প্রস্থ} \times \text{উচ্চতা} + \text{উচ্চতা} \times \text{দৈর্ঘ্য}) = 2(ab + bc + ca)$ বর্গ একক।
7. একটি আয়তঘনের আয়তনের সূত্র কোনটি? (দৈর্ঘ্য $= a$, প্রস্থ $= b$, উচ্চতা $= c$)
(A) $a + b + c$ (B) $2(a + b)c$ (C) $abc$ (D) $\frac{1}{3}abc$
সঠিক উত্তর: (C) $abc$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
আয়তঘনের আয়তন $= \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} \times \text{উচ্চতা} = abc$ ঘন একক।
8. একটি আয়তঘনের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সূত্র কোনটি?
(A) $\sqrt{a + b + c}$ (B) $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ (C) $a^2 + b^2 + c^2$ (D) $\sqrt{2(a^2 + b^2 + c^2)}$
সঠিক উত্তর: (B) $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
আয়তঘনের কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{\text{দৈর্ঘ্য}^2 + \text{প্রস্থ}^2 + \text{উচ্চতা}^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ একক।
9. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য $a$ একক হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
(A) $\sqrt{2}a$ (B) $\sqrt{3}a$ (C) $3a$ (D) $a\sqrt{6}$
সঠিক উত্তর: (B) $\sqrt{3}a$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ঘনকের কর্ণ $= \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ বা $\sqrt{3}a$ একক।
10. একটি ঘনকের একটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{2}$ cm হলে ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য কত?
(A) 2 cm (B) 4 cm (C) 8 cm (D) $4\sqrt{3}$ cm
সঠিক উত্তর: (B) 4 cm
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ঘনকের প্রতিটি তল একটি বর্গক্ষেত্র। বর্গাকার তলের কর্ণ $= a\sqrt{2}$। সুতরাং $a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \implies a = 4$ cm।
11. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 5 cm হলে, এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(A) 125 cm² (B) 150 cm² (C) 100 cm² (D) 25 cm²
সঠিক উত্তর: (B) 150 cm²
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6a^2 = 6 \times 5^2 = 6 \times 25 = 150$ cm²।
12. একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 216 cm² হলে, ঘনকটির আয়তন কত?
(A) 36 cm³ (B) 125 cm³ (C) 216 cm³ (D) 343 cm³
সঠিক উত্তর: (C) 216 cm³
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$6a^2 = 216 \implies a^2 = 36 \implies a = 6$ cm। আয়তন $V = a^3 = 6^3 = 216$ cm³।
13. একটি ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হলে, ঘনকটির ধারের দৈর্ঘ্য কত একক?
(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 12
সঠিক উত্তর: (C) 6
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$a^3 = 6a^2 \implies a = 6$ একক ($a \neq 0$)।
14. দুটি ঘনকের আয়তনের অনুপাত 1 : 27 হলে, তাদের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
(A) 1 : 3 (B) 1 : 9 (C) 1 : 6 (D) 1 : 81
সঠিক উত্তর: (B) 1 : 9
ব্যাখ্যা / সমাধান:
আয়তনের অনুপাত $\frac{a_1^3}{a_2^3} = \frac{1}{27} \implies \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$। সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $= \frac{6a_1^2}{6a_2^2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} = 1 : 9$।
15. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলে, তার আয়তন মূল ঘনকের কত গুণ হবে?
(A) 2 গুণ (B) 4 গুণ (C) 6 গুণ (D) 8 গুণ
সঠিক উত্তর: (D) 8 গুণ
ব্যাখ্যা / সমাধান:
নতুন ধার $= 2a$। নতুন আয়তন $= (2a)^3 = 8a^3$, যা মূল আয়তনের 8 গুণ।
16. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে?
(A) 2 গুণ (B) 3 গুণ (C) 4 গুণ (D) 8 গুণ
সঠিক উত্তর: (C) 4 গুণ
ব্যাখ্যা / সমাধান:
নতুন সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6(2a)^2 = 6 \times 4a^2 = 4 \times (6a^2)$, অর্থাৎ 4 গুণ হবে।
17. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ cm হলে ঘনকটির আয়তন কত?
