State Govt Jobs
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-1-koshe-dekhi-1-3-solutions
একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ — কষে দেখি 1.3 সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Koshe Dekhi 1.3)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের প্রথম অধ্যায় "একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ" (Quadratic Equations with One Variable) এর কষে দেখি 1.3 (Koshe Dekhi 1.3)-এর প্রতিটি বাস্তব সমস্যা ও গাণিতিক প্রশ্নের সম্পূর্ণ ও সহজ 1-টু-1 সমাধান নিচে দেওয়া হলো।
1. দুটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার অন্তর $3$ এবং তাদের বর্গের সমষ্টি $117$; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি $= x$ (যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক অখণ্ড, তাই $x > 0$)
$\therefore$ অপর (বড়) সংখ্যাটি $= (x + 3)$
শর্তানুসারে,
$x^2 + (x + 3)^2 = 117$
বা, $x^2 + x^2 + 6x + 9 = 117$
বা, $2x^2 + 6x + 9 - 117 = 0$
বা, $2x^2 + 6x - 108 = 0$
বা, $x^2 + 3x - 54 = 0$ [উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x^2 + 9x - 6x - 54 = 0$
বা, $x(x + 9) - 6(x + 9) = 0$
বা, $(x + 9)(x - 6) = 0$
হয়, $x + 9 = 0 \implies x = -9$
অথবা, $x - 6 = 0 \implies x = 6$
যেহেতু সংখ্যাটি একটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, তাই $x = -9$ গ্রহণযোগ্য নয়।
$\therefore x = 6$
সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি $= 6$ এবং বড় সংখ্যাটি $= (6 + 3) = 9$।
উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যা দুটি হলো $6$ এবং $9$।
2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা $18$ মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $360$ বর্গমিটার হলে, তার উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা $= x$ মিটার (যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, $x > 0$)
$\therefore$ ত্রিভুজটির ভূমি $= (2x + 18)$ মিটার
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
শর্তানুসারে,
$\frac{1}{2} \times (2x + 18) \times x = 360$
বা, $\frac{1}{2} \times 2(x + 9) \times x = 360$
বা, $x(x + 9) = 360$
বা, $x^2 + 9x - 360 = 0$
বা, $x^2 + 24x - 15x - 360 = 0$ [$24 \times 15 = 360$ এবং $24 - 15 = 9$]
বা, $x(x + 24) - 15(x + 24) = 0$
বা, $(x + 24)(x - 15) = 0$
হয়, $x + 24 = 0 \implies x = -24$
অথবা, $x - 15 = 0 \implies x = 15$
যেহেতু ত্রিভুজের উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -24$
$\therefore x = 15$
উত্তর: ত্রিভুজটির উচ্চতা $15$ মিটার।
3. যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা $3$ কম হয়, তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি $= x$ (যেখানে $x > 0$)
$\therefore$ সংখ্যাটির পাঁচগুণ $= 5x$
এবং সংখ্যাটির বর্গের দ্বিগুণ $= 2x^2$
শর্তানুসারে,
$5x = 2x^2 - 3$
বা, $2x^2 - 5x - 3 = 0$
বা, $2x^2 - 6x + x - 3 = 0$
বা, $2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
বা, $(x - 3)(2x + 1) = 0$
হয়, $x - 3 = 0 \implies x = 3$
অথবা, $2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$
যেহেতু সংখ্যাটি একটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, তাই ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ মান $x = -\frac{1}{2}$ অগ্রাহ্য হলো।
$\therefore x = 3$
উত্তর: নির্ণেয় ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাটি হলো $3$।
