পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবই এবং ছাত্র মিত্র সহায়ক গ্রন্থের ষড়বিংশ অধ্যায় রাশিবিজ্ঞানের কষে দেখি 26.4 (সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়, বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন MCQ, সত্য/মিথ্যা, শূন্যস্থান পূরণ ও SAQ)-এর সমস্ত প্রশ্নের নিখুঁত সমাধান।
রাশিবিজ্ঞানের কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপক সূত্রাবলি (Key Statistics Formulas):
- যৌগিক গড় (প্রত্যক্ষ পদ্ধতি): $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$
- যৌগিক গড় (কল্পিত গড় পদ্ধতি): $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$, যেখানে $d_i = x_i - a$
- যৌগিক গড় (ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতি): $\bar{x} = a + h \times \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}$, যেখানে $u_i = \frac{x_i - a}{h}$ এবং $h$ হলো সমশ্রেণি দৈর্ঘ্য
- মধ্যমা (শ্রেণিভুক্ত তথ্যের সূত্র): $\text{Median} = L + \left(\frac{\frac{N}{2} - cf}{f}\right) \times h$ ($L$ = মধ্যমা শ্রেণির নিম্ন সীমানা, $cf$ = পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা, $f$ = মধ্যমা শ্রেণির পরিসংখ্যা, $h$ = শ্রেণি দৈর্ঘ্য)
- সংখ্যাগুরুমান (Mode সূত্র): $\text{Mode} = L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h$ ($f_1$ = সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির পরিসংখ্যা, $f_0$ = পূর্ববর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা, $f_2$ = পরবর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা)
- অভিজ্ঞতালব্ধ সম্পর্ক: $\text{Mode} = 3 \times \text{Median} - 2 \times \text{Mean}$ ($\text{সংখ্যাগুরুমান} = 3 \times \text{মধ্যমা} - 2 \times \text{যৌগিক গড়}$)
প্রশ্ন 1. বন্ধুদের প্রাপ্ত খরচের টাকার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় (দ্বি-সংখ্যাগুরুমান)
$$15, 16, 17, 18, 17, 19, 17, 15, 15, 10, 17, 16, 15, 16, 18, 11$$ আমাদের বন্ধুদের প্রতিদিন পাওয়া অর্থের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে লিখে পাই:
10, 11, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19
সংখ্যাগুলির পরিসংখ্যার তালিকা তৈরি করি:
| টাকা ($x$) | 10 | 11 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| বন্ধুর সংখ্যা / পরিসংখ্যা ($f$) | 1 | 1 | 4 | 3 | 4 | 2 | 1 |
তালিকা থেকে দেখা যাচ্ছে যে, 15 এবং 17 উভয় সংখ্যাই সমান সর্বাধিক 4 বার করে আছে।
যেহেতু দুটি সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থিত, এটি একটি দ্বি-সংখ্যাগুরুমান (Bi-modal) তথ্য।
উত্তর: বন্ধুদের প্রতিদিন পাওয়া অর্থের সংখ্যাগুরুমান যথাক্রমে 15 টাকা এবং 17 টাকা।
প্রশ্ন 2. ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়
$$131, 130, 130, 132, 131, 133, 131, 134, 131, 132, 132, 131, 133, 130, 132, 130, 133, 135, 131, 135, 131, 135, 130, 132, 135, 134, 133$$ ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
130 (5 বার), 131 (7 বার), 132 (5 বার), 133 (4 বার), 134 (2 বার), 135 (4 বার)
উচ্চতার মানগুলির পরিসংখ্যা ছক তৈরি করে পাই:
| উচ্চতা (সেমি) | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা ($f$) | 5 | 7 | 5 | 4 | 2 | 4 |
ছক থেকে স্পষ্ট যে, 131 সেমি মানটি সর্বাধিক 7 বার উপস্থিত রয়েছে।