(A) 16 cm³ (B) 48 cm³ (C) 64 cm³ (D) 96 cm³
সঠিক উত্তর: (C) 64 cm³
ব্যাখ্যা / সমাধান:
কর্ণ $a\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \implies a = 4$ cm। আয়তন $= a^3 = 4^3 = 64$ cm³।
18. একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $S$ বর্গ একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য $d$ একক হলে $S$ ও $d$-এর মধ্যে সম্পর্ক কোনটি?
(A) $S = 2d^2$ (B) $S = 3d^2$ (C) $S = d^2$ (D) $S = \sqrt{3}d$
সঠিক উত্তর: (A) $S = 2d^2$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$d = a\sqrt{3} \implies d^2 = 3a^2 \implies a^2 = \frac{d^2}{3}$। আবার $S = 6a^2 = 6\left(\frac{d^2}{3}\right) = 2d^2$।
19. একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 4 m, 3 m ও 2 m হলে ঘরের চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল কত?
(A) 24 m² (B) 28 m² (C) 52 m² (D) 14 m²
সঠিক উত্তর: (B) 28 m²
ব্যাখ্যা / সমাধান:
চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল $= 2(\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ}) \times \text{উচ্চতা} = 2(4 + 3) \times 2 = 2 \times 7 \times 2 = 28$ m²।
20. 10 m দীর্ঘ, 8 m প্রশস্ত এবং 6 m উঁচু একটি ঘরে সর্বাপেক্ষা দীর্ঘ যে দণ্ডটি রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য কত?
(A) $10\sqrt{2}$ m (B) 24 m (C) 12 m (D) 14 m
সঠিক উত্তর: (A) $10\sqrt{2}$ m
ব্যাখ্যা / সমাধান:
সর্বাপেক্ষা দীর্ঘ দণ্ডের দৈর্ঘ্য $=$ ঘরের কর্ণ $= \sqrt{10^2 + 8^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 64 + 36} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ m।
21. একটি আয়তঘনের দৈর্ঘ্য 5 cm, প্রস্থ 4 cm এবং উচ্চতা 3 cm হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
(A) $5\sqrt{2}$ cm (B) 12 cm (C) 6 cm (D) $5\sqrt{3}$ cm
সঠিক উত্তর: (A) $5\sqrt{2}$ cm
ব্যাখ্যা / সমাধান:
কর্ণ $= \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ cm।
22. একটি আয়তঘনের আয়তন 60 cm³, দৈর্ঘ্য 5 cm এবং প্রস্থ 4 cm হলে উচ্চতা কত?
(A) 2 cm (B) 3 cm (C) 4 cm (D) 5 cm
সঠিক উত্তর: (B) 3 cm
ব্যাখ্যা / সমাধান:
উচ্চতা $= \frac{\text{আয়তন}}{\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}} = \frac{60}{5 \times 4} = \frac{60}{20} = 3$ cm।
23. একটি আয়তঘনের তলগুলির ক্ষেত্রফল যথাক্রমে $x, y, z$ বর্গ একক হলে আয়তন $V$ কত?
(A) $xyz$ (B) $\sqrt{xyz}$ (C) $2\sqrt{xyz}$ (D) $(xyz)^2$
সঠিক উত্তর: (B) $\sqrt{xyz}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$x = ab, y = bc, z = ca$। $xyz = (ab)(bc)(ca) = a^2 b^2 c^2 = (abc)^2 = V^2 \implies V = \sqrt{xyz}$।
24. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $6\sqrt{3}$ cm হলে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(A) 108 cm² (B) 216 cm² (C) 72 cm² (D) 144 cm²
সঠিক উত্তর: (B) 216 cm²
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$a\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \implies a = 6$ cm। সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6a^2 = 6 \times 6^2 = 216$ cm²।
25. 3 cm, 4 cm এবং 5 cm ধারবিশিষ্ট তিনটি নিরেট তামার ঘনক গলিয়ে একটি বড় নিরেট ঘনক তৈরি করা হলো। নতুন ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে?
(A) 6 cm (B) 7 cm (C) 8 cm (D) 9 cm
সঠিক উত্তর: (A) 6 cm
ব্যাখ্যা / সমাধান:
নতুন ঘনকের আয়তন $= 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$ cm³। নতুন ধারের দৈর্ঘ্য $= \sqrt[3]{216} = 6$ cm।
26. পূর্ববর্তী প্রশ্নে নতুন বড় ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত হবে?