4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব $200$ কিমি., এক স্থান থেকে অপর স্থানে মোটরগাড়িতে যেতে যে সময় লাগে, জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে $2$ ঘণ্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপগাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় $5$ কিমি. বেশি হলে, মোটরগাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, মোটরগাড়ির গতিবেগ $= x$ কিমি./ঘণ্টা (যেখানে $x > 0$)
$\therefore$ জিপগাড়ির গতিবেগ $= (x + 5)$ কিমি./ঘণ্টা
মোটরগাড়িতে $200$ কিমি. যেতে সময় লাগে $= \frac{200}{x}$ ঘণ্টা
এবং জিপগাড়িতে $200$ কিমি. যেতে সময় লাগে $= \frac{200}{x + 5}$ ঘণ্টা
শর্তানুসারে,
$\frac{200}{x} - \frac{200}{x + 5} = 2$
বা, $200 \left[ \frac{(x + 5) - x}{x(x + 5)} \right] = 2$
বা, $200 \times \frac{5}{x^2 + 5x} = 2$
বা, $\frac{1000}{x^2 + 5x} = 2$
বা, $2(x^2 + 5x) = 1000$
বা, $x^2 + 5x = 500$
বা, $x^2 + 5x - 500 = 0$
বা, $x^2 + 25x - 20x - 500 = 0$ [$25 \times 20 = 500$ এবং $25 - 20 = 5$]
বা, $x(x + 25) - 20(x + 25) = 0$
বা, $(x + 25)(x - 20) = 0$
হয়, $x + 25 = 0 \implies x = -25$
অথবা, $x - 20 = 0 \implies x = 20$
যেহেতু গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -25$
$\therefore x = 20$
উত্তর: মোটরগাড়ির গতিবেগ ছিল ঘণ্টায় $20$ কিমি.।
5. অমিতাদের একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল $2000$ বর্গমিটার এবং তার পরিসীমা $180$ মিটার। অমিতাদের আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, আয়তাকার জমির অর্ধপরিসীমা $= \frac{\text{পরিসীমা}}{2} = \frac{180}{2} = 90$ মিটার।
$\therefore \text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ} = 90$ মিটার।
ধরি, জমির দৈর্ঘ্য $= x$ মিটার
$\therefore$ জমির প্রস্থ $= (90 - x)$ মিটার
জমির ক্ষেত্রফল $= x(90 - x)$ বর্গমিটার
শর্তানুসারে,
$x(90 - x) = 2000$
বা, $90x - x^2 = 2000$
বা, $x^2 - 90x + 2000 = 0$
বা, $x^2 - 50x - 40x + 2000 = 0$ [$-50 \times (-40) = 2000$ এবং $-50 - 40 = -90$]
বা, $x(x - 50) - 40(x - 50) = 0$
বা, $(x - 50)(x - 40) = 0$
হয়, $x - 50 = 0 \implies x = 50$
অথবা, $x - 40 = 0 \implies x = 40$
যেহেতু আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য সাধারণত প্রস্থ অপেক্ষা বড় হয়:
দৈর্ঘ্য $x = 50$ মিটার হলে, প্রস্থ $= (90 - 50) = 40$ মিটার।
উত্তর: অমিতাদের আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য $50$ মিটার এবং প্রস্থ $40$ মিটার।
6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্কটি এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা $3$ কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল $15$ হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক $= x$ (যেখানে $x$ একটি পূর্ণসংখ্যা, $3 \le x \le 9$)
$\therefore$ দশকের ঘরের অঙ্কটি $= (x - 3)$
$\therefore$ সংখ্যাটি $= 10(x - 3) + x = 10x - 30 + x = 11x - 30$
এবং অঙ্ক দুটির গুণফল $= x(x - 3) = x^2 - 3x$
শর্তানুসারে,
$(11x - 30) - (x^2 - 3x) = 15$
বা, $11x - 30 - x^2 + 3x = 15$
বা, $-x^2 + 14x - 30 - 15 = 0$
বা, $-x^2 + 14x - 45 = 0$
বা, $x^2 - 14x + 45 = 0$
বা, $x^2 - 9x - 5x + 45 = 0$
বা, $x(x - 9) - 5(x - 9) = 0$
বা, $(x - 9)(x - 5) = 0$
হয়, $x - 9 = 0 \implies x = 9$
অথবা, $x - 5 = 0 \implies x = 5$
(যাচাই: $x = 9$ হলে সংখ্যাটি $69$, গুণফল $54$, বিয়োগফল $69 - 54 = 15$; $x = 5$ হলে সংখ্যাটি $25$, গুণফল $10$, বিয়োগফল $25 - 10 = 15$। উভয় মানই সিদ্ধ করে।)