উত্তর: ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতার সংখ্যাগুরুমান হলো 131 সেমি।
প্রশ্ন 3(i). প্রদত্ত রাশিমালার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়
$$8, 5, 4, 6, 7, 4, 4, 3, 5, 4, 5, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 3, 5, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 2, 3, 4$$
সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8
সংখ্যাগুলির পরিসংখ্যার তালিকা তৈরি করি:
| মান ($x$) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| পরিসংখ্যা ($f$) | 1 | 4 | 12 | 10 | 2 | 1 | 1 |
তালিকা থেকে স্পষ্ট দেখা যাচ্ছে যে, 4 সংখ্যাটি সর্বাধিক 12 বার উপস্থিত আছে।
উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান 4।
প্রশ্ন 3(ii). প্রদত্ত রাশিমালার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় (দ্বি-সংখ্যাগুরুমান)
$$15, 11, 10, 8, 15, 18, 17, 15, 10, 19, 10, 11, 10, 8, 19, 15, 10, 18, 15, 3, 16, 14, 17, 2$$
সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
2, 3, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19
সংখ্যাগুলির পরিসংখ্যার তালিকা তৈরি করি:
| মান ($x$) | 2 | 3 | 8 | 10 | 11 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| পরিসংখ্যা ($f$) | 1 | 1 | 2 | 5 | 2 | 1 | 5 | 1 | 2 | 2 | 2 |
এখানে 10 এবং 15 উভয় সংখ্যাই সমান সর্বাধিক 5 বার করে উপস্থিত। এটি একটি দ্বি-সংখ্যাগুরুমান তথ্য।
উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান যথাক্রমে 10 এবং 15।
প্রশ্ন 4. জুতোর দোকানের বিক্রির সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়
| সাইজ ($x_i$) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| পরিসংখ্যা ($f_i$) | 3 | 4 | 5 | 3 | 5 | 4 | 3 | 2 |
সমাধান:
উপরের ছক থেকে দেখা যাচ্ছে যে, 4 নম্বর সাইজের জুতো 5 জন এবং 6 নম্বর সাইজের জুতো 5 জন নিয়েছে, যা সর্বাধিক পরিসংখ্যা (5)।
যেহেতু সর্বাধিক পরিসংখ্যা 5 এবং এর অনুরূপ দুটি পৃথক সাইজ রয়েছে (4 এবং 6), তাই প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 2টি।
উত্তর: বিক্রিত জুতোর মাপের সংখ্যাগুরুমান হলো 4 নম্বর এবং 6 নম্বর।
প্রশ্ন 5. পরীক্ষার্থীদের বয়সের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়
| বয়স (বছর) | 16–18 | 18–20 | 20–22 | 22–24 | 24–26 |
|---|---|---|---|---|---|
| পরীক্ষার্থীর সংখ্যা | 45 | 75 | 38 | 22 | 20 |
সমাধান:
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজনে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 75, যা 18–20 শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত। সুতরাং সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণিটি হলো 18–20।
আমরা জানি, সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়ের সূত্র:
$$\text{Mode} = L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h$$এখানে:
- সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্ন শ্রেণি সীমানা $L = 18$
- সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির পরিসংখ্যা $f_1 = 75$
- সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির ঠিক পূর্ববর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা $f_0 = 45$
- সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির ঠিক পরবর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা $f_2 = 38$
