পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 4: আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped / Cuboid)-এর অনুশীলনী কষে দেখি 4 এর প্রতিটি প্রশ্নের (প্রশ্ন 1 থেকে 20) পুঙ্খানুপুঙ্খ ধাপে ধাপে গাণিতিক সমাধান নিচে প্রদান করা হলো।
আয়তঘন ও ঘনকের মৌলিক সূত্রাবলি
1. আয়তঘনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $2(ab + bc + ca)$ বর্গএকক | আয়তন = $abc$ ঘনএকক
2. আয়তঘনের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ একক | চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = $2(a + b)c$ বর্গএকক
3. ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $6a^2$ বর্গএকক | ঘনকের আয়তন = $a^3$ ঘনএকক
4. ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $a\sqrt{3}$ একক | অয়লারের সূত্র: শীর্ষবিন্দু ($V$) - ধার ($E$) + তল ($F$) = 2 ($8 - 12 + 6 = 2$)।
প্রশ্ন 1 — আমাদের পরিবেশের 4টি আয়তঘনাকার ও 4টি ঘনকাকার বস্তুর নাম লিখি এবং তাদের তল, ধার ও শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা উল্লেখ করি।
প্রদত্ত:
বাস্তব পরিবেশের পরিচিত ঘনবস্তুসমূহ।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
(i) 4টি আয়তঘনাকার (সমকোণী চৌপল) বস্তু:
1. পাঠ্যবই বা খাতা
2. ইট
3. জ্যামিতি বাক্স বা দেশলাই বাক্স
4. আমাদের শ্রেণিকক্ষ বা আলমারি।
(ii) 4টি ঘনকাকার বস্তু:
1. লুডোর ছক্কা
2. রুবিকস কিউব (Rubik's Cube)
3. ঘনকাকার চিনির বা বরফের টুকরো (Ice Cube)
4. ঘনকাকার উপহারের বাক্স (Cube Gift Box)।
তল, ধার ও শীর্ষবিন্দুর বৈশিষ্ট্য:
প্রতিটি আয়তঘন ও ঘনকের ক্ষেত্রে:
• তল সংখ্যা (Faces, $F$) = $6$টি
• ধার বা প্রান্তিকীর সংখ্যা (Edges, $E$) = $12$টি
• শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা (Vertices, $V$) = $8$টি
• কর্ণের সংখ্যা (Diagonals) = $4$টি।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
আয়তঘন ও ঘনক উভয়েরই তল সংখ্যা = 6, ধার সংখ্যা = 12, শীর্ষবিন্দু = 8 এবং কর্ণ = 4টি।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
আয়তঘনের প্রতিটি তল আয়তক্ষেত্রাকার এবং ঘনকের প্রতিটি তল সর্বসম বর্গক্ষেত্রাকার।
প্রশ্ন 2 — একটি সমকোণী চৌপলাকার বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 12 cm, 9 cm ও 8 cm হলে, ওই বাক্সে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ডটি রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য হিসাব করি।
প্রদত্ত:
বাক্সের দৈর্ঘ্য ($a$) = $12\text{ cm}$
প্রস্থ ($b$) = $9\text{ cm}$
উচ্চতা ($c$) = $8\text{ cm}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
সমকোণী চৌপলাকার বাক্সে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে, তার দৈর্ঘ্য হবে বাক্সটির কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান।
আয়তঘনের কর্ণের দৈর্ঘ্য:
$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
$= \sqrt{12^2 + 9^2 + 8^2}$
$= \sqrt{144 + 81 + 64}$
$= \sqrt{289} = 17\text{ cm}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
ওই বাক্সে সবচেয়ে লম্বা $17\text{ cm}$ দৈর্ঘ্যের দণ্ড রাখা যাবে।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
কোনো ঘরে বা বাক্সে সর্বাপেক্ষা দীর্ঘ যে লাঠি বা রড রাখা যায়, তা সর্বদা তার কর্ণের সমান হয়।
প্রশ্ন 3 — একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গমিটার হলে, ঘনকটির আয়তন কত হিসাব করি।
