State Govt Jobs
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-7-angles-in-a-circle-koshe-dekhi-7-solutions
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য — কষে দেখি 7 (7.1, 7.2, 7.3) সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Koshe Dekhi 7)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের সপ্তম অধ্যায় বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle) মাধ্যমিক গণিত পরীক্ষার জ্যামিতি বিভাগের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ স্তম্ভ। এখান থেকে উপপাদ্য প্রমাণ (5 নম্বর), উপপাদ্যের প্রয়োগ বা জ্যামিতিক যুক্তিভিত্তিক অতিরিক্ত প্রশ্ন (3 নম্বর), এবং সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (MCQ/SAQ - 2 নম্বর) প্রতি বছর পরীক্ষায় আসে। এই আর্টিকেলে কষে দেখি 7.1, কষে দেখি 7.2 এবং কষে দেখি 7.3-এর প্রতিটি গাণিতিক সমস্যার সম্পূর্ণ ও নির্ভুল সমাধান নিচে পরিবেশন করা হলো।
অধ্যায় 7-এর মূল জ্যামিতিক সিদ্ধান্ত ও সূত্রাবলী
- উপপাদ্য 34: কোনো বৃত্তের একই বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত যেকোনো বৃত্তস্থ (পরিধিস্থ) কোণের দ্বিগুণ। অর্থাৎ, $\angle \text{কেন্দ্রস্থ} = 2 \times \angle \text{বৃত্তস্থ}$।
- উপপাদ্য 35: একই বৃত্তাংশস্থিত সকল কোণের মান পরস্পর সমান। অর্থাৎ, একই চাপ ও জ্যা-এর ওপর গঠিত সকল পরিধিস্থ কোণ সমান।
- উপপাদ্য 37: অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সর্বদাই এক সমকোণ ($90^\circ$)।
- বৃত্তাংশস্থিত কোণের প্রকৃতি:
• অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থিত কোণ সূক্ষ্মকোণ ($< 90^\circ$)।• অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থিত কোণ স্থূলকোণ ($> 90^\circ$)।
কষে দেখি 7.1 (Koshe Dekhi 7.1) — পৃষ্ঠা 126
প্রশ্ন 1: $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $APB$ বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB = 110^\circ$ হলে, বৃত্তস্থ কোণ $\angle APB$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
এখানে $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $APB$ বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB = 110^\circ$।
আমরা জানি (উপপাদ্য 34 অনুসারে), কোনো বৃত্তের একটি নির্দিষ্ট বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
$$\therefore \angle AOB = 2 \times \angle APB$$
$$\implies 110^\circ = 2\angle APB$$
$$\implies \angle APB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$
উত্তর:
বৃত্তস্থ কোণ $\angle APB$-এর মান $55^\circ$।
প্রশ্ন 2: প্রমাণ করি যে, অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থিত কোণ সূক্ষ্মকোণ।
প্রমাণ:
প্রদত্ত: ধরি $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $APB$ একটি অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থিত বৃত্তস্থ কোণ এবং $AB$ সংশ্লিষ্ট জ্যা।
প্রামাণ্য: $\angle APB$ একটি সূক্ষ্মকোণ, অর্থাৎ $\angle APB < 90^\circ$।
অঙ্কন: $A, O$ এবং $B, O$ যুক্ত করলাম। ফলে বৃত্তচাপ $AB$-এর ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB$ উৎপন্ন হলো।
যুক্তি ও প্রমাণ:
যেহেতু বৃত্তাংশটি অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর, তাই এর উপচাপ দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণটি দুই সমকোণ বা $180^\circ$ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
$$\therefore \angle AOB < 180^\circ$$
আবার, উপপাদ্য 34 অনুসারে: কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
$$\angle AOB = 2 \times \angle APB \implies \angle APB = \frac{1}{2}\angle AOB$$
যেহেতু $\angle AOB < 180^\circ$, সুতরাং:
$$\angle APB < \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$
যেহেতু কোণটির মান $90^\circ$ অপেক্ষা কম, তাই $\angle APB$ একটি সূক্ষ্মকোণ।
উত্তর:
প্রমাণিত হলো যে, অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থিত কোণ সূক্ষ্মকোণ।
প্রশ্ন 3: $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিধির ওপর $A, B, C$ তিনটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে $\angle AOC = 120^\circ$ এবং $\angle BOC = 100^\circ$। $\angle ACB$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
এখানে কেন্দ্র $O$-এর চারপাশের কোণগুলির মোট সমষ্টি $360^\circ$।
প্রদত্ত: $\angle AOC = 120^\circ$ এবং $\angle BOC = 100^\circ$।