- শ্রেণি দৈর্ঘ্য $h = 20 - 18 = 2$
সূত্রে মান বসিয়ে পাই:
$$\text{Mode} = 18 + \left(\frac{75 - 45}{2(75) - 45 - 38}\right) \times 2$$ $$= 18 + \left(\frac{30}{150 - 83}\right) \times 2 = 18 + \frac{60}{67}$$ $$= 18 + 0.8955 \approx 18.90$$উত্তর: পরীক্ষার্থীদের বয়সের নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান 18.90 বছর (প্রায়)।
প্রশ্ন 6. পর্যায়ক্রমিক পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বরের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়
| নম্বর | 0–5 | 5–10 | 10–15 | 15–20 | 20–25 | 25–30 | 30–35 | 35–40 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা | 2 | 6 | 10 | 16 | 22 | 11 | 8 | 5 |
সমাধান:
প্রদত্ত বিভাজনে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 22, যা 20–25 শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত। সুতরাং সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণিটি হলো 20–25।
সংখ্যাগুরুমানের সূত্র:
$$\text{Mode} = L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h$$এখানে:
- $L = 20$ (নিম্ন শ্রেণি সীমানা)
- $f_1 = 22$ (সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির পরিসংখ্যা)
- $f_0 = 16$ (পূর্ববর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা)
- $f_2 = 11$ (পরবর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা)
- $h = 5$ (শ্রেণি দৈর্ঘ্য)
মান বসিয়ে পাই:
$$\text{Mode} = 20 + \left(\frac{22 - 16}{2(22) - 16 - 11}\right) \times 5$$ $$= 20 + \left(\frac{6}{44 - 27}\right) \times 5 = 20 + \frac{30}{17}$$ $$= 20 + 1.7647 \approx 21.76$$উত্তর: প্রাপ্ত নম্বরের নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান 21.76 (প্রায়)।
প্রশ্ন 7. পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়
| শ্রেণি | 0–5 | 5–10 | 10–15 | 15–20 | 20–25 | 25–30 | 30–35 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| পরিসংখ্যা | 5 | 12 | 18 | 28 | 17 | 12 | 8 |
সমাধান:
প্রদত্ত বিভাজনে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 28, যা 15–20 শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত। সুতরাং সংখ্যাগুরুমান শ্রেণিটি হলো 15–20।
এখানে:
- $L = 15$
- $f_1 = 28$
- $f_0 = 18$
- $f_2 = 17$
- $h = 5$
সংখ্যাগুরুমানের সূত্রে মান বসিয়ে পাই:
$$\text{Mode} = L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h$$ $$= 15 + \left(\frac{28 - 18}{2(28) - 18 - 17}\right) \times 5$$ $$= 15 + \left(\frac{10}{56 - 35}\right) \times 5 = 15 + \frac{50}{21}$$ $$= 15 + 2.3809 \approx 17.38$$উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান 17.38 (প্রায়)।
প্রশ্ন 8. অন্তর্ভুক্তিমূলক শ্রেণি সীমানার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়
| শ্রেণি | 45–54 | 55–64 | 65–74 | 75–84 | 85–94 | 95–104 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| পরিসংখ্যা | 8 | 13 | 19 | 32 | 12 | 6 |
সমাধান:
প্রদত্ত শ্রেণিগুলি অন্তর্ভুক্তিমূলক (inclusive) পদ্ধতিতে আছে। শ্রেণি সীমানায় রূপান্তর করে পাই:
| শ্রেণি সীমা | শ্রেণি সীমানা | পরিসংখ্যা ($f$) |
|---|---|---|
| 45–54 | 44.5–54.5 | 8 |
| 55–64 | 54.5–64.5 | 13 |
| 65–74 | 64.5–74.5 | 19 ($f_0$) |
