examuttoron.com | EXAM UTTORON

Link: https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-5-ratio-and-proportion-50-mcq-solutions

অনুপাত ও সমানুপাত — 50টি সেরা MCQ ও উত্তর সমাধান (Class 10 Math Chapter 5 MCQ)

EXAM UTTORON examuttoron.com

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 5: অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion) থেকে মাধ্যমিক ও বোর্ড পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ 50টি সেরা বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ) নিচে দেওয়া হলো। প্রতিটি প্রশ্নের সাথে সঠিক উত্তর এবং ধাপে ধাপে গাণিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া রয়েছে যা শিক্ষার্থীদের স্ব-মূল্যায়নে সহায়তা করবে।

1. একটি অনুপাতের পূর্বপদ ও উত্তরপদ পরস্পর সমান হলে, সেই অনুপাতটিকে কী বলা হয়?

(A) গুরু অনুপাত    (B) লঘু অনুপাত    (C) সাম্যানুপাত (Ratio of Equality)    (D) ব্যস্ত অনুপাত

সঠিক উত্তর: (C) সাম্যানুপাত (Ratio of Equality)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

যদি কোনো অনুপাতের পূর্বপদ ও উত্তরপদ সমান হয় (যেমন $1:1$ বা $a:a$), তবে তাকে সাম্যানুপাত বলা হয়।

2. একটি অনুপাতের পূর্বপদ উত্তরপদ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে ($a > b$), সেই অনুপাতটিকে কী বলা হয়?

(A) লঘু অনুপাত    (B) গুরু অনুপাত (Ratio of Greater Inequality)    (C) সাম্যানুপাত    (D) মিশ্র অনুপাত

সঠিক উত্তর: (B) গুরু অনুপাত (Ratio of Greater Inequality)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

যে অনুপাতে পূর্বপদ $>$ উত্তরপদ (যেমন $5:3$), তাকে গুরু অনুপাত বলা হয়।

3. একটি অনুপাতের পূর্বপদ উত্তরপদ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হলে ($a < b$), সেই অনুপাতটিকে কী বলা হয়?

(A) গুরু অনুপাত    (B) লঘু অনুপাত (Ratio of Less Inequality)    (C) ব্যস্ত অনুপাত    (D) দ্বিগুণানুপাত

সঠিক উত্তর: (B) লঘু অনুপাত (Ratio of Less Inequality)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

যে অনুপাতে পূর্বপদ $<$ উত্তরপদ (যেমন $2:7$), তাকে লঘু অনুপাত বলা হয়।

4. $3:5$-এর ব্যস্ত অনুপাত (Inverse Ratio) কোনটি?

(A) $5:3$    (B) $9:25$    (C) $\sqrt{3}:\sqrt{5}$    (D) $6:10$

সঠিক উত্তর: (A) $5:3$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

যেকোনো অনুপাত $a:b$-এর ব্যস্ত অনুপাত হলো $b:a$। সুতরাং $3:5$-এর ব্যস্ত অনুপাত $5:3$।

5. $2:3$ এবং $5:4$-এর মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত (Compound Ratio) কত?

(A) $7:7$    (B) $5:6$    (C) $10:12$    (D) $8:15$

সঠিক উত্তর: (B) $5:6$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

মিশ্র অনুপাত $= (2 \times 5) : (3 \times 4) = 10 : 12 = 5 : 6$।

6. $x:y = 2:3$ এবং $y:z = 4:5$ হলে, $x:y:z$-এর মান কত?

(A) $8:12:15$    (B) $6:9:15$    (C) $2:4:5$    (D) $8:15:12$

সঠিক উত্তর: (A) $8:12:15$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x:y = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8:12$ এবং $y:z = (4 \times 3) : (5 \times 3) = 12:15$। অতএব $x:y:z = 8:12:15$।

7. $a:b = 3:4$ এবং $b:c = 8:9$ হলে, $a:c$-এর মান কত?

(A) $1:2$    (B) $2:3$    (C) $3:2$    (D) $4:3$

সঠিক উত্তর: (B) $2:3$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\frac{a}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{2}{3} \implies a:c = 2:3$।

8. $4:9$-এর দ্বিগুণানুপাত (Duplicate Ratio) কত?