$\therefore$ অবশিষ্ট কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB = 360^\circ - (120^\circ + 100^\circ) = 360^\circ - 220^\circ = 140^\circ$।
এখন $AB$ উপচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB = 140^\circ$ এবং পরিধিস্থ বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB$।
উপপাদ্য অনুসারে, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ:
$$\angle AOB = 2\angle ACB$$
$$\implies \angle ACB = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$$
উত্তর:
$\angle ACB$-এর নির্ণেয় মান $70^\circ$।
প্রশ্ন 4: $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ জ্যা-এর দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB$। বৃত্তের কেন্দ্র $O$ ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর অভ্যন্তরে অবস্থিত হলে প্রমাণ করি যে $\angle AOB + 2\angle ACB = 4 \text{ সমকোণ}$ নয়, বরং $\angle AOB = 2\angle ACB$ এবং $\angle OAB + \angle ACB = 90^\circ$।
সমাধান:
$\triangle OAB$-তে $OA = OB$ (উভয়েই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle OAB = \angle OBA$
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$:
$$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$$
$$\implies 2\angle OAB + \angle AOB = 180^\circ$$
আবার, একই চাপ $AB$-এর ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB = 2\angle ACB$।
$\angle AOB$-এর মান বসালে পাই:
$$2\angle OAB + 2\angle ACB = 180^\circ$$
$$\implies 2(\angle OAB + \angle ACB) = 180^\circ$$
$$\implies \angle OAB + \angle ACB = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$
উত্তর:
প্রমাণিত হলো যে $\angle OAB + \angle ACB = 90^\circ$।
কষে দেখি 7.2 (Koshe Dekhi 7.2) — পৃষ্ঠা 132
প্রশ্ন 1: পাশের চিত্রে একই বৃত্তাংশস্থিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB$ ও $\angle ADB$। যদি $\angle ACB = 65^\circ$ হয়, তবে $\angle ADB$-এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি (উপপাদ্য 35 অনুসারে), একই বৃত্তাংশস্থিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান পরস্পর সমান।
যেহেতু $\angle ACB$ এবং $\angle ADB$ উভয়েই বৃত্তের একই চাপ $AB$-এর দ্বারা গঠিত এবং একই বৃত্তাংশে অবস্থিত:
$$\therefore \angle ADB = \angle ACB = 65^\circ$$
উত্তর:
$\angle ADB$-এর মান $65^\circ$।
প্রশ্ন 2: প্রমাণ করি যে, বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম সর্বদা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম হয় এবং এর কর্ণ দুটি পরস্পর সমান হয়।
প্রমাণ:
প্রদত্ত: ধরি $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম যার সমান্তরাল বাহু দুটি $AB \parallel DC$ এবং কর্ণদ্বয় $AC$ ও $BD$।
প্রামাণ্য: (i) ট্রাপিজিয়ামটি সমদ্বিবাহু, অর্থাৎ তির্যক বাহুদ্বয় $AD = BC$। (ii) কর্ণ দুটি সমান, অর্থাৎ $AC = BD$।
যুক্তি:
যেহেতু $AB \parallel DC$ এবং $AC$ তাদের ছেদক:
$\therefore \angle CAB = \angle ACD$ (একান্তর কোণ) ............... (1)
আবার, বৃত্তে $\angle CAB$ কোণটি বৃত্তচাপ $BC$-এর ওপর এবং $\angle ACD$ কোণটি বৃত্তচাপ $AD$-এর ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ।
যেহেতু কোণ দুটি পরস্পর সমান, তাই এদের সংশ্লিষ্ট বৃত্তচাপ দুটিও পরস্পর সমান হবে:
$$\text{চাপ } AD = \text{চাপ } BC$$
সমান বৃত্তচাপের সংশ্লিষ্ট জ্যা পরস্পর সমান হয়।
$$\therefore \text{জ্যা } AD = \text{জ্যা } BC$$
সুতরাং, ট্রাপিজিয়ামটির তির্যক বাহু দুটি সমান, অর্থাৎ $ABCD$ একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম। (প্রমাণিত)
কর্ণের সমতা প্রমাণ:
এখন $\triangle ADC$ এবং $\triangle BCD$-এর মধ্যে:
• $AD = BC$ (পূর্ব প্রমাণিত)
• $CD$ সাধারণ বাহু
• $\angle ADC = \angle BCD$ (সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুর সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান)
$\therefore \triangle ADC \cong \triangle BCD$ (S-A-S সর্বসমতা শর্তে)
$\therefore AC = BD$ (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু)।
উত্তর:
প্রমাণিত হলো যে বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম সর্বদা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম এবং এর কর্ণ দুটি সমান।
কষে দেখি 7.3 (Koshe Dekhi 7.3) — পৃষ্ঠা 138
প্রশ্ন 1: $AB$ একটি বৃত্তের ব্যাস এবং $C$ বৃত্তের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু। যদি $\angle CAB = 30^\circ$ হয়, তবে $\angle ABC$-এর মান কত?