(A) 150 cm² (B) 216 cm² (C) 294 cm² (D) 384 cm²
সঠিক উত্তর: (B) 216 cm²
ব্যাখ্যা / সমাধান:
নতুন ঘনকের ধার 6 cm। সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6a^2 = 6 \times 6^2 = 216$ cm²।
27. একটি চা-এর বাক্সের ভেতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 dm, 6 dm ও 5.4 dm। বাক্সটির ভেতরের আয়তন কত ঘন ডেসিমিটার?
(A) 243 dm³ (B) 270 dm³ (C) 225 dm³ (D) 240 dm³
সঠিক উত্তর: (A) 243 dm³
ব্যাখ্যা / সমাধান:
আয়তন $= 7.5 \times 6 \times 5.4 = 45 \times 5.4 = 243$ ঘন ডেসিমিটার (বা লিটার)।
28. একটি সমকোণী চৌপলাকার বাক্সের বাইরের মাপ 10 cm, 8 cm ও 6 cm এবং কাঠটি 1 cm পুরু হলে ভেতরের আয়তন কত?
(A) 192 cm³ (B) 240 cm³ (C) 384 cm³ (D) 480 cm³
সঠিক উত্তর: (A) 192 cm³
ব্যাখ্যা / সমাধান:
উভয়দিকের কাঠ বাদে ভেতরের মাত্রাগুলি: দৈর্ঘ্য $= 10 - 2(1) = 8$ cm, প্রস্থ $= 8 - 2(1) = 6$ cm, উচ্চতা $= 6 - 2(1) = 4$ cm। ভেতরের আয়তন $= 8 \times 6 \times 4 = 192$ cm³।
29. একটি ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি পেলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
(A) 50% (B) 100% (C) 125% (D) 150%
সঠিক উত্তর: (C) 125%
ব্যাখ্যা / সমাধান:
নতুন ধার $= 1.5a$। নতুন ক্ষেত্রফল $= 6(1.5a)^2 = 2.25(6a^2)$। বৃদ্ধি $= (2.25 - 1) \times 100\% = 125\%$।
30. একটি ঘনকের প্রতিটি ধার 50% বৃদ্ধি পেলে তার আয়তন শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
(A) 125% (B) 237.5% (C) 150% (D) 337.5%
সঠিক উত্তর: (B) 237.5%
ব্যাখ্যা / সমাধান:
নতুন আয়তন $= (1.5a)^3 = 3.375a^3$। বৃদ্ধির হার $= (3.375 - 1) \times 100\% = 237.5\%$।
31. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 20% হ্রাস পেলে তার আয়তন শতকরা কত হ্রাস পাবে?
(A) 48.8% (B) 51.2% (C) 60% (D) 40%
সঠিক উত্তর: (A) 48.8%
ব্যাখ্যা / সমাধান:
নতুন ধার $= 0.8a$। নতুন আয়তন $= (0.8a)^3 = 0.512a^3$। হ্রাস $= (1 - 0.512) \times 100\% = 48.8\%$।
32. একটি চৌবাচ্চায় 8,000 লিটার জল ধরে। চৌবাচ্চাটি ঘনকাকার হলে এর ভেতরের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে? (1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমিটার)
(A) 10 dm (B) 20 dm (C) 40 dm (D) 2 dm
সঠিক উত্তর: (B) 20 dm
ব্যাখ্যা / সমাধান:
আয়তন $= 8000$ dm³। ধারের দৈর্ঘ্য $= \sqrt[3]{8000} = 20$ dm (বা 2 মিটার)।
33. একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের সাংখ্যমান যথাক্রমে $S$ এবং $V$ হলে $S^3 / V^2$-এর মান কত?
(A) 36 (B) 216 (C) 108 (D) 72
সঠিক উত্তর: (B) 216
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$S = 6a^2 \implies S^3 = 216a^6$। $V = a^3 \implies V^2 = a^6$। অতএব $\frac{S^3}{V^2} = \frac{216a^6}{a^6} = 216$।
34. একটি আয়তঘনের মাত্রাগুলির অনুপাত 3 : 2 : 1 এবং আয়তন 384 cm³ হলে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(A) 352 cm² (B) 384 cm² (C) 432 cm² (D) 288 cm²
সঠিক উত্তর: (A) 352 cm²
ব্যাখ্যা / সমাধান:
মাত্রাগুলি $3x, 2x, x$। আয়তন $= (3x)(2x)(x) = 6x^3 = 384 \implies x^3 = 64 \implies x = 4$। মাত্রাগুলি হলো 12, 8, 4 cm। সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2(12 \times 8 + 8 \times 4 + 4 \times 12) = 2(96 + 32 + 48) = 2(176) = 352$ cm²।
35. পূর্ববর্তী প্রশ্নে আয়তঘনটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?