উত্তর: সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক $5$ অথবা $9$।
7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি $11\frac{1}{9}$ মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নল দুটি আলাদাভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে একটি নল অপর নলটি অপেক্ষা $5$ মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রতিটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, প্রথম নলটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগে $= x$ মিনিট (যেখানে $x > 0$)
$\therefore$ দ্বিতীয় নলটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগে $= (x + 5)$ মিনিট
প্রথম নলটি $1$ মিনিটে পূর্ণ করে চৌবাচ্চার $= \frac{1}{x}$ অংশ
এবং দ্বিতীয় নলটি $1$ মিনিটে পূর্ণ করে চৌবাচ্চার $= \frac{1}{x + 5}$ অংশ
$\therefore$ দুটি নল একসঙ্গে $1$ মিনিটে পূর্ণ করে $= \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}\right)$ অংশ
দুটি নল একসঙ্গে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে $11\frac{1}{9} = \frac{100}{9}$ মিনিটে।
$\therefore$ একসঙ্গে $1$ মিনিটে পূর্ণ করে $= 1 \div \frac{100}{9} = \frac{9}{100}$ অংশ
শর্তানুসারে,
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{9}{100}$
বা, $\frac{(x + 5) + x}{x(x + 5)} = \frac{9}{100}$
বা, $\frac{2x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{9}{100}$
বা, $9(x^2 + 5x) = 100(2x + 5)$
বা, $9x^2 + 45x = 200x + 500$
বা, $9x^2 + 45x - 200x - 500 = 0$
বা, $9x^2 - 155x - 500 = 0$
বা, $9x^2 - 180x + 25x - 500 = 0$ [$-180 \times 25 = -4500$, $-180 + 25 = -155$]
বা, $9x(x - 20) + 25(x - 20) = 0$
বা, $(x - 20)(9x + 25) = 0$
হয়, $x - 20 = 0 \implies x = 20$
অথবা, $9x + 25 = 0 \implies x = -\frac{25}{9}$
যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -\frac{25}{9}$
$\therefore x = 20$
প্রথম নলের সময় লাগে $= 20$ মিনিট এবং দ্বিতীয় নলের সময় লাগে $= 20 + 5 = 25$ মিনিট।
উত্তর: নল দুটি পৃথকভাবে যথাক্রমে $20$ মিনিট এবং $25$ মিনিটে চৌবাচ্চাটিকে পূর্ণ করবে।
8. পর্ণা ও পীযূষ একসঙ্গে একটি কাজ $4$ দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজটি করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীযূষের তার চেয়ে $6$ দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কত দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, পর্ণা একাকী কাজটি সম্পন্ন করতে সময় নেয় $= x$ দিন (যেখানে $x > 0$)
$\therefore$ পীযূষ একাকী কাজটি সম্পন্ন করতে সময় নেয় $= (x + 6)$ দিন
পর্ণা $1$ দিনে করে কাজটির $= \frac{1}{x}$ অংশ
এবং পীযূষ $1$ দিনে করে কাজটির $= \frac{1}{x + 6}$ অংশ
$\therefore$ দুজনে একত্রে $1$ দিনে করে $= \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6}\right)$ অংশ
প্রশ্নে দেওয়া আছে, দুজনে একসঙ্গে কাজটি $4$ দিনে সম্পন্ন করে।
$\therefore$ একত্রে $1$ দিনে করে $= \frac{1}{4}$ অংশ
শর্তানুসারে,
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4}$
বা, $\frac{(x + 6) + x}{x(x + 6)} = \frac{1}{4}$
বা, $\frac{2x + 6}{x^2 + 6x} = \frac{1}{4}$
বা, $x^2 + 6x = 4(2x + 6)$
বা, $x^2 + 6x = 8x + 24$
বা, $x^2 - 2x - 24 = 0$
বা, $x^2 - 6x + 4x - 24 = 0$
বা, $x(x - 6) + 4(x - 6) = 0$
বা, $(x - 6)(x + 4) = 0$
হয়, $x - 6 = 0 \implies x = 6$
অথবা, $x + 4 = 0 \implies x = -4$
যেহেতু কাজের দিন সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -4$
$\therefore x = 6$
