State Govt Jobs
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-1-koshe-dekhi-1-4-solutions
একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ — কষে দেখি 1.4 সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Koshe Dekhi 1.4)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের প্রথম অধ্যায় "একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ" (Quadratic Equations with One Variable) এর কষে দেখি 1.4 (Koshe Dekhi 1.4)-এর শ্রীধর আচার্যের সূত্র ও সমীকরণ সমাধানের প্রতিটি গাণিতিক সমস্যার সম্পূর্ণ ও সহজ 1-টু-1 সমাধান নিচে দেওয়া হলো।
1. $4x^2 + (2x - 1)(2x + 1) = 4x(2x - 1)$ এই সমীকরণটির সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব কিনা বুঝে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:
$4x^2 + (2x - 1)(2x + 1) = 4x(2x - 1)$
বা, $4x^2 + \{(2x)^2 - 1^2\} = 8x^2 - 4x$
বা, $4x^2 + 4x^2 - 1 = 8x^2 - 4x$
বা, $8x^2 - 1 = 8x^2 - 4x$
বা, $8x^2 - 8x^2 + 4x - 1 = 0$
বা, $4x - 1 = 0$
সমীকরণটিতে চলের সর্বোচ্চ ঘাত $1$, অর্থাৎ এটি কোনো দ্বিঘাত সমীকরণ নয়; এটি একটি রৈখিক (একঘাত) সমীকরণ।
যেহেতু শ্রীধর আচার্যের সূত্র কেবল একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য, তাই এই সমীকরণটিতে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব নয়।
উত্তর: এই সমীকরণটিতে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব নয়।
2. শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি বুঝে লিখি।
সমাধান:
শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কেবল একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ যার আদর্শ রূপ $ax^2 + bx + c = 0$ (যেখানে $a, b, c$ বাস্তব সংখ্যা এবং $a \neq 0$)—এর সমাধান করতে পারি।
উত্তর: একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের ($ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0$) সমাধান করতে পারি।
3. $5x^2 + 2x - 7 = 0$ এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে $x = \frac{k \pm 12}{10}$ পাওয়া গেলে $k$-এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $5x^2 + 2x - 7 = 0$
সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
$a = 5$, $b = 2$, এবং $c = -7$
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \times 5 \times (-7)}}{2 \times 5}$
$= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 140}}{10}$
$= \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{10}$
$= \frac{-2 \pm 12}{10}$
প্রশ্নানুসারে, সমাধানটি $x = \frac{k \pm 12}{10}$ আকারের হলে, তুলনা করে পাই:
$k = -2$
উত্তর: $k$-এর মান হবে $-2$।
4. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি:
$3x^2 + 11x - 4 = 0$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই:
$a = 3$, $b = 11$, এবং $c = -4$
নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$
$= (11)^2 - 4 \times 3 \times (-4)$
$= 121 + 48 = 169 > 0$
যেহেতু নিরূপক $D > 0$, তাই সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$= \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{2 \times 3}$
$= \frac{-11 \pm 13}{6}$
হয়, $x = \frac{-11 + 13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
অথবা, $x = \frac{-11 - 13}{6} = \frac{-24}{6} = -4$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{1}{3}$ এবং $x = -4$।
5. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি:
$(x - 2)(x + 4) + 9 = 0$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
$(x - 2)(x + 4) + 9 = 0$
বা, $x(x + 4) - 2(x + 4) + 9 = 0$
বা, $x^2 + 4x - 2x - 8 + 9 = 0$
বা, $x^2 + 2x + 1 = 0$
সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই:
$a = 1$, $b = 2$, এবং $c = 1$
নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$
যেহেতু নিরূপক $D = 0$, তাই সমীকরণটির বাস্তব ও সমান বীজ আছে।
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$= \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2 \times 1} = \frac{-2}{2} = -1$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = -1$ এবং $x = -1$।
6. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি:
$(4x - 3)^2 - 2(x + 3) = 0$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
$(4x - 3)^2 - 2(x + 3) = 0$
বা, $16x^2 - 24x + 9 - 2x - 6 = 0$
বা, $16x^2 - 26x + 3 = 0$
সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই:
$a = 16$, $b = -26$, এবং $c = 3$
নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$
$= (-26)^2 - 4(16)(3) = 676 - 192 = 484 > 0$
যেহেতু $D > 0$, তাই সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে। ($\sqrt{484} = 22$)
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$= \frac{-(-26) \pm \sqrt{484}}{2 \times 16}$
$= \frac{26 \pm 22}{32}$
হয়, $x = \frac{26 + 22}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2}$
অথবা, $x = \frac{26 - 22}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{3}{2}$ (বা $1\frac{1}{2}$) এবং $x = \frac{1}{8}$।
7. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি:
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই:
$a = 3$, $b = 2$, এবং $c = -1$
নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16 > 0$