সমাধান:
যেহেতু $AB$ বৃত্তের ব্যাস এবং $C$ বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দু:
$\therefore \angle ACB$ হলো একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
আমরা জানি (উপপাদ্য 37 অনুসারে), অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ, অর্থাৎ $\angle ACB = 90^\circ$।
এখন $\triangle ABC$-এর তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$:
$$\angle CAB + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ$$
$$\implies 30^\circ + 90^\circ + \angle ABC = 180^\circ$$
$$\implies 120^\circ + \angle ABC = 180^\circ$$
$$\implies \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
উত্তর:
$\angle ABC$-এর মান $60^\circ$।
প্রশ্ন 2: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি। $AB$ বৃত্তটির ব্যাস এবং বৃত্তের ওপর অবস্থিত $C$ একটি বিন্দু। যদি $AC = 6$ সেমি হয়, তবে $BC$ বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $r = 5$ সেমি।
$\therefore$ ব্যাস $AB = 2r = 2 \times 5 = 10$ সেমি।
যেহেতু $AB$ ব্যাস এবং $C$ পরিধির ওপর অবস্থিত বিন্দু, তাই $\angle ACB$ একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
$\therefore \angle ACB = 90^\circ$ (সমকোণ)।
সুতরাং, $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ হলো ব্যাস $AB$।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
$$10^2 = 6^2 + BC^2$$
$$100 = 36 + BC^2$$
$$BC^2 = 100 - 36 = 64$$
$$BC = \sqrt{64} = 8 \text{ সেমি}$$
উত্তর:
$BC$ বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি।
প্রশ্ন 3: প্রমাণ করি যে, কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি ত্রিভুজটির সমকৌণিক বিন্দু দিয়ে যাবে।
প্রমাণ:
প্রদত্ত: ধরি $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle A = 90^\circ$ (সমকৌণিক বিন্দু) এবং $BC$ হলো অতিভুজ।
প্রামাণ্য: $BC$-কে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তটি $A$ বিন্দু দিয়ে গমন করবে।
প্রমাণ:
ধরি $BC$-কে ব্যাস করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো।
আমরা জানি (উপপাদ্য 37 অনুসারে), অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সর্বদা সমকোণ ($90^\circ$)।
যদি $A$ বিন্দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থিত হতো, তবে $\angle BAC > 90^\circ$ হতো (যেহেতু ক্ষুদ্রতর অংশের কোণ স্থূলকোণ)।
যদি $A$ বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হতো, তবে $\angle BAC < 90^\circ$ হতো (যেহেতু বৃহত্তর অংশের কোণ সূক্ষ্মকোণ)।
কিন্তু প্রদত্ত আছে যে $\angle BAC = 90^\circ$।
সুতরাং, $A$ বিন্দুটি বৃত্তের ভেতরে বা বাইরে অবস্থিত হতে পারে না; এটি অবশ্যই $BC$ ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধির ওপরেই অবস্থিত।
অতএব, বৃত্তটি ত্রিভুজটির সমকৌণিক বিন্দু $A$ দিয়ে অতিক্রম করবে। (প্রমাণিত)
উত্তর:
প্রমাণিত হলো যে সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তটি সমকৌণিক বিন্দু দিয়ে যায়।