প্রদত্ত:
ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল = $64\text{ বর্গমিটার}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
ধরি, ঘনকটির প্রতিটি ধারের (বাহুর) দৈর্ঘ্য = $a\text{ মিটার}$।
যেহেতু ঘনকের প্রতিটি তল একটি বর্গক্ষেত্র, তাই তলের ক্ষেত্রফল = $a^2$।
$\therefore a^2 = 64 \implies a = \sqrt{64} = 8\text{ মিটার}$।
ঘনকটির আয়তন (ঘনফল):
$V = a^3 = 8^3 = 8 \times 8 \times 8 = 512\text{ ঘনমিটার}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
ঘনকটির আয়তন $512\text{ ঘনমিটার}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে $6a^2 = 6 \times 64 = 384\text{ বর্গমিটার}$।
প্রশ্ন 4 — একটি সমকোণী চৌপলের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 198 বর্গসেমি এবং দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3:2:1 হলে, চৌপলটির আয়তন নির্ণয় করি।
প্রদত্ত:
দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত = $3 : 2 : 1$।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $198\text{ বর্গসেমি}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
ধরি, আনুপাতিক ধ্রুবক $x$ ($x > 0$)।
$\therefore$ দৈর্ঘ্য ($a$) = $3x\text{ cm}$, প্রস্থ ($b$) = $2x\text{ cm}$, উচ্চতা ($c$) = $x\text{ cm}$।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সূত্রানুসারে:
$2(ab + bc + ca) = 198$
$\implies 2[(3x)(2x) + (2x)(x) + (x)(3x)] = 198$
$\implies 2[6x^2 + 2x^2 + 3x^2] = 198$
$\implies 2 \times 11x^2 = 198$
$\implies 22x^2 = 198 \implies x^2 = \frac{198}{22} = 9 \implies x = 3$।
সুতরাং মাত্রাগুলি হলো:
দৈর্ঘ্য = $3 \times 3 = 9\text{ cm}$
প্রস্থ = $2 \times 3 = 6\text{ cm}$
উচ্চতা = $1 \times 3 = 3\text{ cm}$।
চৌপলটির আয়তন:
$V = a \times b \times c = 9 \times 6 \times 3 = 162\text{ ঘনসেমি}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
চৌপলটির আয়তন $162\text{ ঘনসেমি}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল থেকে $x$-এর মান বের করার পর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা পৃথকভাবে বের করে গুণ করতে হবে।
প্রশ্ন 5 — একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি, 6 ডেসিমি এবং 5.4 ডেসিমি। চা ভর্তি বাক্সের ওজন 52 কেজি 350 গ্রাম এবং খালি বাক্সের ওজন 3.75 কেজি হলে, প্রতি ঘন ডেসিমিটার চা-এর ওজন কত?
প্রদত্ত:
ভিতরের দৈর্ঘ্য ($a$) = $7.5\text{ ডেসিমি}$
প্রস্থ ($b$) = $6\text{ ডেসিমি}$
উচ্চতা ($c$) = $5.4\text{ ডেসিমি}$।
চা ভর্তি বাক্সের ওজন = $52\text{ কেজি } 350\text{ গ্রাম} = 52.35\text{ কেজি}$।
খালি বাক্সের ওজন = $3.75\text{ কেজি}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
বাক্সটিতে শুধুমাত্র চা-এর নিট ওজন:
$= 52.35 - 3.75 = 48.6\text{ কেজি} = 48,600\text{ গ্রাম}$।
বাক্সটির ভিতরের আয়তন:
$V = 7.5 \times 6 \times 5.4$
$= 45 \times 5.4 = 243\text{ ঘন ডেসিমিটার}$।
প্রতি ঘন ডেসিমিটার চা-এর ওজন:
$= \frac{\text{চা-এর মোট ওজন}}{\text{মোট আয়তন}}$
$= \frac{48.6\text{ কেজি}}{243} = 0.2\text{ কেজি} = 200\text{ গ্রাম}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
প্রতি ঘন ডেসিমিটার চা-এর ওজন $0.2\text{ কেজি}$ বা $200\text{ গ্রাম}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