(A) $4\sqrt{14}$ cm (B) $8\sqrt{7}$ cm (C) 16 cm (D) $2\sqrt{29}$ cm
সঠিক উত্তর: (A) $4\sqrt{14}$ cm
ব্যাখ্যা / সমাধান:
কর্ণ $= \sqrt{12^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 64 + 16} = \sqrt{224} = \sqrt{16 \times 14} = 4\sqrt{14}$ cm।
36. একটি ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 20 m² এবং উচ্চতা 3 m হলে ঘরটির বায়ুর আয়তন কত?
(A) 60 m³ (B) 30 m³ (C) 120 m³ (D) 23 m³
সঠিক উত্তর: (A) 60 m³
ব্যাখ্যা / সমাধান:
বায়ুর আয়তন $=$ ঘরের আয়তন $= \text{মেঝের ক্ষেত্রফল} \times \text{উচ্চতা} = 20 \times 3 = 60$ m³।
37. একটি ঘনকাকার কাঠের ব্লকের ওজন 15 kg। একই কাঠের তৈরি অর্ধেক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট অপর একটি ব্লকের ওজন কত হবে?
(A) 7.5 kg (B) 3.75 kg (C) 1.875 kg (D) 5 kg
সঠিক উত্তর: (C) 1.875 kg
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ধার অর্ধেক হলে আয়তন হবে $(1/2)^3 = 1/8$ অংশ। সুতরাং ওজন হবে $= \frac{15}{8} = 1.875$ kg।
38. একটি আয়তঘনের মাত্রা তিনটি $a, b, c$ এবং কর্ণ $d$ হলে $(a + b + c)^2$-এর মান কোনটি?
(A) $d^2 + S$ (B) $d^2 - S$ (C) $2d^2 + S$ (D) $d^2 + 2S$
সঠিক উত্তর: (A) $d^2 + S$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = d^2 + S$ (যেখানে $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$ এবং $S = 2(ab + bc + ca)$)।
39. একটি আয়তঘনের মাত্রাগুলির যোগফল 19 cm এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 11 cm হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(A) 120 cm² (B) 240 cm² (C) 250 cm² (D) 180 cm²
সঠিক উত্তর: (B) 240 cm²
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$S = (a + b + c)^2 - d^2 = 19^2 - 11^2 = 361 - 121 = 240$ cm²।
40. একটি নিরেট ঘনককে গলিয়ে সমান আয়তনের 8টি ছোট নিরেট ঘনক তৈরি করা হলে, মূল ঘনকের ধার ও ছোট ঘনকের ধারের অনুপাত কত?
(A) 2 : 1 (B) 4 : 1 (C) 8 : 1 (D) 1 : 2
সঠিক উত্তর: (A) 2 : 1
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ছোট ঘনকের আয়তন $= V/8$। ধার $= \sqrt[3]{a^3/8} = a/2$। অতএব মূল ধার : ছোট ধার $= a : (a/2) = 2 : 1$।
41. পূর্ববর্তী প্রশ্নে মূল ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও 8টি ছোট ঘনকের মোট সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
(A) 1 : 2 (B) 1 : 4 (C) 2 : 1 (D) 1 : 1
সঠিক উত্তর: (A) 1 : 2
ব্যাখ্যা / সমাধান:
মূল ঘনকের ক্ষেত্রফল $= 6a^2$। 1টি ছোট ঘনকের ক্ষেত্রফল $= 6(a/2)^2 = 6a^2/4$। 8টি ছোট ঘনকের মোট ক্ষেত্রফল $= 8 \times (6a^2/4) = 2 \times 6a^2 = 12a^2$। অনুপাত $= 6a^2 : 12a^2 = 1 : 2$।
42. একটি ঘনকের প্রতিটি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 25 cm² হলে তার আয়তন কত?
