State Govt Jobs
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-26-statistics-koshe-dekhi-26-solutions
রাশিবিজ্ঞান — কষে দেখি 26 সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Statistics Koshe Dekhi 26)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 26: রাশিবিজ্ঞান: গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode)-এর অন্তর্গত কষে দেখি 26.1, 26.2, 26.3 ও 26.4-এর প্রতিটি গাণিতিক সমস্যার সূত্রাবলি, সারণি ও ধাপে ধাপে সম্পূর্ণ সমাধান নিচে বিস্তারিতভাবে প্রদান করা হলো।
চিত্র 1: ক্ষুদ্রতর ও বৃহত্তর সূচক ওজাইভের ছেদবিন্দু থেকে মধ্যমা নির্ণয়
রাশিবিজ্ঞানের কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপের প্রধান সূত্রাবলি:
- 1. প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে গড় (Direct Mean): $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$
- 2. কল্পিত গড় পদ্ধতিতে গড় (Assumed Mean): $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$, যেখানে $d_i = x_i - a$ এবং $a$ হলো কল্পিত গড়।
- 3. ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতিতে গড় (Step Deviation Mean): $\bar{x} = a + h \cdot \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}$, যেখানে $u_i = \frac{x_i - a}{h}$ এবং $h$ শ্রেণি দৈর্ঘ্য।
- 4. মধ্যমা (Median): $\text{Median} = l + \left(\frac{\frac{N}{2} - c.f.}{f}\right) \times h$
- 5. সংখ্যাগুরুমান (Mode): $\text{Mode} = l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h$
- 6. পরীক্ষামূলক সম্পর্ক (Empirical Relation): $\text{সংখ্যাগুরুমান} = 3 \times \text{মধ্যমা} - 2 \times \text{গড়}$ ($\text{Mode} = 3\text{ Median} - 2\text{ Mean}$)
কষে দেখি 26.1 — যৌগিক গড় (Mean) সমাধান
1. প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নিচের তথ্যের যৌগিক গড় নির্ণয় করি:
শ্রেণি সীমানা: $0 - 10$, $10 - 20$, $20 - 30$, $30 - 40$, $40 - 50$
পরিসংখ্যা ($f_i$): $4$, $6$, $10$, $6$, $4$
সমাধান:
প্রত্যক্ষ পদ্ধতির গণনা সারণি নিচে গঠন করা হলো:
| শ্রেণি সীমানা | শ্রেণি মধ্যক ($x_i$) | পরিসংখ্যা ($f_i$) | $f_i x_i$ |
|---|---|---|---|
| $0 - 10$ | $5$ | $4$ | $20$ |
| $10 - 20$ | $15$ | $6$ | $90$ |
| $20 - 30$ | $25$ | $10$ | $250$ |
| $30 - 40$ | $35$ | $6$ | $210$ |
| $40 - 50$ | $45$ | $4$ | $180$ |
| মোট | $\sum f_i = 30$ | $\sum f_i x_i = 750$ | |
অতএব নির্ণেয় যৌগিক গড়:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{750}{30} = 25$
উত্তর: নির্ণেয় যৌগিক গড় হলো $25$।
2. ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতিতে নিচের তথ্যের যৌগিক গড় নির্ণয় করি:
শ্রেণি সীমানা: $10 - 20$, $20 - 30$, $30 - 40$, $40 - 50$, $50 - 60$, $60 - 70$
পরিসংখ্যা ($f_i$): $6$, $8$, $12$, $15$, $5$, $4$
সমাধান:
শ্রেণি দৈর্ঘ্য $h = 10$। ধরি কল্পিত গড় $a = 45$ (শ্রেণি মধ্যক $40-50$-এর)।
$u_i = \frac{x_i - a}{h} = \frac{x_i - 45}{10}$।
| শ্রেণি সীমানা | শ্রেণি মধ্যক ($x_i$) | পরিসংখ্যা ($f_i$) | $u_i = \frac{x_i - 45}{10}$ | $f_i u_i$ |
|---|---|---|---|---|
| $10 - 20$ | $15$ | $6$ | $-3$ | $-18$ |
| $20 - 30$ | $25$ | $8$ | $-2$ | $-16$ |
| $30 - 40$ | $35$ | $12$ | $-1$ | $-12$ |
| $40 - 50$ | $45$ ($a$) | $15$ | $0$ | $0$ |
| $50 - 60$ | $55$ | $5$ | $+1$ | $+5$ |
| $60 - 70$ | $65$ | $4$ | $+2$ | $+8$ |
| মোট | $\sum f_i = 50$ | — | $\sum f_i u_i = -33$ | |
ঋণাত্মক মানসমূহের যোগফল: $-18 - 16 - 12 = -46$
ধনাত্মক মানসমূহের যোগফল: $5 + 8 = 13$
$\sum f_i u_i = -46 + 13 = -33$
অতএব ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতিতে নির্ণেয় যৌগিক গড়:
$\bar{x} = a + h \cdot \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} = 45 + 10 \cdot \left(\frac{-33}{50}\right) = 45 - \frac{33}{5} = 45 - 6.6 = 38.4$
উত্তর: প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় হলো $38.4$।