কিলোগ্রাম ও গ্রামের দশমিক রূপান্তর খেয়াল রাখতে হবে: $52\text{ কেজি } 350\text{ গ্রাম} = 52.35\text{ কেজি}$।
প্রশ্ন 6 — একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}\text{ cm}$ হলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
প্রদত্ত:
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $4\sqrt{3}\text{ cm}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = $a\text{ cm}$।
আমরা জানি, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $a\sqrt{3}$।
শর্তানুসারে:
$a\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \implies a = 4\text{ cm}$।
ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল:
$= 6a^2 = 6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96\text{ বর্গসেমি}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $96\text{ বর্গসেমি}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
ঘনকের কর্ণ $a\sqrt{3}$ এবং আয়তন $a^3 = 4^3 = 64\text{ ঘনসেমি}$।
প্রশ্ন 7 — একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 216 বর্গমিটার হলে, ঘনকটির আয়তন কত হিসাব করি।
প্রদত্ত:
ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $216\text{ বর্গমিটার}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
ধরি, ঘনকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a\text{ মিটার}$।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $6a^2$।
$\therefore 6a^2 = 216 \implies a^2 = \frac{216}{6} = 36$
$\implies a = \sqrt{36} = 6\text{ মিটার}$।
ঘনকটির আয়তন:
$V = a^3 = 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216\text{ ঘনমিটার}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
ঘনকটির আয়তন $216\text{ ঘনমিটার}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
এখানে সংখ্যাগতভাবে ক্ষেত্রফল ও আয়তন একই (216), কিন্তু তাদের একক যথাক্রমে বর্গমিটার ও ঘনমিটার।
প্রশ্ন 8 — একটি সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 4:3:2 এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 468 বর্গসেমি হলে, চৌপলটির আয়তন কত?
প্রদত্ত:
দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত = $4 : 3 : 2$।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $468\text{ বর্গসেমি}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
ধরি, সাধারণ অনুপাত $x$ ($x > 0$)।
দৈর্ঘ্য = $4x$, প্রস্থ = $3x$, উচ্চতা = $2x$।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল:
$2[(4x)(3x) + (3x)(2x) + (2x)(4x)] = 468$
$\implies 2[12x^2 + 6x^2 + 8x^2] = 468$
$\implies 2 \times 26x^2 = 468$
$\implies 52x^2 = 468 \implies x^2 = \frac{468}{52} = 9 \implies x = 3$।
মাত্রাগুলি হলো:
দৈর্ঘ্য = $4 \times 3 = 12\text{ cm}$
প্রস্থ = $3 \times 3 = 9\text{ cm}$
উচ্চতা = $2 \times 3 = 6\text{ cm}$।
চৌপলটির আয়তন:
$V = 12 \times 9 \times 6 = 648\text{ ঘনসেমি}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
চৌপলটির আয়তন $648\text{ ঘনসেমি}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
$52 \times 9 = 468$, তাই $x^2 = 9 \implies x = 3$ অতি দ্রুত বের করা যায়।
প্রশ্ন 9 — একটি সমকোণী চৌপলাকার ব্লকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 21 cm, 11 cm ও 6 cm। ব্লকটি গলিয়ে 3 cm বাহুবিশিষ্ট কতগুলি ঘনক তৈরি করা যাবে?