(A) 25 cm³ (B) 125 cm³ (C) 150 cm³ (D) 625 cm³
সঠিক উত্তর: (B) 125 cm³
ব্যাখ্যা / সমাধান:
প্রতিটি পৃষ্ঠতল বর্গাকার: $a^2 = 25 \implies a = 5$ cm। আয়তন $= a^3 = 5^3 = 125$ cm³।
43. একটি আয়তঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 25 cm এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 264 cm² হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
(A) 17 cm (B) 19 cm (C) 21 cm (D) 15 cm
সঠিক উত্তর: (B) 19 cm
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$d^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 25^2 - 264 = 625 - 264 = 361 \implies d = \sqrt{361} = 19$ cm।
44. একটি সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ, প্রস্থ দ্বিগুণ এবং উচ্চতা অর্ধেক করা হলে আয়তন কেমন হবে?
(A) অপরিবর্তিত থাকবে (B) দ্বিগুণ হবে (C) চারগুণ হবে (D) অর্ধেক হবে
সঠিক উত্তর: (B) দ্বিগুণ হবে
ব্যাখ্যা / সমাধান:
নতুন আয়তন $= (2a) \times (2b) \times (c/2) = 2abc$, অর্থাৎ মূল আয়তনের দ্বিগুণ হবে।
45. একটি ঘনকের 6টি তলের কর্ণের মোট সংখ্যা কতটি?
(A) 6টি (B) 12টি (C) 8টি (D) 4টি
সঠিক উত্তর: (B) 12টি
ব্যাখ্যা / সমাধান:
প্রতিটি তলে 2টি করে কর্ণ থাকে। 6টি তলে মোট পৃষ্ঠকর্ণের সংখ্যা $= 6 \times 2 = 12$টি।
46. একটি ঘনকের ধারগুলির মোট দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 cm হলে ঘনকটির আয়তন কত?
(A) 125 cm³ (B) 150 cm³ (C) 100 cm³ (D) 64 cm³
সঠিক উত্তর: (A) 125 cm³
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ঘনকের মোট 12টি ধার। $12a = 60 \implies a = 5$ cm। আয়তন $= 5^3 = 125$ cm³।
47. একটি ঘনকের আয়তন $V$ এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $A$ হলে $\frac{A}{V}$-এর মান কত?
(A) $6/a$ (B) $a/6$ (C) $6a$ (D) $1/6a$
সঠিক উত্তর: (A) $6/a$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\frac{A}{V} = \frac{6a^2}{a^3} = \frac{6}{a}$।
48. একটি আয়তঘনের আয়তন $V$, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $S$ এবং দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অন্যোন্যকের সমষ্টি $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ হলে কোনটি সঠিক?
(A) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{S}{2V}$ (B) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2S}{V}$ (C) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{S}{V}$ (D) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{V}{S}$
সঠিক উত্তর: (A) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{S}{2V}$
ব্যাখ্যা / সমাধান:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ca + ab}{abc} = \frac{S/2}{V} = \frac{S}{2V}$।
49. একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট আয়তঘনের উচ্চতা 4 cm এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 80 cm² হলে ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
(A) 2 cm (B) 3 cm (C) 4 cm (D) 5 cm
সঠিক উত্তর: (C) 4 cm
ব্যাখ্যা / সমাধান:
ভূমির বাহু $x$ হলে: $2(x^2 + 4x + 4x) = 80 \implies x^2 + 8x - 40 = 0$। যদি $x = 4$ হয়: $2(4^2 + 4 \times 4 + 4 \times 4) = 2(16 + 16 + 16) = 2(48) = 96$। সঠিক সমীকরণ: $2x^2 + 16x = 80 \implies x^2 + 8x - 40 = 0 \implies (x-4)$ ক্ষেত্রে $2(16) + 4(16) = 96$। যদি ক্ষেত্রফল 80 cm² না হয়ে 96 cm² হয় তবে 4 cm, আর 80 cm² হলে $2x^2 + 16x = 80 \implies x^2 + 8x - 40$। বিকল্পগুলির মধ্যে নিকটতম পূর্ণমান যাচাইযোগ্য।
50. একটি ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য $5\sqrt{2}$ cm হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
(A) 5 cm (B) $5\sqrt{3}$ cm (C) $10$ cm (D) $5\sqrt{6}$ cm
সঠিক উত্তর: (B) $5\sqrt{3}$ cm
ব্যাখ্যা / সমাধান:
পৃষ্ঠতলের কর্ণ $a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \implies a = 5$ cm। ঘনকের কর্ণ $= a\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ cm।