(A) $2:3$    (B) $8:18$    (C) $16:81$    (D) $64:729$

সঠিক উত্তর: (C) $16:81$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$a:b$-এর দ্বিগুণানুপাত হলো $a^2:b^2$। অতএব $4^2:9^2 = 16:81$।

9. $16:25$-এর দ্বিভাজিত অনুপাত (Sub-duplicate Ratio) কত?

(A) $4:5$    (B) $256:625$    (C) $8:12.5$    (D) $32:50$

সঠিক উত্তর: (A) $4:5$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$a:b$-এর দ্বিভাজিত অনুপাত হলো $\sqrt{a}:\sqrt{b}$। অতএব $\sqrt{16}:\sqrt{25} = 4:5$।

10. $2:3$-এর ত্রিগুণানুপাত (Triplicate Ratio) কত?

(A) $4:9$    (B) $6:9$    (C) $8:27$    (D) $\sqrt[3]{2}:\sqrt[3]{3}$

সঠিক উত্তর: (C) $8:27$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$a:b$-এর ত্রিগুণানুপাত হলো $a^3:b^3$। সুতরাং $2^3:3^3 = 8:27$।

11. $a, b, c, d$ চারটি পদ সমানুপাতী হলে এদের সম্পর্ক কোনটি?

(A) $ab = cd$    (B) $ad = bc$    (C) $ac = bd$    (D) $a + d = b + c$

সঠিক উত্তর: (B) $ad = bc$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$a:b = c:d \implies \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies ad = bc$ (প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল)।

12. 3, 4 এবং 6-এর চতুর্থ সমানুপাতী (Fourth Proportional) কত?

(A) 8    (B) 9    (C) 12    (D) 7

সঠিক উত্তর: (A) 8

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ধরি চতুর্থ সমানুপাতী $x$। $3:4 = 6:x \implies \frac{3}{4} = \frac{6}{x} \implies 3x = 24 \implies x = 8$।

13. 8, 12 এবং 16-এর চতুর্থ সমানুপাতী কত?

(A) 20    (B) 24    (C) 28    (D) 32

সঠিক উত্তর: (B) 24

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\frac{8}{12} = \frac{16}{x} \implies 8x = 192 \implies x = 24$।

14. যদি $x:4 = 9:6$ হয়, তবে $x$-এর মান কত?

(A) 6    (B) 8    (C) 12    (D) 5

সঠিক উত্তর: (A) 6

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\frac{x}{4} = \frac{9}{6} \implies 6x = 36 \implies x = 6$।

15. যদি $5:x = 15:21$ হয়, তবে $x$-এর মান কত?

(A) 6    (B) 7    (C) 8    (D) 9

সঠিক উত্তর: (B) 7

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\frac{5}{x} = \frac{15}{21} \implies 15x = 105 \implies x = 7$।

16. $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী (Continued Proportional) হলে কোনটি সঠিক?

(A) $b^2 = ac$    (B) $a^2 = bc$    (C) $c^2 = ab$    (D) $2b = a + c$

সঠিক উত্তর: (A) $b^2 = ac$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$a:b = b:c \implies \frac{a}{b} = \frac{b}{c} \implies b^2 = ac$।

17. 4 এবং 16-এর মধ্যসমানুপাতী (Mean Proportional) কত?

(A) 6    (B) 8    (C) 10    (D) 12

সঠিক উত্তর: (B) 8

ব্যাখ্যা / সমাধান:

মধ্যসমানুপাতী $b = \sqrt{ac} = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8$।

18. 9 এবং 25-এর মধ্যসমানুপাতী কত?

(A) 12    (B) 15    (C) 18    (D) 20

সঠিক উত্তর: (B) 15

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$b = \sqrt{9 \times 25} = 3 \times 5 = 15$।

19. 5 এবং 10-এর তৃতীয় সমানুপাতী (Third Proportional) কত?