যেহেতু $D > 0$, তাই সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$= \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \times 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$
হয়, $x = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
অথবা, $x = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{1}{3}$ এবং $x = -1$।
8. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি:
$3x^2 + 2x + 1 = 0$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই:
$a = 3$, $b = 2$, এবং $c = 1$
নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$
$= (2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8 < 0$
যেহেতু নিরূপকের মান ঋণাত্মক ($D < 0$), তাই এই দ্বিঘাত সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ নেই।
উত্তর: প্রদত্ত সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ নেই।
9. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি:
$10x^2 - x - 3 = 0$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই:
$a = 10$, $b = -1$, এবং $c = -3$
নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$
$= (-1)^2 - 4(10)(-3) = 1 + 120 = 121 > 0$
যেহেতু $D > 0$, তাই বাস্তব বীজ আছে। ($\sqrt{121} = 11$)
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$= \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2 \times 10} = \frac{1 \pm 11}{20}$
হয়, $x = \frac{1 + 11}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$
অথবা, $x = \frac{1 - 11}{20} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{3}{5}$ এবং $x = -\frac{1}{2}$।
10. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি:
$10x^2 - x + 3 = 0$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই:
$a = 10$, $b = -1$, এবং $c = 3$
নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$
$= (-1)^2 - 4(10)(3) = 1 - 120 = -119 < 0$
যেহেতু নিরূপকের মান ঋণাত্মক ($D < 0$), তাই সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ নেই।
উত্তর: প্রদত্ত সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ নেই।
11. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি:
$25x^2 - 30x + 7 = 0$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই:
$a = 25$, $b = -30$, এবং $c = 7$
নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$
$= (-30)^2 - 4(25)(7) = 900 - 700 = 200 > 0$
যেহেতু $D > 0$, তাই সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।
লক্ষ্য করি: $\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}$
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$= \frac{-(-30) \pm \sqrt{200}}{2 \times 25}$
$= \frac{30 \pm 10\sqrt{2}}{50}$
$= \frac{10(3 \pm \sqrt{2})}{50} = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{5}$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{3 + \sqrt{2}}{5}$ এবং $x = \frac{3 - \sqrt{2}}{5}$।
12. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি:
$(4x - 2)^2 + 6x = 25$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
$(4x - 2)^2 + 6x = 25$
বা, $16x^2 - 16x + 4 + 6x - 25 = 0$
বা, $16x^2 - 10x - 21 = 0$
সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই:
$a = 16$, $b = -10$, এবং $c = -21$
নিরূপক ($D$) $= b^2 - 4ac$
$= (-10)^2 - 4(16)(-21) = 100 + 1344 = 1444 > 0$
যেহেতু $D > 0$, তাই বাস্তব বীজ আছে। ($\sqrt{1444} = 38$)
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী:
$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{1444}}{2 \times 16} = \frac{10 \pm 38}{32}$
হয়, $x = \frac{10 + 38}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2}$
অথবা, $x = \frac{10 - 38}{32} = \frac{-28}{32} = -\frac{7}{8}$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{3}{2}$ (বা $1\frac{1}{2}$) এবং $x = -\frac{7}{8}$।
13. সাথি একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুণ অপেক্ষা $6$ সেমি. বেশি। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্যের থেকে $2$ সেমি. কম হয়, তবে সাথির আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, সমকোণী ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য $= x$ সেমি. (যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, $x > 0$)
$\therefore$ অতিভুজের দৈর্ঘ্য $= (2x + 6)$ সেমি.
এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য $= (2x + 6 - 2) = (2x + 4)$ সেমি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$(\text{লম্ব})^2 + (\text{ভূমি})^2 = (\text{অতিভুজ})^2$
বা, $x^2 + (2x + 4)^2 = (2x + 6)^2$
বা, $x^2 + 4x^2 + 16x + 16 = 4x^2 + 24x + 36$
বা, $x^2 + 16x + 16 - 24x - 36 = 0$
বা, $x^2 - 8x - 20 = 0$
সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই: $a = 1, b = -8, c = -20$
শ্রীধর আচার্যের সূত্রে:
$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(-20)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2}$
যেহেতু বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক মান নিয়ে পাই:
$x = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$
অতএব বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য:
ক্ষুদ্রতম বাহু $= 10$ সেমি.