| 75–84 | 74.5–84.5 | 32 ($f_1$) [সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি] |
| 85–94 | 84.5–94.5 | 12 ($f_2$) |
| 95–104 | 94.5–104.5 | 6 |
এখানে সর্বাধিক পরিসংখ্যা $f_1 = 32$, যা 74.5–84.5 শ্রেণিতে রয়েছে।
- $L = 74.5$
- $f_1 = 32$
- $f_0 = 19$
- $f_2 = 12$
- $h = 84.5 - 74.5 = 10$
সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়:
$$\text{Mode} = L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h$$ $$= 74.5 + \left(\frac{32 - 19}{2(32) - 19 - 12}\right) \times 10$$ $$= 74.5 + \left(\frac{13}{64 - 31}\right) \times 10 = 74.5 + \frac{130}{33}$$ $$= 74.5 + 3.9393 \approx 78.44$$উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান 78.44 (প্রায়)।
প্রশ্ন 10(A)(i). বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ): মধ্যমা নির্ণয়ের লেখচিত্র
(a) পরিসংখ্যা রেখা (b) পরিসংখ্যা বহুভুজ (c) আয়তলেখ (d) ওজাইভ
সমাধান:
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার লেখচিত্র অর্থাৎ ‘ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ’ এবং ‘বৃহত্তর সূচক ওজাইভ’-এর ছেদবিন্দুর ভুজ ($x$-স্থানাঙ্ক) থেকে সরাসরি মধ্যমা নির্ণয় করা যায়।
উত্তর: সঠিক বিকল্প হলো (d) ওজাইভ।
প্রশ্ন 10(A)(ii). বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ): রাশিগুলির গড় থেকে সমীকরণ নির্ণয়
(a) $x + y = 21$ (b) $x + y = 19$ (c) $x - y = 21$ (d) $x - y = 19$
সমাধান:
এখানে মোট পদের সংখ্যা = 6।
প্রশ্নানুসারে, গড় = 9।
$$\frac{6 + 7 + x + 8 + y + 14}{6} = 9$$ $$35 + x + y = 54$$ $$x + y = 54 - 35 = 19$$উত্তর: সঠিক বিকল্প হলো (b) $x + y = 19$।
প্রশ্ন 10(A)(iii). বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ): মধ্যমা পরিবর্তন নিরূপণ
(a) 2 (b) 1.5 (c) 1 (d) 0.5
সমাধান:
প্রদত্ত সাজানো তথ্যে পদের সংখ্যা $n = 8$ (জোড়)।
$$\text{প্রাথমিক মধ্যমা} = \frac{4\text{র্থ পদ} + 5\text{ম পদ}}{2} = \frac{36 + 37}{2} = \frac{73}{2} = 36.5$$এখন 35 বাদ দিলে নতুন রাশিতথ্য হয়: $30, 34, 36, 37, 38, 39, 40$ (যেখানে পদসংখ্যা $n = 7$, বিজোড়)।
$$\text{নতুন মধ্যমা} = \left(\frac{7+1}{2}\right)\text{-তম পদ} = 4\text{র্থ পদ} = 37$$ $$\text{মধ্যমা বৃদ্ধি} = 37 - 36.5 = 0.5$$উত্তর: সঠিক বিকল্প হলো (d) 0.5।
প্রশ্ন 10(A)(iv). বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ): সংখ্যাগুরুমান থেকে অজ্ঞাত চলক নির্ণয়
(a) 15 (b) 16 (c) 17 (d) 19
সমাধান:
প্রদত্ত রাশিমালার মানগুলির পুনরাবৃত্তি দেখি:
- 14 এসেছে 1 বার
- 15 এসেছে 2 বার
- 16 এসেছে 2 বার
- 17 এসেছে 2 বার
- 19 এসেছে 1 বার
তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান 15 হতে হলে 15-কে সর্বাধিক বার থাকতে হবে। অর্থাৎ 15-এর পরিসংখ্যা অন্য যেকোনো সংখ্যার চেয়ে বেশি হতে হবে।
অতএব $x$-এর মান অবশ্যই 15 হতে হবে, যাতে 15 সংখ্যাটি মোট 3 বার আসে।
উত্তর: সঠিক বিকল্প হলো (a) 15।
প্রশ্ন 10(A)(v). বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ): মধ্যমা থেকে x নির্ণয়
(a) 22 (b) 21 (c) 20 (d) 24
সমাধান:
এখানে মোট পদসংখ্যা $n = 10$ (জোড় সংখ্যা)।
$$\text{মধ্যমা} = \frac{\left(\frac{10}{2}\right)\text{-তম পদ} + \left(\frac{10}{2} + 1\right)\text{-তম পদ}}{2} = \frac{5\text{ম পদ} + 6\text{ষ্ঠ পদ}}{2}$$ $$\text{মধ্যমা} = \frac{(x + 2) + (x + 4)}{2} = \frac{2x + 6}{2} = x + 3$$প্রশ্নানুসারে, মধ্যমা = 24:
$$x + 3 = 24 \implies x = 24 - 3 = 21$$উত্তর: সঠিক বিকল্প হলো (b) 21।
প্রশ্ন 10(B)(i). সত্য বা মিথ্যা নিরূপণ: সংখ্যাগুরুমান পরীক্ষা
$2, 3, 9, 10, 9, 3, 9$ তথ্যের সংখ্যাগুরুমান হলো 10।
সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যে সংখ্যাগুলির উপস্থিতি:
- 2 এসেছে 1 বার
- 3 এসেছে 2 বার
- 9 এসেছে 3 বার
- 10 এসেছে 1 বার
এখানে 9 সংখ্যাটি সর্বাধিক 3 বার উপস্থিত রয়েছে। সুতরাং তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান হলো 9, 10 নয়।
উত্তর: বিবৃতিটি মিথ্যা।
প্রশ্ন 10(B)(ii). সত্য বা মিথ্যা নিরূপণ: তথ্যের মধ্যমা পরীক্ষা
$3, 14, 18, 20, 5$ তথ্যের মধ্যমা 18।
সমাধান:
প্রদত্ত 5টি সংখ্যাকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
3, 5, 14, 18, 20
এখানে পদসংখ্যা $n = 5$ (বিজোড়)।
$$\text{মধ্যমা} = \left(\frac{5 + 1}{2}\right)\text{-তম পদ} = 3\text{য় পদ} = 14$$কিন্তু প্রশ্নে মধ্যমা 18 বলা হয়েছে।
উত্তর: বিবৃতিটি মিথ্যা।
প্রশ্ন 10(C)(i). শূন্যস্থান পূরণ: কেন্দ্রীয় প্রবণতার মাপক
যৌগিক গড়, মধ্যমা, সংখ্যাগুরুমান হলো ______ প্রবণতার মাপক।
সমাধান:
পরিসংখ্যানে যৌগিক গড় (Mean), মধ্যমা (Median) এবং সংখ্যাগুরুমান (Mode) হলো কেন্দ্রীয় প্রবণতার তিনটি প্রধান পরিমাপক (Measures of Central Tendency)।
উত্তর: শূন্যস্থানে বসবে কেন্দ্রীয়।
প্রশ্ন 10(C)(ii). শূন্যস্থান পূরণ: ধ্রুবক গুণিতকের গড়
$x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$-এর গড় $\bar{x}$ হলে, $ax_1, ax_2, ax_3, \dots, ax_n$-এর গড় ______ ($a \neq 0$)।
সমাধান:
আমরা জানি, প্রতিটি মানকে অশূন্য ধ্রুবক $a$ দিয়ে গুণ করলে নতুন গড়টিও মূল গড়ের $a$ গুণ হয়:
$$\text{নতুন গড়} = \frac{ax_1 + ax_2 + \dots + ax_n}{n} = a\left(\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\right) = a\bar{x}$$উত্তর: শূন্যস্থানে বসবে $a\bar{x}$।
প্রশ্ন 10(C)(iii). শূন্যস্থান পূরণ: ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতির শর্ত
ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে বিন্যস্ত রাশিতথ্যের যৌগিক গড় নির্ণয়ের সময় সকল শ্রেণির শ্রেণি-দৈর্ঘ্য ______ হতে হয়।
সমাধান:
ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে $u_i = \frac{x_i - a}{h}$ সূত্র প্রয়োগ করার জন্য প্রতিটি শ্রেণির দৈর্ঘ্য $h$-এর মান পরস্পর সমান হতে হয়।
উত্তর: শূন্যস্থানে বসবে সমান।
প্রশ্ন 11(i). সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন (SAQ): মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির সীমানার অন্তরফল
| শ্রেণি সীমা | 65–85 | 85–105 | 105–125 | 125–145 | 145–165 | 165–185 | 185–205 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| পরিসংখ্যা | 4 | 15 | 3 | 20 | 14 | 7 | 14 |
সমাধান:
প্রথমে ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার তালিকা তৈরি করি:
| শ্রেণি সীমা | পরিসংখ্যা ($f$) | ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ($cf$) |
|---|---|---|
| 65–85 | 4 | 4 |
| 85–105 | 15 | 19 |
| 105–125 | 3 | 22 |
| 125–145 | 20 | 42 |
| 145–165 | 14 | 56 |
| 165–185 | 7 | 63 |
| 185–205 | 14 | 77 |
এখানে মোট পরিসংখ্যা $n = 77$, সুতরাং $\frac{n}{2} = \frac{77}{2} = 38.5$।
38.5 এর ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হলো 42, যার অনুরূপ শ্রেণিটি হলো 125–145।