প্রদত্ত:
আয়তঘনাকার ব্লকের দৈর্ঘ্য = $21\text{ cm}$, প্রস্থ = $11\text{ cm}$, উচ্চতা = $6\text{ cm}$।
নতুন ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $3\text{ cm}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
আয়তঘনাকার ব্লকের আয়তন:
$V_1 = 21 \times 11 \times 6 = 1,386\text{ ঘনসেমি}$।
প্রতিটি নতুন ঘনকের আয়তন:
$V_2 = 3^3 = 27\text{ ঘনসেমি}$।
ঘনক তৈরি করা যাবে:
$n = \frac{V_1}{V_2} = \frac{21 \times 11 \times 6}{27}$
$= \frac{7 \times 11 \times 2}{1} = 77 \times 2 = 154$টি ফাঁপা ছাড়া নিরেট পূর্ণাঙ্গ ঘনক তৈরি সম্ভব (যদি কোনো ধাতু অপচয় না হয়)।
অথবা সরাসরি কাটার ক্ষেত্রে:
দৈর্ঘ্য বরাবর $21 \div 3 = 7$টি
প্রস্থ বরাবর $11 \div 3 = 3$টি (বাকি $2\text{ cm}$ বাদ)
উচ্চতা বরাবর $6 \div 3 = 2$টি
$\therefore$ কাটার ক্ষেত্রে $7 \times 3 \times 2 = 42$টি কিন্তু প্রশ্নে "গলিয়ে" বলা হয়েছে, সুতরাং সম্পূর্ণ ধাতুর আয়তন রূপান্তর হবে:
$n = \frac{1386}{27} = 51.33$ অর্থাৎ পূর্ণাঙ্গ ঘনক হবে $51$টি।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
সম্পূর্ণ ঘনক তৈরি করা যাবে $51$টি (ধাতুর নিরিখে $51$টি পূর্ণ ঘনক এবং কিছু ধাতু অবশিষ্ট থাকবে)।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
গলিয়ে তৈরি করার সময় মোট আয়তনকে একটি ঘনকের আয়তন দিয়ে ভাগ করতে হয়।
প্রশ্ন 10 — একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমালে, মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের আয়তনের অনুপাত কী হবে?
প্রদত্ত:
ধরি, মূল ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।
মূল আয়তন $V_1 = a^3$ ঘনএকক।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
পরিবর্তিত ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য:
$a' = a - 50\% \text{ of } a = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ একক।
পরিবর্তিত ঘনকের আয়তন:
$V_2 = (a')^3 = \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{a^3}{8} = \frac{V_1}{8}$।
মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের আয়তনের অনুপাত:
$V_1 : V_2 = a^3 : \frac{a^3}{8} = 1 : \frac{1}{8} = 8 : 1$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের আয়তনের অনুপাত $8 : 1$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
যদি পরিবর্তিত ও মূল ঘনকের অনুপাত চায়, তবে তা হবে $1:8$।
প্রশ্ন 11 — একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের ভিতরের পরিমাপ 4.4 m, 3.3 m এবং 2.4 m। 11 cm, 8 cm এবং 6 cm মাপের কতগুলি ইট এই বাক্সে রাখা যাবে?
প্রদত্ত:
বাক্সের ভিতরের মাপ:
দৈর্ঘ্য ($A$) = $4.4\text{ m} = 440\text{ cm}$
প্রস্থ ($B$) = $3.3\text{ m} = 330\text{ cm}$
উচ্চতা ($C$) = $2.4\text{ m} = 240\text{ cm}$।
একটি ইটের মাপ:
দৈর্ঘ্য ($a$) = $11\text{ cm}$, প্রস্থ ($b$) = $8\text{ cm}$, উচ্চতা ($c$) = $6\text{ cm}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
বাক্সের ভিতরের মোট আয়তন:
$V = 440 \times 330 \times 240\text{ ঘনসেমি}$।
একটি ইটের আয়তন:
$v = 11 \times 8 \times 6\text{ ঘনসেমি}$।
ইটের সংখ্যা ($N$):
$N = \frac{V}{v} = \frac{440 \times 330 \times 240}{11 \times 8 \times 6}$
$= \left(\frac{440}{11}\right) \times \left(\frac{330}{8}\right) \text{ ...}$
সরাসরি কাটাকুটি করে পাই:
$= 40 \times 330 \times 5 = 200 \times 330 = 66,000$টি (যখন $240 \div (8 \times 6)$ ইত্যাদি পূর্ণ বিভাজ্য)।
যাচাই: $\frac{440}{11} = 40$, $\frac{240}{6} = 40$, $\frac{330}{8}$ পূর্ণ না হলে মোট আয়তনের ধারণক্ষমতায় $66,000$টি পর্যন্ত ধারণ সম্ভব।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
ওই বাক্সে মোট $66,000$টি ইট রাখা যাবে।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
মিটারকে সেন্টিমিটারে নিয়ে গিয়ে উৎপাদক বিভাজন করলে গণনা অতি সহজ হয়।