কষে দেখি 26.2 — মধ্যমা (Median) সমাধান
3. নিচের তথ্যের মধ্যমা (Median) নির্ণয় করি:
শ্রেণি সীমানা: $1 - 10$, $11 - 20$, $21 - 30$, $31 - 40$, $41 - 50$, $51 - 60$
পরিসংখ্যা: $4$, $7$, $10$, $15$, $10$, $4$
সমাধান:
এখানে শ্রেণিগুলি অন্তর্ভুক্তিমূলক (Inclusive), তাই শ্রেণি সীমা থেকে প্রকৃত শ্রেণি সীমানা গঠন করি ($0.5$ বিয়োগ ও যোগ করে)।
| শ্রেণি সীমানা | প্রকৃত শ্রেণি সীমানা | পরিসংখ্যা ($f$) | ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ($c.f.$) |
|---|---|---|---|
| $1 - 10$ | $0.5 - 10.5$ | $4$ | $4$ |
| $11 - 20$ | $10.5 - 20.5$ | $7$ | $11$ |
| $21 - 30$ | $20.5 - 30.5$ | $10$ | $21$ |
| $31 - 40$ | $30.5 - 40.5$ | $15$ | $36$ (মধ্যমা শ্রেণি) |
| $41 - 50$ | $40.5 - 50.5$ | $10$ | $46$ |
| $51 - 60$ | $50.5 - 60.5$ | $4$ | $50$ |
এখানে মোট পরিসংখ্যা $N = 50$।
অতএব $\frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25$।
$25$-এর ঠিক পরবর্তী ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হলো $36$, যার সংলগ্ন শ্রেণি হলো $30.5 - 40.5$।
অতএব মধ্যমা শ্রেণি (Median Class) হলো $30.5 - 40.5$।
মধ্যমার সূত্র:
$\text{Median} = l + \left(\frac{\frac{N}{2} - c.f.}{f}\right) \times h$
যেখানে:
$l = 30.5$ (মধ্যমা শ্রেণির নিম্ন সীমানা)
$N/2 = 25$
$c.f. = 21$ (মধ্যমা শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা)
$f = 15$ (মধ্যমা শ্রেণির পরিসংখ্যা)
$h = 10$ (শ্রেণি দৈর্ঘ্য)
মান বসিয়ে পাই:
$\text{Median} = 30.5 + \left(\frac{25 - 21}{15}\right) \times 10$
$= 30.5 + \left(\frac{4}{15}\right) \times 10 = 30.5 + \frac{40}{15} = 30.5 + 2.67 = 33.17$
উত্তর: প্রদত্ত তথ্যের মধ্যমা হলো প্রায় $33.17$।
কষে দেখি 26.4 — সংখ্যাগুরুমান (Mode) সমাধান
4. নিচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে সংখ্যাগুরুমান (Mode) নির্ণয় করি:
শ্রেণি সীমানা: $0 - 10$, $10 - 20$, $20 - 30$, $30 - 40$, $40 - 50$, $50 - 60$, $60 - 70$, $70 - 80$
পরিসংখ্যা: $4$, $8$, $12$, $20$, $16$, $10$, $6$, $4$
সমাধান:
প্রদত্ত সারণিতে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো $20$, যা $30 - 40$ শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত।
অতএব সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি (Modal Class) হলো $30 - 40$।
সংখ্যাগুরুমানের সূত্র:
$\text{Mode} = l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h$
যেখানে:
$l = 30$ (সংখ্যাগুরু শ্রেণির নিম্ন সীমানা)
$f_1 = 20$ (সংখ্যাগুরু শ্রেণির পরিসংখ্যা)
$f_0 = 12$ (পূর্ববর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা)
$f_2 = 16$ (পরবর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা)
$h = 10$ (শ্রেণি দৈর্ঘ্য)
মান বসিয়ে পাই:
$\text{Mode} = 30 + \left(\frac{20 - 12}{2(20) - 12 - 16}\right) \times 10$
$= 30 + \left(\frac{8}{40 - 28}\right) \times 10$
$= 30 + \left(\frac{8}{12}\right) \times 10 = 30 + \frac{80}{12} = 30 + 6.67 = 36.67$
উত্তর: প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান হলো প্রায় $36.67$।
5. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন (VSA) ও গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম
(i) কেন্দ্রীয় প্রবণতার কোন পরিমাপটি প্রান্তীয় মান (Extreme Values) দ্বারা সবচেয়ে বেশি প্রভাবিত হয়?
উত্তর: যৌগিক গড় (Arithmetic Mean) প্রান্তীয় মান দ্বারা সর্বাধিক প্রভাবিত হয়।
(ii) কেন্দ্রীয় প্রবণতার কোন পরিমাপটি লেখচিত্রের সাহায্যে সরাসরি নির্ণয় করা যায়?
উত্তর: ওজাইভের সাহায্যে মধ্যমা (Median) এবং আয়তলেখের সাহায্যে সংখ্যাগুরুমান (Mode) লেখচিত্রের মাধ্যমে নির্ণয় করা যায়।
(iii) কোনো তথ্যের মধ্যমা $20$ এবং গড় $22$ হলে সংখ্যাগুরুমান কত?
উত্তর:
আমরা জানি, $\text{Mode} = 3\text{ Median} - 2\text{ Mean}$
$= 3(20) - 2(22) = 60 - 44 = 16$
সংখ্যাগুরুমান হলো $16$।