অতএব মধ্যমা শ্রেণি = 125–145, যার ঊর্ধ্বসীমানা = 145।
আবার, ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 20, যার অনুরূপ সংখ্যাগুরুমান শ্রেণিটিও হলো 125–145।
অতএব সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্নসীমানা = 125।
নির্ণেয় অন্তরফল = মধ্যমা শ্রেণির ঊর্ধ্বসীমানা − সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্নসীমানা
$$= 145 - 125 = 20$$উত্তর: নির্ণেয় অন্তরফল হলো 20।
প্রশ্ন 11(ii). সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন (SAQ): অ্যাথলিটদের ক্রমযৌগিক হিসাব
| সময় (সেকেন্ডে) | 13.8–14 | 14–14.2 | 14.2–14.4 | 14.4–14.6 | 14.6–14.8 | 14.8–15 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| অ্যাথলিটের সংখ্যা | 2 | 4 | 5 | 71 | 48 | 20 |
সমাধান:
14.6 সেকেন্ডের কম সময়ের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার ছক তৈরি করি:
| সময় | অ্যাথলিটের সংখ্যা |
|---|---|
| 14-এর কম | 2 |
| 14.2-এর কম | 2 + 4 = 6 |
| 14.4-এর কম | 6 + 5 = 11 |
| 14.6-এর কম | 11 + 71 = 82 |
| 14.8-এর কম | 82 + 48 = 130 |
| 15-এর কম | 130 + 20 = 150 |
ছক থেকে স্পষ্ট যে, 14.6 সেকেন্ডের কম সময়ে দৌড় সম্পূর্ণ করেছে প্রথম চারটি শ্রেণির মোট অ্যাথলিট সংখ্যা:
$$2 + 4 + 5 + 71 = 82\text{ জন}$$উত্তর: 14.6 সেকেন্ডের কম সময়ে 82 জন অ্যাথলিট 100 মিটার দৌড় সম্পন্ন করে।
প্রশ্ন 11(iii). সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন (SAQ): গড় থেকে k নির্ণয়
সমাধান:
আমরা জানি, প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে যৌগিক গড় $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$।
প্রশ্নানুসারে মান বসিয়ে পাই:
$$\frac{132 + 5k}{20} = 8.1$$ $$132 + 5k = 8.1 \times 20$$ $$132 + 5k = 162$$ $$5k = 162 - 132 = 30$$ $$k = \frac{30}{5} = 6$$উত্তর: নির্ণেয় $k$-এর মান 6।
প্রশ্ন 11(iv). সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন (SAQ): ক্রমবিচ্যুতি থেকে গড় নির্ণয়
সমাধান:
ক্রমবিচ্যুতির প্রমিত রূপ $u_i = \frac{x_i - a}{h}$-এর সঙ্গে তুলনা করে পাই:
- কল্পিত গড় $a = 25$
- শ্রেণি দৈর্ঘ্য $h = 10$
ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতিতে যৌগিক গড়ের সূত্র:
$$\bar{x} = a + h \times \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right)$$মান বসিয়ে পাই:
$$\bar{x} = 25 + 10 \times \left(\frac{20}{100}\right)$$ $$\bar{x} = 25 + 10 \times 0.2 = 25 + 2 = 27$$উত্তর: নির্ণেয় $\bar{x}$-এর মান 27।
প্রশ্ন 11(v). সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন (SAQ): সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি নির্ধারণ
| নম্বর | 0–10 | 10–20 | 20–30 | 30–40 | 40–50 | 50–60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা | 3 | 9 | 18 | 30 | 18 | 5 |
সমাধান:
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায় যে, ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা অর্থাৎ পরিসংখ্যার সর্বাধিক মান হলো 30।
এই সর্বাধিক পরিসংখ্যা 30-এর অনুরূপ নম্বর শ্রেণিটি হলো 30–40।
যেহেতু সর্বাধিক পরিসংখ্যাযুক্ত শ্রেণিটিই সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি (Modal Class) হয়,
উত্তর: সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণিটি হলো 30–40।