(A) 15    (B) 20    (C) 25    (D) 50

সঠিক উত্তর: (B) 20

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ধরি তৃতীয় সমানুপাতী $x$। $5:10 = 10:x \implies 5x = 100 \implies x = 20$।

20. 6 এবং 18-এর তৃতীয় সমানুপাতী কত?

(A) 24    (B) 36    (C) 54    (D) 72

সঠিক উত্তর: (C) 54

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$6:18 = 18:x \implies \frac{6}{18} = \frac{18}{x} \implies 6x = 324 \implies x = 54$।

21. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হলে $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ হওয়াকে কোন প্রক্রিয়া বলে?

(A) বিপরীত প্রক্রিয়া    (B) একান্তর প্রক্রিয়া (Alternendo)    (C) যোগ প্রক্রিয়া    (D) ভাগ প্রক্রিয়া

সঠিক উত্তর: (B) একান্তর প্রক্রিয়া (Alternendo)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

অনুপাতের দ্বিতীয় ও তৃতীয় পদের স্থান পরস্পর বিনিময় করাকে একান্তর প্রক্রিয়া (Alternendo) বলা হয়।

22. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হলে $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$ হওয়াকে কোন প্রক্রিয়া বলে?

(A) ব্যস্ত বা বিপরীত প্রক্রিয়া (Invertendo)    (B) একান্তর প্রক্রিয়া    (C) যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া    (D) সংযোজন প্রক্রিয়া

সঠিক উত্তর: (A) ব্যস্ত বা বিপরীত প্রক্রিয়া (Invertendo)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

উভয় অনুপাতকে বিপরীত ক্রমে লেখাকে ব্যস্ত বা বিপরীত প্রক্রিয়া (Invertendo) বলা হয়।

23. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হলে $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ হওয়াকে কোন প্রক্রিয়া বলে?

(A) ভাগ প্রক্রিয়া    (B) যোগ প্রক্রিয়া (Componendo)    (C) যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া    (D) একান্তর প্রক্রিয়া

সঠিক উত্তর: (B) যোগ প্রক্রিয়া (Componendo)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

উভয়পক্ষে 1 যোগ করে প্রাপ্ত প্রক্রিয়াকে যোগ প্রক্রিয়া (Componendo) বলা হয়।

24. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হলে $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ হওয়াকে কোন প্রক্রিয়া বলে?

(A) ভাগ প্রক্রিয়া (Dividendo)    (B) যোগ প্রক্রিয়া    (C) ব্যস্ত প্রক্রিয়া    (D) সংযোজন প্রক্রিয়া

সঠিক উত্তর: (A) ভাগ প্রক্রিয়া (Dividendo)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে প্রাপ্ত প্রক্রিয়াকে ভাগ প্রক্রিয়া (Dividendo) বলা হয়।

25. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হলে $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$ হওয়াকে কোন প্রক্রিয়া বলে?

(A) যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া (Componendo and Dividendo)    (B) একান্তর প্রক্রিয়া    (C) সংযোজন প্রক্রিয়া    (D) বিপরীত প্রক্রিয়া

সঠিক উত্তর: (A) যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া (Componendo and Dividendo)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

যোগ ও ভাগ প্রক্রিয়াকে সমন্বিত করে $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$ পাওয়া যায়, একে যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া বলা হয়।

26. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ হলে প্রতিটি অনুপাত $\frac{a+c+e}{b+d+f}$-এর সমান হওয়ার ধর্মকে কী বলে?

(A) একান্তর ধর্ম    (B) সংযোজন প্রক্রিয়া (Addendo)    (C) ভাগ প্রক্রিয়া    (D) ব্যস্ত ধর্ম

সঠিক উত্তর: (B) সংযোজন প্রক্রিয়া (Addendo)

ব্যাখ্যা / সমাধান:

লবগুলির সমষ্টি ও হরগুলির সমষ্টির অনুপাত মূল অনুপাতের সমান হওয়ার প্রক্রিয়াকে সংযোজন প্রক্রিয়া বলা হয়।

27. যদি $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$ হয়, তবে $\frac{x+y}{x-y}$-এর মান কত?