উত্তর: পর্ণা একাকী $6$ দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে।
9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে $6$ টাকা কমলে $30$ টাকায় আরও $3$টি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
আমরা জানি, $1$ ডজন $= 12$ টি।
ধরি, কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল $= x$ টাকা (যেখানে $x > 6$)
$\therefore$ পূর্বে $1$টি কলমের মূল্য ছিল $= \frac{x}{12}$ টাকা।
$\therefore$ পূর্বে $30$ টাকায় কলম পাওয়া যেত $= \frac{30}{\frac{x}{12}} = \frac{360}{x}$ টি।
কলমের মূল্য ডজনে $6$ টাকা কমলে বর্তমান মূল্য হয় $= (x - 6)$ টাকা প্রতি ডজন।
$\therefore$ বর্তমানে $1$টি কলমের মূল্য $= \frac{x - 6}{12}$ টাকা।
$\therefore$ বর্তমানে $30$ টাকায় কলম পাওয়া যায় $= \frac{30}{\frac{x - 6}{12}} = \frac{360}{x - 6}$ টি।
শর্তানুসারে,
$\frac{360}{x - 6} - \frac{360}{x} = 3$
বা, $360 \left[ \frac{x - (x - 6)}{x(x - 6)} \right] = 3$
বা, $360 \times \frac{6}{x^2 - 6x} = 3$
বা, $\frac{2160}{x^2 - 6x} = 3$
বা, $3(x^2 - 6x) = 2160$
বা, $x^2 - 6x = 720$
বা, $x^2 - 6x - 720 = 0$
বা, $x^2 - 30x + 24x - 720 = 0$ [$-30 \times 24 = -720$ এবং $-30 + 24 = -6$]
বা, $x(x - 30) + 24(x - 30) = 0$
বা, $(x - 30)(x + 24) = 0$
হয়, $x - 30 = 0 \implies x = 30$
অথবা, $x + 24 = 0 \implies x = -24$
যেহেতু দ্রব্যের মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -24$
$\therefore x = 30$
উত্তর: কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল $30$ টাকা।
10. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা —
(A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
দ্বিঘাত সমীকরণের সংজ্ঞানুযায়ী, চলের সর্বোচ্চ ঘাত $2$ হওয়ায় যে-কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা সর্বদা $2$ টি।
সঠিক উত্তর: (b) $2$
11. $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হলে —
(A) $a \neq 0$ (B) $b \neq 0$ (C) $c \neq 0$ (D) কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
যদি $a = 0$ হয়, তবে $ax^2$ পদটি থাকে না এবং সমীকরণটি একঘাত বা রৈখিক সমীকরণ হয়ে যায়। তাই দ্বিঘাত সমীকরণ হওয়ার প্রাথমিক ও আবশ্যক শর্ত হলো $a \neq 0$।
সঠিক উত্তর: (a) $a \neq 0$
12. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত —
(A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
দ্বিঘাত বহুপদী রাশিমালার সর্বোচ্চ ঘাত সর্বদা $2$।
সঠিক উত্তর: (b) $2$
13. $4(5x^2 - 7x + 2) = 5(4x^2 - 6x + 3)$ সমীকরণটি হলো একটি —
(A) রৈখিক সমীকরণ (B) দ্বিঘাত সমীকরণ (C) ত্রিঘাত সমীকরণ (D) কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
$4(5x^2 - 7x + 2) = 5(4x^2 - 6x + 3)$
বা, $20x^2 - 28x + 8 = 20x^2 - 30x + 15$
বা, $20x^2 - 20x^2 - 28x + 30x + 8 - 15 = 0$
বা, $2x - 7 = 0$
যেহেতু $x^2$ পদটি উভয় পক্ষ থেকে কেটে গিয়ে চলের সর্বোচ্চ ঘাত $1$ থাকে, তাই এটি একটি রৈখিক সমীকরণ।
সঠিক উত্তর: (a) রৈখিক সমীকরণ
14. $\frac{x^2}{x} = 6$ সমীকরণটির বীজ/বীজদ্বয় হলো —
(A) $0$ (B) $6$ (C) $-6$ (D) $0$ ও $6$
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা / সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $\frac{x^2}{x} = 6$
যেহেতু হর-এ $x$ রয়েছে, তাই সংজ্ঞাত হওয়ার শর্ত হলো $x \neq 0$।
লব ও হর থেকে $x$ ভাগ করে পাই: $x = 6$
(যেহেতু $x = 0$ গ্রহণযোগ্য নয়, তাই একমাত্র বীজ $6$)।
সঠিক উত্তর: (b) $6$
15. $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ — সত্য না মিথ্যা?