প্রশ্ন 12 — একটি সমকোণী চৌপলের মাত্রাগুলি $a, b, c$ এবং আয়তন $V$ এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $S$ হলে প্রমাণ করো $\frac{1}{V} = \frac{2}{S}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$।
প্রদত্ত:
সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা = $a, b, c$।
আয়তন $V = abc$
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $S = 2(ab + bc + ca)$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
ডানপক্ষ (R.H.S.) নিয়ে পাই:
$\text{R.H.S.} = \frac{2}{S}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$
$= \frac{2}{2(ab + bc + ca)} \left(\frac{bc + ca + ab}{abc}\right)$
$= \frac{1}{ab + bc + ca} \times \frac{ab + bc + ca}{abc}$
$= \frac{1}{abc}$
$= \frac{1}{V} = \text{L.H.S.}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
$\frac{1}{V} = \frac{2}{S}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$ [প্রমাণিত]
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
এটি মাধ্যমিকের 3 নম্বরের অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ও নিয়মিত আসা প্রমাণ।
প্রশ্ন 13 — একটি ঘনকাকার কাঠের ব্লকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 21 সেমি। এই ব্লক থেকে সবচেয়ে বড় যে নিরেট গোলক কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন কত?
প্রদত্ত:
ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য ($a$) = $21\text{ cm}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
ঘনক থেকে কেটে নেওয়া বৃহত্তম গোলকের ব্যাস হবে ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্যের সমান।
$\therefore$ গোলকের ব্যাস ($2R$) = $21\text{ cm} \implies$ ব্যাসার্ধ ($R$) = $\frac{21}{2} = 10.5\text{ cm}$।
গোলকটির আয়তন:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{21}{2}\right)^3$
$= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}$
$= 11 \times 21 \times 21 = 11 \times 441 = 4,851\text{ ঘনসেমি}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
কেটে নেওয়া বৃহত্তম গোলকের আয়তন $4,851\text{ ঘনসেমি}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
ঘনকের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত বৃহত্তম গোলকের ব্যাস = ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য।
প্রশ্ন 14 — চাঁদমণি গ্রামের রাস্তাটি উঁচু করার জন্য রাস্তার দুপাশে 30টি সমান মাপের গর্ত খুঁড়ে মাটি তোলা হলো। প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য 14 m এবং প্রস্থ 8 m। যদি মোট তোলা মাটির পরিমাণ 2520 ঘনমিটার হয়, তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা হিসাব করি।
প্রদত্ত:
গর্তের সংখ্যা = $30$টি।
প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য = $14\text{ m}$
প্রস্থ = $8\text{ m}$।
মোট তোলা মাটির আয়তন = $2,520\text{ ঘনমিটার}$।
ধরি, প্রতিটি গর্তের গভীরতা = $h\text{ মিটার}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
1টি গর্তের আয়তন = $14 \times 8 \times h = 112h\text{ ঘনমিটার}$।
30টি গর্তের মোট আয়তন = $30 \times 112h = 3,360h\text{ ঘনমিটার}$।
শর্তানুসারে:
$3,360h = 2520$
$\implies h = \frac{2520}{3360} = \frac{252}{336} = \frac{3}{4} = 0.75\text{ মিটার}$।
ডেসিমিটারে প্রকাশ করলে:
$h = 0.75 \times 10 = 7.5\text{ ডেসিমিটার}$ (বা $75\text{ সেমি}$)।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
প্রতিটি গর্তের গভীরতা $0.75\text{ মিটার}$ বা $7.5\text{ ডেসিমিটার}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
প্রথমে একটি গর্তের তোলা মাটির পরিমাণ বের করেও সমাধান করা যায়: $2520 \div 30 = 84$ ঘনমিটার, তারপর $84 \div (14 \times 8) = 0.75$ মিটার।
প্রশ্ন 15 — ঘনকাকার একটি জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চার 1/3 অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 m হলে প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে?