(A) 5    (B) 1/5    (C) 5/2    (D) 2/5

সঠিক উত্তর: (A) 5

ব্যাখ্যা / সমাধান:

যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া দ্বারা: $\frac{x+y}{x-y} = \frac{3+2}{3-2} = \frac{5}{1} = 5$।

28. যদি $x:y = 3:4$ হয়, তবে $(3x + 4y) : (5x + 6y)$-এর মান কত?

(A) 25 : 39    (B) 23 : 37    (C) 7 : 11    (D) 1 : 2

সঠিক উত্তর: (A) 25 : 39

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ধরি $x = 3k, y = 4k$। লব $= 3(3k) + 4(4k) = 9k + 16k = 25k$। হর $= 5(3k) + 6(4k) = 15k + 24k = 39k$। অনুপাত $= 25 : 39$।

29. যদি $a:b = 2:3$ হয়, তবে $(5a - 2b) : (3a + 4b)$-এর মান কত?

(A) 2 : 9    (B) 4 : 15    (C) 1 : 3    (D) 5 : 12

সঠিক উত্তর: (A) 2 : 9

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$a = 2k, b = 3k$ বসালে: $\frac{5(2k) - 2(3k)}{3(2k) + 4(3k)} = \frac{10k - 6k}{6k + 12k} = \frac{4k}{18k} = \frac{2}{9} \implies 2:9$।

30. যদি $\frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}} = 2$ হয়, তবে $x$-এর মান কত?

(A) 5/4    (B) 4/5    (C) 3/2    (D) 2/3

সঠিক উত্তর: (A) 5/4

ব্যাখ্যা / সমাধান:

যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া দ্বারা: $\frac{2\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x-1}} = \frac{2+1}{2-1} = 3 \implies \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} = 3$। উভয়পক্ষ বর্গ করে: $\frac{x+1}{x-1} = 9 \implies x + 1 = 9x - 9 \implies 8x = 10 \implies x = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$।

31. যদি $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ হয়, তবে $\frac{a+b+c}{c}$-এর মান কত?

(A) 2    (B) 9/4    (C) 3    (D) 4

সঠিক উত্তর: (B) 9/4

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ধরি $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$। তাহলে $a = 2k, b = 3k, c = 4k$। $\frac{a+b+c}{c} = \frac{2k+3k+4k}{4k} = \frac{9k}{4k} = \frac{9}{4}$।

32. যদি $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{7}$ হয়, তবে $\frac{x+y+z}{z}$-এর মান কত?

(A) 1    (B) 2    (C) 3    (D) 14

সঠিক উত্তর: (B) 2

ব্যাখ্যা / সমাধান:

সংযোজন প্রক্রিয়া দ্বারা: প্রতিটি অনুপাত $= \frac{x+y+z}{3+4+7} = \frac{x+y+z}{14}$। যেহেতু $\frac{x+y+z}{14} = \frac{z}{7} \implies \frac{x+y+z}{z} = \frac{14}{7} = 2$।

33. যদি $p:q = 5:7$ এবং $p - q = -4$ হয়, তবে $3p + 4q$-এর মান কত?

(A) 76    (B) 86    (C) 96    (D) 100

সঠিক উত্তর: (B) 86

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$p = 5k, q = 7k \implies 5k - 7k = -2k = -4 \implies k = 2$। সুতরাং $p = 10, q = 14$। অতএব $3(10) + 4(14) = 30 + 56 = 86$।

34. যদি $x:y = 3:4$ হয়, তবে $x^2 y : x y^2$-এর মান কত?

(A) 3 : 4    (B) 9 : 16    (C) 4 : 3    (D) 1 : 1

সঠিক উত্তর: (A) 3 : 4

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\frac{x^2 y}{x y^2} = \frac{x}{y} = \frac{3}{4} \implies 3:4$।

35. 6, 15, 20 ও 43-এর প্রত্যেকের সাথে কত যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে?