সমাধান:
বামপক্ষ $= (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$
ডানপক্ষ $= x^2 - 6x + 9$
যেহেতু বামপক্ষ ও ডানপক্ষ অভিন্ন এবং $x$-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্যই সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, তাই এটি একটি অভেদ (Identity), কোনো দ্বিঘাত সমীকরণ নয়।
উত্তর: বিবৃতিটি মিথ্যা।
16. $x^2 = 25$ সমীকরণের একটিমাত্র বীজ $5$ — সত্য না মিথ্যা?
সমাধান:
$x^2 = 25 \implies x = \pm \sqrt{25} \implies x = \pm 5$
সমীকরণটির দুটি বীজ রয়েছে: $+5$ এবং $-5$। তাই একটিমাত্র বীজ $5$ বলা ভুল।
উত্তর: বিবৃতিটি মিথ্যা।
17. যদি $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণটির $a = 0$ এবং $b \neq 0$ হয়, তবে সমীকরণটি একটি __________ সমীকরণ।
সমাধান:
$a = 0$ হলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $0 \cdot x^2 + bx + c = 0 \implies bx + c = 0$
যেহেতু এখানে চলের সর্বোচ্চ ঘাত $1$, তাই এটি একটি রৈখিক সমীকরণ।
উত্তর: রৈখিক (Linear)
18. যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই $1$ হয়, তাহলে সমীকরণটি হয় __________।
সমাধান:
বীজদ্বয় $\alpha = 1$ এবং $\beta = 1$ হলে সমীকরণটি হবে:
$(x - 1)(x - 1) = 0$
বা, $x^2 - 2x + 1 = 0$
উত্তর: $x^2 - 2x + 1 = 0$
19. $x^2 = 6x$ সমীকরণটির বীজদ্বয় হলো __________।
সমাধান:
$x^2 = 6x \implies x^2 - 6x = 0 \implies x(x - 6) = 0$
হয় $x = 0$ অথবা $x = 6$
উত্তর: $0$ ও $6$
20. $x^2 + ax + 3 = 0$ সমীকরণের একটি বীজ $1$ হলে, $a$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
যেহেতু প্রদত্ত সমীকরণের একটি বীজ $1$, তাই $x = 1$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।
সমীকরণে $x = 1$ বসিয়ে পাই:
$1^2 + a(1) + 3 = 0$
বা, $1 + a + 3 = 0$
বা, $a + 4 = 0$
বা, $a = -4$
উত্তর: $a$-এর নির্ণেয় মান $-4$।
21. $x^2 - (2 + b)x + 6 = 0$ সমীকরণের একটি বীজ $2$ হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল $= \frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2\text{-এর সহগ}} = \frac{6}{1} = 6$
যেহেতু একটি বীজ $2$, ধরি অপর বীজটি $\beta$।
$\therefore 2 \times \beta = 6 \implies \beta = \frac{6}{2} = 3$
(বিকল্প পদ্ধতি: সমীকরণে $x = 2$ বসালে পাই $4 - 2(2+b) + 6 = 0 \implies 10 - 4 - 2b = 0 \implies 2b = 6 \implies b = 3$। তখন সমীকরণটি হয় $x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0$। সুতরাং অপর বীজ $3$।)
উত্তর: অপর বীজটির মান $3$।