তৃতীয় বাহু $= 2(10) + 4 = 24$ সেমি.
অতিভুজ $= 2(10) + 6 = 26$ সেমি.
উত্তর: সাথির আঁকা ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $10$ সেমি., $24$ সেমি. এবং $26$ সেমি.।
14. যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল $189$ হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, এককের ঘরের অঙ্কটি $= x$ (যেখানে $x$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা)
$\therefore$ দশকের ঘরের অঙ্কটি $= 2x$
$\therefore$ সংখ্যাটি $= 10(2x) + x = 20x + x = 21x$
শর্তানুসারে,
সংখ্যাটিকে তার এককের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল $189$ হয়:
$21x \cdot x = 189$
বা, $21x^2 = 189$
বা, $x^2 = \frac{189}{21} = 9$
বা, $x = \pm 3$
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক, তাই এককের অঙ্ক ঋণাত্মক হতে পারে না। $\therefore x = 3$
উত্তর: এককের ঘরের অঙ্কটি হলো $3$।
15. সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে $1$ মিটার/সেকেন্ড বেশি। $180$ মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অনিকের থেকে $2$ সেকেন্ড আগে পৌঁছায়। অনিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, অনিকের গতিবেগ $= x$ মিটার/সেকেন্ড (যেখানে $x > 0$)
$\therefore$ সালমার গতিবেগ $= (x + 1)$ মিটার/সেকেন্ড
$180$ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে অনিকের সময় লাগে $= \frac{180}{x}$ সেকেন্ড
এবং সালমার সময় লাগে $= \frac{180}{x + 1}$ সেকেন্ড
শর্তানুসারে,
$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 1} = 2$
বা, $180 \left[ \frac{(x + 1) - x}{x(x + 1)} \right] = 2$
বা, $\frac{180}{x^2 + x} = 2$
বা, $2(x^2 + x) = 180$
বা, $x^2 + x = 90$
বা, $x^2 + x - 90 = 0$
শ্রীধর আচার্যের সূত্রে: $a = 1, b = 1, c = -90$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-90)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{-1 \pm 19}{2}$
গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক মান নিয়ে পাই:
$x = \frac{-1 + 19}{2} = \frac{18}{2} = 9$
উত্তর: অনিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে $9$ মিটার।
16. আমাদের পাড়ায় একটি বর্গক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে $5$ মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে $3$ মিটার কম প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ঐ বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা $78$ বর্গমিটার কম হলে, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $= x$ মিটার (যেখানে $x > 3$)
$\therefore$ বর্গক্ষেত্রাকার পার্কটির ক্ষেত্রফল $= x^2$ বর্গমিটার
আয়তক্ষেত্রাকার পার্কটির দৈর্ঘ্য $= (x + 5)$ মিটার এবং প্রস্থ $= (x - 3)$ মিটার
$\therefore$ আয়তক্ষেত্রাকার পার্কটির ক্ষেত্রফল $= (x + 5)(x - 3)$ বর্গমিটার
শর্তানুসারে,
$(x + 5)(x - 3) = 2x^2 - 78$
বা, $x^2 + 2x - 15 = 2x^2 - 78$
বা, $2x^2 - x^2 - 2x - 78 + 15 = 0$
বা, $x^2 - 2x - 63 = 0$
শ্রীধর আচার্যের সূত্রে: $a = 1, b = -2, c = -63$
$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-63)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{2 \pm 16}{2}$
দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক মান নিয়ে পাই:
$x = \frac{2 + 16}{2} = \frac{18}{2} = 9$
উত্তর: বর্গক্ষেত্রাকার পার্কটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $9$ মিটার।
17. আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তাঁর আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট $350$টি লঙ্কার চারা কিনলেন। সারি ধরে চারা গাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে প্রতি সারিতে সারির সংখ্যার থেকে $24$টি করে বেশি গাছ লাগালে আরও $10$টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, জমিতে সারির সংখ্যা $= x$ টি (যেখানে $x > 0$)
$\therefore$ প্রতি সারিতে গাছের সংখ্যা $= (x + 24)$ টি
