পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 6: চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস-এর নিজে করি (6.1, 6.2) এবং মাধ্যমিক পরীক্ষার উপযোগী সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ পাঠ্যবই প্রয়োগের (Proyog) পুঙ্খানুপুঙ্খ ধাপে ধাপে গাণিতিক সমাধান নিচে প্রদান করা হলো।
চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধির কার্যপদ্ধতি
1. সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের সম্পর্ক: প্রথম বছরের ক্ষেত্রে $SI = CI$; দ্বিতীয় বছরে $CI - SI = \text{প্রথম বছরের সুদের ওপর 1 বছরের সুদ}$।
2. চক্রবৃদ্ধি সুদের হার ও মূলধন নির্ণয়: পরপর দুই বছরের সবৃদ্ধিমূলের অন্তর সরাসরি এক বছরের সুদের সমান হয়।
3. সমহার হ্রাস (Depreciation): মেশিনের মূল্য, শারীরিক ওজন, পথ দুর্ঘটনা হ্রাসে $P(1 - r/100)^n$ প্রযোজ্য।
1. নিজে করি 6.1: প্রশ্ন 1 — 8000 টাকার বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি ও চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করো।
প্রদত্ত:
আসল ($P$) = $8,000\text{ টাকা}$
সুদের হার ($r$) = $5\%$
সময় ($n$) = $2\text{ বছর}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
সমূল চক্রবৃদ্ধি:
$A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n = 8000 \times \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2$
$= 8000 \times \left(\frac{21}{20}\right)^2$
$= 8000 \times \frac{441}{400} = 20 \times 441 = 8,820\text{ টাকা}$।
চক্রবৃদ্ধি সুদ ($CI$):
$CI = A - P = 8820 - 8000 = 820\text{ টাকা}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
সমূল চক্রবৃদ্ধি $8,820\text{ টাকা}$ এবং চক্রবৃদ্ধি সুদ $820\text{ টাকা}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
প্রথম বছরের সুদ = $8000 \times 5\% = 400$ টাকা, দ্বিতীয় বছরের আসল = 8400 টাকা, দ্বিতীয় বছরের সুদ = $8400 \times 5\% = 420$ টাকা। মোট সুদ = $400 + 420 = 820$ টাকা।
2. নিজে করি 6.2: প্রশ্ন 1 — একটি জেলার বর্তমান জনসংখ্যা 2000000। জনসংখ্যা প্রতি বছর 4% হারে বৃদ্ধি পেলে, 2 বছর পর জনসংখ্যা কত হবে?
প্রদত্ত:
বর্তমান জনসংখ্যা ($P$) = $20,00,000$
বার্ষিক বৃদ্ধির হার ($r$) = $4\%$
সময় ($n$) = $2\text{ বছর}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
2 বছর পর জনসংখ্যা হবে:
$P_2 = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^2$
$= 2000000 \times \left(1 + \frac{4}{100}\right)^2$
$= 2000000 \times \left(\frac{26}{25}\right)^2$
$= 2000000 \times \frac{676}{625}$
$= 3200 \times 676 = 2,163,200$ জন।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
2 বছর পর জনসংখ্যা হবে $21,63,200$ জন।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
$2000000 \div 625 = 3200$, তাই গুণফল $3200 \times 676 = 2163200$ অতি সহজে মেলে।
3. পাঠ্যবই প্রয়োগ 6 — কোনো মূলধনের 2 বছরের সরল সুদ 8400 টাকা এবং 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 8652 টাকা হলে, মূলধন ও বার্ষিক সুদের হার নির্ণয় করো।
প্রদত্ত:
2 বছরের সরল সুদ ($SI$) = $8,400\text{ টাকা}$
2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ($CI$) = $8,652\text{ টাকা}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
যেহেতু 2 বছরের সরল সুদ 8400 টাকা, তাই প্রতি 1 বছরের সরল সুদ:
$= \frac{8400}{2} = 4,200\text{ টাকা}$।