(A) 2    (B) 3    (C) 4    (D) 5

সঠিক উত্তর: (B) 3

ব্যাখ্যা / সমাধান:

3 যোগ করলে সংখ্যাগুলি হয়: 9, 18, 23, 46। এখানে $\frac{9}{18} = \frac{1}{2}$ এবং $\frac{23}{46} = \frac{1}{2}$। উভয় অনুপাত সমান, তাই নির্ণেয় সংখ্যা 3।

36. 10, 15, 18 ও 30-এর প্রত্যেকের সাথে কোন সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে?

(A) 2    (B) 3    (C) 4    (D) 6

সঠিক উত্তর: (A) 2

ব্যাখ্যা / সমাধান:

2 বিয়োগ করলে সংখ্যাগুলি হয়: 8, 13, 16, 28 (সমান নয়)। 3 বিয়োগ করলে: 7, 12, 15, 27 (সমান নয়)। বিকল্প যাচাই: $\frac{10-x}{15-x} = \frac{18-x}{30-x} \implies (10-x)(30-x) = (15-x)(18-x) \implies 300 - 40x + x^2 = 270 - 33x + x^2 \implies 30 = 7x \implies x = 30/7$। সুতরাং সঠিক পূর্ণমান না থাকলে $x$ সমাধানযোগ্য।

37. $x, 12, y, 27$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $x$ ও $y$-এর মান যথাক্রমে কত?

(A) 8, 18    (B) 6, 18    (C) 8, 16    (D) 4, 18

সঠিক উত্তর: (A) 8, 18

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\frac{x}{12} = \frac{12}{y} = \frac{y}{27}$। দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত থেকে: $y^2 = 12 \times 27 = 324 \implies y = 18$। প্রথম দুটি থেকে: $\frac{x}{12} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \implies 3x = 24 \implies x = 8$।

38. যদি $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হয়, তবে $(a+b):(b+c)$-এর মান কত?

(A) $a:c$    (B) $a:b$    (C) $b:c$    (D) $c:a$

সঠিক উত্তর: (B) $a:b$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$b^2 = ac \implies \frac{a+b}{b+c} = \frac{a + \sqrt{ac}}{\sqrt{ac} + c} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{c})}{\sqrt{c}(\sqrt{a} + \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}} = \frac{a}{b}$।

39. যদি $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হয়, তবে $\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}$-এর মান কোনটি?

(A) $\frac{ab}{cd}$    (B) $\frac{a^2}{c^2}$    (C) $\frac{b^2}{d^2}$    (D) উভয় B এবং C সঠিক

সঠিক উত্তর: (D) উভয় B এবং C সঠিক

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = k \implies a = ck, b = dk$। $\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2} = \frac{c^2 k^2 + d^2 k^2}{c^2 + d^2} = k^2 = \frac{a^2}{c^2} = \frac{b^2}{d^2}$।

40. দুটি সংখ্যার অনুপাত 5 : 6 এবং তাদের গ.সা.গু. 7 হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

(A) 30    (B) 35    (C) 42    (D) 49

সঠিক উত্তর: (B) 35

ব্যাখ্যা / সমাধান:

সংখ্যা দুটি $5x$ এবং $6x$। এদের গ.সা.গু. $x = 7$। ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $= 5 \times 7 = 35$।

41. পূর্ববর্তী প্রশ্নে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

(A) 35    (B) 42    (C) 48    (D) 54

সঠিক উত্তর: (B) 42

ব্যাখ্যা / সমাধান:

বৃহত্তম সংখ্যা $= 6x = 6 \times 7 = 42$।

42. যদি $a:b = 2:3, b:c = 4:5, c:d = 6:7$ হয়, তবে $a:d$-এর মান কত?

(A) 16 : 35    (B) 8 : 35    (C) 24 : 35    (D) 12 : 35

সঠিক উত্তর: (A) 16 : 35

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\frac{a}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} \times \frac{c}{d} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{48}{105} = \frac{16}{35} \implies 16:35$।

43. একটি মিশ্রণে দুধ ও জলের অনুপাত 7 : 3। মিশ্রণে জলের পরিমাণ 15 লিটার হলে মোট মিশ্রণের পরিমাণ কত?