প্রদত্ত:
চৌবাচ্চার ধারের দৈর্ঘ্য ($a$) = $1.2\text{ m} = 12\text{ ডেসিমিটার}$।
তোলা জলের পরিমাণ = 64 বালতি।
অবশিষ্ট জল = চৌবাচ্চার $\frac{1}{3}$ অংশ।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
চৌবাচ্চাটির মোট ধারণক্ষমতা (আয়তন):
$V = a^3 = 12^3 = 1,728\text{ ঘন ডেসিমিটার} = 1,728\text{ লিটার}$।
তোলা জলের ভগ্নাংশ অংশ:
$= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ অংশ।
তোলা জলের মোট পরিমাণ:
$= \frac{2}{3} \times 1728 = 2 \times 576 = 1,152\text{ লিটার}$।
প্রতিটি বালতিতে জল ধরে:
$= \frac{1152}{64} = 18\text{ লিটার}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
প্রতিটি বালতিতে $18\text{ লিটার}$ জল ধরে।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
$1\text{ ঘন ডেসিমিটার} = 1\text{ লিটার}$ সূত্রটি সরাসরি প্রয়োগ করতে মিটারকে আগেই ডেসিমিটারে রূপান্তর করা সবচেয়ে সহজ।
প্রশ্ন 16 — 2.1 m দীর্ঘ, 1.5 m প্রশস্ত একটি সমকোণী চৌপলাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলতল কতটা উপরে উঠবে?
প্রদত্ত:
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ($a$) = $2.1\text{ m} = 21\text{ ডেসিমিটার}$।
প্রস্থ ($b$) = $1.5\text{ m} = 15\text{ ডেসিমিটার}$।
ঢালা জলের আয়তন = $630\text{ লিটার} = 630\text{ ঘন ডেসিমিটার}$।
ধরি, জলতল $h\text{ ডেসিমিটার}$ উপরে উঠবে।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
উত্থিত জলের আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল $\times$ উত্থিত উচ্চতা
$= a \times b \times h$
$= 21 \times 15 \times h = 315h\text{ ঘন ডেসিমিটার}$।
শর্তানুসারে:
$315h = 630$
$\implies h = \frac{630}{315} = 2\text{ ডেসিমিটার}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
জলতল $2\text{ ডেসিমিটার}$ (বা $20\text{ সেমি}$) উপরে উঠবে।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
পূর্বে কতটা জল ছিল তা প্রভাব ফেলে না, নতুন যোগ করা জল যে উচ্চতা সৃষ্টি করবে তা সরাসরি ভূমির ক্ষেত্রফলের ওপর নির্ভরশীল।
প্রশ্ন 17 — 48 m লম্বা এবং 31.5 m চওড়া একখণ্ড নিচু জমিকে 6.5 ডেসিমিটার উঁচু করার জন্য পাশের 27 m লম্বা এবং 18.2 m চওড়া জমি থেকে মাটি তোলা হলো। মাটি তোলার গর্তটির গভীরতা কত হিসাব করি।
প্রদত্ত:
নিচু জমির পরিমাপ:
দৈর্ঘ্য = $48\text{ m}$, প্রস্থ = $31.5\text{ m}$, উঁচু করতে হবে = $6.5\text{ ডেসিমিটার} = 0.65\text{ m}$।
গর্তের পরিমাপ:
দৈর্ঘ্য = $27\text{ m}$, প্রস্থ = $18.2\text{ m}$।
ধরি, গর্তের গভীরতা = $h\text{ m}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
প্রয়োজনীয় মাটির আয়তন:
$V_1 = 48 \times 31.5 \times 0.65\text{ ঘনমিটার}$।
গর্ত থেকে তোলা মাটির আয়তন:
$V_2 = 27 \times 18.2 \times h\text{ ঘনমিটার}$।
যেহেতু $V_1 = V_2$:
$27 \times 18.2 \times h = 48 \times 31.5 \times 0.65$
$\implies h = \frac{48 \times 31.5 \times 0.65}{27 \times 18.2}$
$= \frac{982.8}{491.4} = 2\text{ মিটার}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
মাটি তোলার গর্তটির গভীরতা $2\text{ মিটার}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
$491.4 \times 2 = 982.8$ হওয়ায় হিসাবটি সম্পূর্ণ নির্ভুল ও পূর্ণসংখ্যার মান দেয়।
প্রশ্ন 18 (SAQ সংকলন) — (i) একটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
প্রদত্ত:
ধরি, মূল বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$। মূল ক্ষেত্রফল $S_1 = 6a^2$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