আমরা জানি, প্রথম বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ পরস্পর সমান হয় ($4,200\text{ টাকা}$)।
2 বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর:
$= 8652 - 8400 = 252\text{ টাকা}$।
এই অতিরিক্ত 252 টাকা হলো প্রথম বছরের সুদ 4200 টাকার ওপর 1 বছরের সুদ।
$\therefore$ বার্ষিক সুদের হার ($r$):
$r = \frac{252 \times 100}{4200 \times 1} = \frac{252}{42} = 6\%$।
এখন মূলধন ($P$) নির্ণয় করি:
1 বছরের সরল সুদ $SI = \frac{P \times r \times 1}{100}$
$\implies 4200 = \frac{P \times 6 \times 1}{100}$
$\implies 6P = 4200 \times 100$
$\implies P = \frac{420000}{6} = 70,000\text{ টাকা}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
মূলধন $70,000\text{ টাকা}$ এবং বার্ষিক সুদের হার $6\%$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
এটি মাধ্যমিকের সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ 5-স্টার প্রশ্ন। প্রথম বছরের সুদের ওপর সুদই হলো $CI - SI$।
4. পাঠ্যবই প্রয়োগ 8 — বার্ষিক নির্দিষ্ট শতকরা চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কিছু টাকা 2 বছরে সমূল চক্রবৃদ্ধি 2420 টাকা এবং 3 বছরে সমূল চক্রবৃদ্ধি 2662 টাকা হলে, মূলধন ও বার্ষিক সুদের হার হিসাব করো।
প্রদত্ত:
2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি ($A_2$) = $2,420\text{ টাকা}$
3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি ($A_3$) = $2,662\text{ টাকা}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
3য় বছরে অর্জিত অতিরিক্ত সুদ হলো 2য় বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধির ওপর 1 বছরের সুদ:
1 বছরের সুদ $= 2662 - 2420 = 242\text{ টাকা}$।
আসল হিসেবে গণ্য হবে 2য় বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি ($2,420\text{ টাকা}$)।
$\therefore$ বার্ষিক সুদের হার ($r$):
$r = \frac{242 \times 100}{2420 \times 1} = \frac{24200}{2420} = 10\%$।
এখন মূলধন ($P$) নির্ণয় করি:
$A_2 = P\left(1 + \frac{10}{100}\right)^2$
$\implies 2420 = P\left(\frac{11}{10}\right)^2 = P \times \frac{121}{100}$
$\implies P = \frac{2420 \times 100}{121} = 20 \times 100 = 2,000\text{ টাকা}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
মূলধন $2,000\text{ টাকা}$ এবং বার্ষিক সুদের হার $10\%$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
পরপর দুই বছরের সবৃদ্ধিমূল দেওয়া থাকলে তাদের অন্তর দিয়ে এক লাইনে সুদের হার নির্ণয় করা যায়।
5. পাঠ্যবই প্রয়োগ 11 — 3 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 10000 টাকার 9 মাসের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে হিসাব করি।
প্রদত্ত:
আসল ($P$) = $10,000\text{ টাকা}$
বার্ষিক সুদের হার ($r$) = $8\%$
সুদের পর্ব = 3 মাস অন্তর (বছরে 4 বার, অর্থাৎ পর্ব $m = 4$)
সময় = 9 মাস = $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\text{ বছর}$।
মোট পর্ব সংখ্যা ($4n$) = $4 \times \frac{3}{4} = 3$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
ত্রৈমাসিক সুদের ক্ষেত্রে সমূল চক্রবৃদ্ধি:
$A = P\left(1 + \frac{r/4}{100}\right)^{4n}$
$= 10000 \times \left(1 + \frac{2}{100}\right)^3$
$= 10000 \times \left(\frac{51}{50}\right)^3$
$= 10000 \times \frac{132651}{125000}$
$= \frac{2 \times 132651}{25} = \frac{265302}{25} = 10,612.08\text{ টাকা}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