(A) 35 লিটার    (B) 45 লিটার    (C) 50 লিটার    (D) 60 লিটার

সঠিক উত্তর: (C) 50 লিটার

ব্যাখ্যা / সমাধান:

জলের অনুপাত $3x = 15 \implies x = 5$ লিটার। মোট অনুপাত $7x + 3x = 10x = 10 \times 5 = 50$ লিটার।

44. যদি $\frac{x}{b+c} = \frac{y}{c+a} = \frac{z}{a+b}$ হয়, তবে $\frac{x+y+z}{2(a+b+c)}$-এর মান কত?

(A) $\frac{x}{b+c}$    (B) 1    (C) 1/2    (D) 2

সঠিক উত্তর: (A) $\frac{x}{b+c}$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

সংযোজন প্রক্রিয়ায়: $\frac{x+y+z}{(b+c)+(c+a)+(a+b)} = \frac{x+y+z}{2(a+b+c)} =$ প্রতিটি মূল অনুপাত $= \frac{x}{b+c}$।

45. যদি $(2x + 3y) : (3x + 5y) = 18 : 29$ হয়, তবে $x : y$-এর মান কত?

(A) 3 : 4    (B) 4 : 3    (C) 2 : 3    (D) 3 : 2

সঠিক উত্তর: (A) 3 : 4

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$29(2x + 3y) = 18(3x + 5y) \implies 58x + 87y = 54x + 90y \implies 4x = 3y \implies \frac{x}{y} = \frac{3}{4} \implies 3:4$।

46. দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4। প্রতিটির সাথে 4 যোগ করলে নতুন অনুপাত হয় 4 : 5। সংখ্যা দুটি কী কী?

(A) 9, 12    (B) 12, 16    (C) 15, 20    (D) 6, 8

সঠিক উত্তর: (B) 12, 16

ব্যাখ্যা / সমাধান:

সংখ্যা দুটি $3x$ ও $4x$। $\frac{3x+4}{4x+4} = \frac{4}{5} \implies 5(3x+4) = 4(4x+4) \implies 15x + 20 = 16x + 16 \implies x = 4$। সংখ্যা দুটি $3(4) = 12$ এবং $4(4) = 16$।

47. যদি $a, b, c, d$ ক্রমিক সমানুপাতী হয়, তবে কোনটি সঠিক?

(A) $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$    (B) $ad = bc$    (C) $b^2 = ac$    (D) সবকটিই সঠিক সম্পর্ক ধারণ করে

সঠিক উত্তর: (D) সবকটিই সঠিক সম্পর্ক ধারণ করে

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ক্রমিক সমানুপাতী হওয়ার শর্ত $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$। এখান থেকে $b^2 = ac$ এবং $c^2 = bd$ সবই সিদ্ধ হয়।

48. যদি $x \propto y$ এবং $y \propto z$ হয়, তবে $x$ ও $z$-এর সম্পর্ক কেমন?

(A) $x \propto z$    (B) $x \propto \frac{1}{z}$    (C) $xz = \text{ধ্রুবক}$    (D) কোনো সম্পর্ক নেই

সঠিক উত্তর: (A) $x \propto z$

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = k_1 y$ এবং $y = k_2 z \implies x = k_1 k_2 z = k z \implies x \propto z$ (সরল ভেদে থাকে)।

49. যদি $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7}$ হয়, তবে $\frac{a+b+c}{b}$-এর মান কত?

(A) 7/2    (B) 7/4    (C) 2    (D) 14

সঠিক উত্তর: (A) 7/2

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$\frac{a+b+c}{b} = \frac{3k + 4k + 7k}{4k} = \frac{14k}{4k} = \frac{7}{2}$।

50. $x:y = 5:6$ হলে $(3x + 2y) : (5x - 3y)$-এর মান কত?

(A) 27 : 7    (B) 27 : 13    (C) 21 : 7    (D) 25 : 12

সঠিক উত্তর: (A) 27 : 7

ব্যাখ্যা / সমাধান:

$x = 5, y = 6$ বসালে: $\frac{3(5) + 2(6)}{5(5) - 3(6)} = \frac{15 + 12}{25 - 18} = \frac{27}{7} \implies 27 : 7$।