$\therefore x$ টি সারিতে মোট রোপণ করা গাছের সংখ্যা $= x(x + 24)$ টি
যেহেতু মোট $350$টি চারাগাছের মধ্যে $10$টি অতিরিক্ত থেকে যায়, তাই রোপণ করা মোট গাছের সংখ্যা $= 350 - 10 = 340$ টি।
শর্তানুসারে,
$x(x + 24) = 340$
বা, $x^2 + 24x - 340 = 0$
শ্রীধর আচার্যের সূত্রে: $a = 1, b = 24, c = -340$
$x = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4(1)(-340)}}{2(1)} = \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 1360}}{2} = \frac{-24 \pm \sqrt{1936}}{2} = \frac{-24 \pm 44}{2}$
সারির সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক মান নিয়ে পাই:
$x = \frac{-24 + 44}{2} = \frac{20}{2} = 10$
উত্তর: জমিতে সারির সংখ্যা ছিল $10$ টি।
18. জোসেফ ও কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের চেয়ে $5$ মিনিট সময় কম নেয়। $6$ ঘণ্টা কাজ করে জোসেফ কুন্তলের চেয়ে $6$টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই সময়ে কয়টি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, $6$ ঘণ্টা $= 6 \times 60 = 360$ মিনিট।
ধরি, একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের সময় লাগে $= x$ মিনিট (যেখানে $x > 5$)
$\therefore$ জোসেফের সময় লাগে $= (x - 5)$ মিনিট
কুন্তল $360$ মিনিটে জিনিস তৈরি করে $= \frac{360}{x}$ টি
এবং জোসেফ $360$ মিনিটে জিনিস তৈরি করে $= \frac{360}{x - 5}$ টি
শর্তানুসারে,
$\frac{360}{x - 5} - \frac{360}{x} = 6$
বা, $360 \left[ \frac{x - (x - 5)}{x(x - 5)} \right] = 6$
বা, $\frac{360 \times 5}{x^2 - 5x} = 6$
বা, $\frac{1800}{x^2 - 5x} = 6$
বা, $6(x^2 - 5x) = 1800$
বা, $x^2 - 5x = 300$
বা, $x^2 - 5x - 300 = 0$
শ্রীধর আচার্যের সূত্রে: $a = 1, b = -5, c = -300$
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-300)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 1200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1225}}{2} = \frac{5 \pm 35}{2}$
সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = \frac{5 + 35}{2} = \frac{40}{2} = 20$ মিনিট।
অতএব কুন্তলের 1টি জিনিস তৈরিতে সময় লাগে $20$ মিনিট।
$\therefore$ কুন্তল $6$ ঘণ্টায় (বা $360$ মিনিটে) জিনিস তৈরি করবে $= \frac{360}{20} = 18$ টি।
উত্তর: কুন্তল ওই সময়ে মোট $18$টি জিনিস তৈরি করে।
19. স্থির জলে একটি নৌকার গতিবেগ $8$ কিমি. প্রতি ঘণ্টা। নৌকাটি $5$ ঘণ্টায় স্রোতের অনুকূলে $15$ কিমি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে $22$ কিমি. গেলে স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, স্রোতের বেগ $= x$ কিমি./ঘণ্টা (যেখানে $0 < x < 8$)
স্থির জলে নৌকার বেগ $= 8$ কিমি./ঘণ্টা
$\therefore$ স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকর বেগ $= (8 + x)$ কিমি./ঘণ্টা
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার কার্যকর বেগ $= (8 - x)$ কিমি./ঘণ্টা
অনুকূলে $15$ কিমি. যেতে সময় লাগে $= \frac{15}{8 + x}$ ঘণ্টা
এবং প্রতিকূলে $22$ কিমি. যেতে সময় লাগে $= \frac{22}{8 - x}$ ঘণ্টা
শর্তানুসারে,
$\frac{15}{8 + x} + \frac{22}{8 - x} = 5$
বা, $\frac{15(8 - x) + 22(8 + x)}{(8 + x)(8 - x)} = 5$
বা, $\frac{120 - 15x + 176 + 22x}{64 - x^2} = 5$
বা, $\frac{296 + 7x}{64 - x^2} = 5$
বা, $5(64 - x^2) = 296 + 7x$
বা, $320 - 5x^2 = 296 + 7x$
বা, $5x^2 + 7x + 296 - 320 = 0$
বা, $5x^2 + 7x - 24 = 0$
শ্রীধর আচার্যের সূত্রে: $a = 5, b = 7, c = -24$
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(5)(-24)}}{2 \times 5} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 480}}{10} = \frac{-7 \pm \sqrt{529}}{10} = \frac{-7 \pm 23}{10}$
যেহেতু গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক মান নিয়ে পাই:
$x = \frac{-7 + 23}{10} = \frac{16}{10} = 1.6$
উত্তর: স্রোতের গতিবেগ ছিল ঘণ্টায় $1.6$ কিমি. (বা $1\frac{3}{5}$ কিমি.)।