9 মাসের সমূল চক্রবৃদ্ধি $10,612.08\text{ টাকা}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
ত্রৈমাসিক সুদের ক্ষেত্রে সুদের হার $\frac{r}{4} = \frac{8}{4} = 2\%$ এবং মোট কিস্তি 3টি।
6. পাঠ্যবই প্রয়োগ 14 — যদি প্রথম বছর, দ্বিতীয় বছর ও তৃতীয় বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যথাক্রমে 4%, 5% ও 6% হয়, তবে 25000 টাকার 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হিসাব করো।
প্রদত্ত:
আসল ($P$) = $25,000\text{ টাকা}$
প্রথম বছরের সুদের হার ($r_1$) = $4\%$
দ্বিতীয় বছরের সুদের হার ($r_2$) = $5\%$
তৃতীয় বছরের সুদের হার ($r_3$) = $6\%$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
বিভিন্ন বছরে সুদের হার ভিন্ন হলে সমূল চক্রবৃদ্ধি:
$A = P\left(1 + \frac{r_1}{100}\right)\left(1 + \frac{r_2}{100}\right)\left(1 + \frac{r_3}{100}\right)$
মান বসিয়ে পাই:
$A = 25000 \times \left(1 + \frac{4}{100}\right)\left(1 + \frac{5}{100}\right)\left(1 + \frac{6}{100}\right)$
$= 25000 \times \frac{26}{25} \times \frac{21}{20} \times \frac{53}{50}$
$= \frac{25000 \times 26 \times 21 \times 53}{25000} = 26 \times 21 \times 53$
$= 546 \times 53 = 28,938\text{ টাকা}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে $28,938\text{ টাকা}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
হরের $25 \times 20 \times 50 = 25000$ সরাসরি লবের আসলের 25000-কে নিঃশেষে কেটে দেয়, ফলে কোনো ভগ্নাংশ থাকে না!
7. পাঠ্যবই প্রয়োগ 20 — একটি স্কুটারের বর্তমান মূল্য 40000 টাকা। স্কুটারটির মূল্য প্রতি বছর 5% হারে অপচয় (হ্রাস) হলে, 3 বছর পরে স্কুটারটির মূল্য কত হবে?
প্রদত্ত:
বর্তমান মূল্য ($P$) = $40,000\text{ টাকা}$
বার্ষিক অবচয়ের হার ($r$) = $5\%$
সময় ($n$) = $3\text{ বছর}$।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
অপচয়ের সূত্রানুসারে 3 বছর পর মূল্য হবে:
$P_3 = P\left(1 - \frac{r}{100}\right)^n$
$= 40000 \times \left(1 - \frac{5}{100}\right)^3$
$= 40000 \times \left(\frac{19}{20}\right)^3$
$= 40000 \times \frac{6859}{8000}$
$= 5 \times 6859 = 34,295\text{ টাকা}$।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
3 বছর পরে স্কুটারটির মূল্য হবে $34,295\text{ টাকা}$।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
$19^3 = 6859$ এবং $20^3 = 8000$, যা $40000 \div 8000 = 5$ দিয়ে এক লাইনে গুণ হয়ে যায়।
8. পাঠ্যবই প্রয়োগ 23 — পথ নিরাপত্তা সপ্তাহের সুফল হিসেবে কোনো শহরে পথ দুর্ঘটনার সংখ্যা প্রতি বছর 20% হারে হ্রাস পেয়েছে। যদি 2 বছর পরে দুর্ঘটনার সংখ্যা 1024 হয়, তবে বর্তমান বছরে দুর্ঘটনার সংখ্যা কত ছিল?
প্রদত্ত:
2 বছর পরের দুর্ঘটনা ($P_2$) = $1,024$টি
বার্ষিক হ্রাসের হার ($r$) = $20\%$
সময় ($n$) = $2\text{ বছর}$।
ধরি, বর্তমান বছরে দুর্ঘটনার সংখ্যা = $P$টি।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
সূত্রানুসারে:
$P\left(1 - \frac{20}{100}\right)^2 = 1024$
$\implies P\left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1024$
$\implies P \times \frac{16}{25} = 1024$
$\implies P = \frac{1024 \times 25}{16}$
যেহেতু $1024 \div 16 = 64$:
$\implies P = 64 \times 25 = 1,600$টি।
সঠিক উত্তর / সিদ্ধান্ত:
বর্তমান বছরে দুর্ঘটনার সংখ্যা ছিল $1,600$টি।
শিক্ষণীয় টিপস (Exam Tips):
$64 \times 25 = 1600$, গণনা পরিষ্কার ও সংক্ষিপ্ত।
