Subject Study Guides
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-24-complementary-angles-nije-kori-and-proyog-solutions
পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত — নিজে করি ও প্রয়োগ সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Complementary Angles Nije Kori & Proyog)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 24: পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementary Angles)-এর সমস্ত "নিজে করি" এবং মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ "প্রয়োগ" (Starred Proyog)-এর প্রতিটি গাণিতিক সমস্যার চিত্রসহ সম্পূর্ণ সমাধান নিচে সহজ ভাষায় প্রদান করা হলো।
চিত্র 1: পূরক কোণদ্বয়ের প্রতিসাম্য ও গুণফলীয় সম্পর্ক (tan θ · cot θ = 1)
নিজে করি 24 — সম্পূর্ণ সমাধান
1. মান নির্ণয় করি: $\frac{\sin 43^\circ}{\cos 47^\circ} + \frac{\cos 19^\circ}{\sin 71^\circ} - 8\cos^2 60^\circ$
সমাধান:
পূরক কোণের সূত্র প্রয়োগ করে:
$\sin 43^\circ = \sin(90^\circ - 47^\circ) = \cos 47^\circ$
$\cos 19^\circ = \cos(90^\circ - 71^\circ) = \sin 71^\circ$
এছাড়া আমরা জানি $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$।
রাশিটিতে মান বসিয়ে পাই:
$= \frac{\cos 47^\circ}{\cos 47^\circ} + \frac{\sin 71^\circ}{\sin 71^\circ} - 8\left(\frac{1}{2}\right)^2$
$= 1 + 1 - 8 \times \frac{1}{4}$
$= 2 - 2 = 0$
উত্তর: নির্ণেয় মান $0$।
পাঠ্যবইয়ের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ (Starred Applications)
প্রয়োগ 8: প্রমাণ করি যে, $\tan 1^\circ \tan 2^\circ \tan 3^\circ \cdots \tan 88^\circ \tan 89^\circ = 1$।
সমাধান:
বামপক্ষ:
$= \tan 1^\circ \tan 2^\circ \tan 3^\circ \cdots \tan 44^\circ \tan 45^\circ \tan 46^\circ \cdots \tan 87^\circ \tan 88^\circ \tan 89^\circ$
পূরক কোণের নিয়ম অনুসারে:
$\tan 89^\circ = \tan(90^\circ - 1^\circ) = \cot 1^\circ$
$\tan 88^\circ = \tan(90^\circ - 2^\circ) = \cot 2^\circ$
$\tan 87^\circ = \tan(90^\circ - 3^\circ) = \cot 3^\circ$
$\dots$
$\tan 46^\circ = \tan(90^\circ - 44^\circ) = \cot 44^\circ$
এবং মধ্যবর্তী কোণ $\tan 45^\circ = 1$।
পদগুলিকে জোড়ায় সাজিয়ে পাই:
$= (\tan 1^\circ \cot 1^\circ)(\tan 2^\circ \cot 2^\circ)(\tan 3^\circ \cot 3^\circ) \cdots (\tan 44^\circ \cot 44^\circ) \times \tan 45^\circ$
যেহেতু $\tan\theta \cot\theta = 1$ এবং $\tan 45^\circ = 1$:
$= (1) \times (1) \times (1) \times \cdots \times (1) \times 1 = 1$ = ডানপক্ষ।
প্রমাণিত।
প্রয়োগ 11: দেখাই যে, $\cos(40^\circ + \theta) - \sin(50^\circ - \theta) = 0$।
সমাধান:
বামপক্ষ:
$= \cos(40^\circ + \theta) - \sin(50^\circ - \theta)$
আমরা জানি $\cos A = \sin(90^\circ - A)$।
এখানে $A = 40^\circ + \theta$ ধরলে:
$\cos(40^\circ + \theta) = \sin[90^\circ - (40^\circ + \theta)] = \sin(90^\circ - 40^\circ - \theta) = \sin(50^\circ - \theta)$
মান বসিয়ে পাই:
$= \sin(50^\circ - \theta) - \sin(50^\circ - \theta) = 0$ = ডানপক্ষ।
প্রমাণিত।
প্রয়োগ 13: যদি $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয়, তবে প্রমাণ করি যে $\tan\left(\frac{A + C}{2}\right) = 0$ নয়, $\tan\left(\frac{A + B}{2}\right) = \cot\left(\frac{C + D}{2}\right)$।
সমাধান:
যেকোনো চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি $360^\circ$:
$A + B + C + D = 360^\circ$
$(A + B) = 360^\circ - (C + D)$
উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{A + B}{2} = 180^\circ - \frac{C + D}{2}$
যদি পূরক কোণ বা চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে সম্পর্ক নির্ণয় করি:
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক: $A + C = 180^\circ$ এবং $B + D = 180^\circ$।
অতএব $\frac{A + C}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$।
সুতরাং $\sin\left(\frac{A + C}{2}\right) = \sin 90^\circ = 1$ এবং $\cos\left(\frac{A + C}{2}\right) = \cos 90^\circ = 0$।
সিদ্ধান্ত প্রমাণিত।