নতুন বাহু $a' = a + 50\% \text{ of } a = 1.5a = \frac{3a}{2}$।
নতুন ক্ষেত্রফল $S_2 = 6(a')^2 = 6 \left(\frac{3a}{2}\right)^2 = 6 \times \frac{9a^2}{4} = \frac{9}{4} (6a^2) = \frac{9}{4}S_1$।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি:
$\Delta S = \frac{9}{4}S_1 - S_1 = \frac{5}{4}S_1$।
শতকরা বৃদ্ধি:
$= \frac{\frac{5}{4}S_1}{S_1} \times 100\% = \frac{500}{4}\% = 125\%$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $125\%$ বৃদ্ধি পাবে।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
ক্ষেত্রফল সর্বদা বাহুর বর্গের সমানুপাতিক ($S \propto a^2$)।
প্রশ্ন 19 (SAQ সংকলন) — (ii) তিনটি নিরেট ঘনক যাদের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 cm, 4 cm ও 5 cm, গলিয়ে একটি নতুন নিরেট ঘনক তৈরি করা হলে নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
প্রদত্ত:
তিনটি ছোট ঘনকের বাহু যথাক্রমে $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ ও $5\text{ cm}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
তিনটি ঘনকের মোট আয়তন:
$V = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216\text{ ঘনসেমি}$।
ধরি নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = $A\text{ cm}$।
$\therefore A^3 = 216 \implies A = \sqrt[3]{216} = 6\text{ cm}$।
নতুন ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল:
$= 6A^2 = 6 \times 6^2 = 6 \times 36 = 216\text{ বর্গসেমি}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য $6\text{ cm}$ এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $216\text{ বর্গসেমি}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
$3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3 = 216$ হলো একটি বিখ্যাত পাইথাগোরিয়ান/প্লাটোনিক ঘনক সম্পর্ক।
প্রশ্ন 20 (MCQ সংকলন) — কষে দেখি 4-এর বহুবিকল্পীয় প্রশ্নাবলি (MCQ 1 to 5) সমাধানসহ।
প্রদত্ত:
পাঠ্যবইয়ের বহুবিকল্পীয় প্রশ্নাবলি।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
(i) একটি সমকোণী চৌপলের মাত্রাগুলি $a, b, c$ হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য:
$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ একক।
(ii) একটি ঘনকের বাহু দ্বিগুণ করলে আয়তন কত গুণ হবে:
$(2a)^3 = 8a^3 \implies 8$ গুণ হবে।
(iii) দুটি ঘনকের আয়তনের অনুপাত 1:27 হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত:
বাহুর অনুপাত $= \sqrt[3]{1} : \sqrt[3]{27} = 1 : 3$।
ক্ষেত্রফলের অনুপাত $= 1^2 : 3^2 = 1 : 9$।
(iv) একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $s$ এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য $d$ হলে:
$s = 6a^2$ এবং $d = a\sqrt{3} \implies d^2 = 3a^2 \implies 2d^2 = 6a^2 = s \implies s = 2d^2$।
(v) একটি আয়তঘনের তল সংখ্যা $x$, ধার সংখ্যা $y$, শীর্ষবিন্দু $z$ এবং কর্ণ $p$ হলে $x - y + z + p$-এর মান:
$x = 6, y = 12, z = 8, p = 4$
$6 - 12 + 8 + 4 = 6$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
MCQ সমাধানমালা: (i) $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ | (ii) 8 গুণ | (iii) 1:9 | (iv) $s = 2d^2$ | (v) 6।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
অয়লারের সূত্রে $x - y + z = 2$ হয়, তার সাথে 4টি কর্ণ যোগ হয়ে $2 + 4 = 6$ হয়।
