Subject Study Guides
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-23-trigonometric-ratios-and-identities-nije-kori-and-proyog-solutions
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও অভেদাবলী — নিজে করি ও প্রয়োগ সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Trigonometric Identities Nije Kori & Proyog)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 23: ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও অভেদাবলী (Trigonometric Ratios & Identities)-এর সমস্ত "নিজে করি" এবং মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ "প্রয়োগ" (Starred Proyog)-এর প্রতিটি গাণিতিক প্রমাণ ও সমস্যার চিত্রসহ সম্পূর্ণ সমাধান নিচে সহজ ভাষায় প্রদান করা হলো।
চিত্র 1: পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে ত্রিকোণমিতিক মৌলিক অভেদাবলীর জ্যামিতিক প্রমাণ
নিজে করি 23 — সম্পূর্ণ সমাধান
1. যদি $\tan\theta = \frac{4}{3}$ হয়, তবে $\sqrt{\frac{1 + \sin\theta}{1 - \sin\theta}}$-এর মান কত?
সমাধান:
প্রদত্ত $\tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{4}{3}$।
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $= \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$।
অতএব $\sin\theta = \frac{4}{5}$।
রাশিটিতে মান বসিয়ে পাই:
$\sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{5}}} = \sqrt{\frac{9}{1}} = 3$
উত্তর: নির্ণেয় মান $3$।
2. যদি $\tan\theta + \cot\theta = 2$ হয়, তবে $\tan^7\theta + \cot^7\theta$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত:
$\tan\theta + \cot\theta = 2$
$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = 2$
$\frac{\tan^2\theta + 1}{\tan\theta} = 2$
$\tan^2\theta + 1 = 2\tan\theta$
$\tan^2\theta - 2\tan\theta + 1 = 0$
$(\tan\theta - 1)^2 = 0$
$\tan\theta - 1 = 0 \implies \tan\theta = 1$
অতএব $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{1} = 1$।
এখন:
$\tan^7\theta + \cot^7\theta = (1)^7 + (1)^7 = 1 + 1 = 2$
উত্তর: $\tan^7\theta + \cot^7\theta = 2$।
পাঠ্যবইয়ের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ (Starred Applications)
প্রয়োগ 8: জ্যামিতিক পদ্ধতিতে প্রমাণ করি যে $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$।
প্রদত্ত:
ধরি একটি সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর $\angle B = 90^\circ$ এবং সূক্ষ্মকোণ $\angle ACB = \theta$।
কোণ $\theta$-এর সাপেক্ষে লম্ব $= AB$, ভূমি $= BC$ এবং অতিভুজ $= AC$।
প্রামাণ্য:
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
প্রমাণ:
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
উভয়পক্ষকে $AC^2$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{AB^2}{AC^2} + \frac{BC^2}{AC^2} = \frac{AC^2}{AC^2}$
$\left(\frac{AB}{AC}\right)^2 + \left(\frac{BC}{AC}\right)^2 = 1$
আমরা জানি ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সংজ্ঞানুসারে:
$\sin\theta = \frac{AB}{AC}$ এবং $\cos\theta = \frac{BC}{AC}$।
মান বসিয়ে পাই:
$(\sin\theta)^2 + (\cos\theta)^2 = 1$
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
প্রমাণিত।
প্রয়োগ 27: যদি $\sin\theta + \sin^2\theta = 1$ হয়, তবে প্রমাণ করি যে $\cos^2\theta + \cos^4\theta = 1$।
সমাধান:
প্রদত্ত:
$\sin\theta + \sin^2\theta = 1$
বা, $\sin\theta = 1 - \sin^2\theta$
যেহেতু $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$, তাই:
$\sin\theta = \cos^2\theta$ ...(1)
উভয়পক্ষের বর্গ করে পাই:
$\sin^2\theta = (\cos^2\theta)^2$
$\sin^2\theta = \cos^4\theta$ ...(2)
এখন বামপক্ষ:
$\cos^2\theta + \cos^4\theta$
সমীকরণ $(1)$ ও $(2)$ থেকে মান বসিয়ে পাই:
$= \sin\theta + \sin^2\theta$
প্রদত্ত তথ্য অনুসারে $\sin\theta + \sin^2\theta = 1$।
অতএব $\cos^2\theta + \cos^4\theta = 1$।
প্রমাণিত।
প্রয়োগ 35: $\theta$ অপনয়ন করি: $x = a\sec\theta$ এবং $y = b\tan\theta$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় থেকে পাই:
$\sec\theta = \frac{x}{a}$
$\tan\theta = \frac{y}{b}$
আমরা জানি মৌলিক অভেদ:
$\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$
মান বসিয়ে পাই:
$\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
উত্তর: $\theta$ অপনীত নির্ণেয় সম্পর্কটি হলো $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$।
