examuttoron.com | EXAM UTTORON

Link: https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-25-heights-and-distances-nije-kori-and-proyog-solutions

দশম শ্রেণি গণিত অধ্যায় 25: ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব নিজে করি ও প্রয়োগ সমাধান | WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Nije Kori and Proyog Solutions

EXAM UTTORON examuttoron.com

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 25: ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব (Trigonometric Heights and Distances)-এর প্রতিটি গুরুত্বপূর্ণ নিজে করি অনুশীলনী এবং মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ (Worked-out Applications)-এর নিখুঁত জ্যামিতিক চিত্র, সূত্র প্রতিপাদন ও ধাপে ধাপে সমাধান নিচে প্রস্তুত করা হলো।

উচ্চতা ও দূরত্বের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ (Proyog Solutions)

প্রয়োগ 1 (মেঘ ও হ্রদের প্রতিবিম্ব সমস্যা): একটি হ্রদের জলতল থেকে $h$ মিটার উঁচুতে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে একটি মেঘের উন্নতি কোণ $\alpha$ এবং হ্রদের জলে তার প্রতিবিম্বের অবনতি কোণ $\beta$ হলে প্রমাণ করো যে, হ্রদের জলতল থেকে মেঘটির উচ্চতা $\frac{h(\tan\beta + \tan\alpha)}{\tan\beta - \tan\alpha}$ মিটার।

প্রমাণ / সমাধান:

ধরি হ্রদের জলতল হলো $QM$ রেখা।
হ্রদের জলতল থেকে $h$ মিটার উঁচুতে পর্যবেক্ষকের চোখ অবস্থিত $P$ বিন্দুতে, অর্থাৎ $PQ = h\text{ মিটার}$।
ধরি হ্রদের জলতল থেকে মেঘটির উলম্ব উচ্চতা $CM = H\text{ মিটার}$।
পদার্থবিজ্ঞানের আলোর প্রতিফলন সূত্রানুযায়ী, সমতল দর্পণে (বা স্থির জলে) বস্তুর দূরত্ব = প্রতিবিম্বের দূরত্ব। অতএব জলতল থেকে মেঘের প্রতিবিম্ব $C'$-এর গভীরতা $C'M = CM = H\text{ মিটার}$।

$P$ বিন্দু থেকে $CM$-এর ওপর অনুভূমিক লম্ব $PN$ অঙ্কন করা হলো ($PN \parallel QM$)।
অতএব $NM = PQ = h$।
অতএব $CN = CM - NM = (H - h)\text{ মিটার}$।
এবং $NC' = NM + MC' = (h + H) = (H + h)\text{ মিটার}$।
ধরি অনুভূমিক দূরত্ব $PN = x\text{ মিটার}$।

1. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle PNC$-তে উন্নতি কোণ $\angle CPN = \alpha$:
$\tan\alpha = \frac{CN}{PN} = \frac{H - h}{x}$
$\implies x = \frac{H - h}{\tan\alpha}$   ...(1)

2. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle PNC'$-তে অবনতি কোণ $\angle C'PN = \beta$:
$\tan\beta = \frac{NC'}{PN} = \frac{H + h}{x}$
$\implies x = \frac{H + h}{\tan\beta}$   ...(2)

(1) ও (2) থেকে পাই:
$\frac{H - h}{\tan\alpha} = \frac{H + h}{\tan\beta}$
$\implies (H - h)\tan\beta = (H + h)\tan\alpha$
$\implies H\tan\beta - h\tan\beta = H\tan\alpha + h\tan\alpha$
$\implies H\tan\beta - H\tan\alpha = h\tan\beta + h\tan\alpha$
$\implies H(\tan\beta - \tan\alpha) = h(\tan\beta + \tan\alpha)$
$\implies H = \frac{h(\tan\beta + \tan\alpha)}{\tan\beta - \tan\alpha}$

উত্তর: প্রমাণিত যে হ্রদের জলতল থেকে মেঘটির উচ্চতা $\frac{h(\tan\beta + \tan\alpha)}{\tan\beta - \tan\alpha}\text{ মিটার}$।

প্রয়োগ 2 (বিমান বা পাখির গতিবেগ নির্ণয়): একটি বিমান অনুভূমিকভাবে নির্দিষ্ট উচ্চতায় উড়ে চলেছে। মাটিস্থ কোনো বিন্দু থেকে প্রথমে বিমানটির উন্নতি কোণ দেখা গেল $60^\circ$। $15\text{ সেকেন্ড}$ পর ঐ বিন্দু থেকেই বিমানটির উন্নতি কোণ দেখা গেল $30^\circ$। বিমানটির উচ্চতা $1500\sqrt{3}\text{ মিটার}$ হলে বিমানটির গতিবেগ প্রতি ঘণ্টায় কত কিমি?

সমাধান:

ধরি পর্যবেক্ষক বিন্দু $O$। বিমানটি মাটি থেকে $h = 1500\sqrt{3}\text{ মিটার}$ উচ্চতায় অনুভূমিকভাবে উড়ছে।
প্রথম অবস্থান $A$-তে ভূমির সাথে লম্ব $AC = 1500\sqrt{3}\text{ m}$ এবং উন্নতি কোণ $\angle AOC = 60^\circ$।
$15\text{ সেকেন্ড}$ পর দ্বিতীয় অবস্থান $B$-তে লম্ব $BD = 1500\sqrt{3}\text{ m}$ এবং উন্নতি কোণ $\angle BOD = 30^\circ$।
বিমানটি $15\text{ সেকেন্ডে}$ অতিক্রান্ত দূরত্ব $AB = CD$।

1. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ACO$-তে:
$\tan 60^\circ = \frac{AC}{OC} \implies \sqrt{3} = \frac{1500\sqrt{3}}{OC} \implies OC = 1500\text{ মিটার}$

2. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle BDO$-তে:
$\tan 30^\circ = \frac{BD}{OD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1500\sqrt{3}}{OD} \implies OD = 1500\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 1500 \times 3 = 4500\text{ মিটার}$

অতএব বিমানটির অতিক্রান্ত দূরত্ব:
$CD = OD - OC = 4500 - 1500 = 3000\text{ মিটার}$

বিমানটি $15\text{ সেকেন্ডে}$ যায় $3000\text{ মিটার}$।
অতএব বেগ $v = \frac{3000\text{ m}}{15\text{ s}} = 200\text{ m/s}$।
কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টায় রূপান্তর:
$v = 200 \times \frac{18}{5}\text{ km/h} = 40 \times 18 = 720\text{ km/h}$

উত্তর: বিমানটির গতিবেগ $720\text{ কিমি/ঘণ্টা}$।

প্রয়োগ 3 (রাস্তার দুই পাশের স্তম্ভ): $120\text{ মিটার}$ চওড়া একটি রাস্তার দুই পাশে মুখোমুখি সমান উচ্চতার দুটি স্তম্ভ দাঁড়িয়ে আছে। স্তম্ভ দুটির মধ্যবর্তী রাস্তার উপর একটি বিন্দু থেকে তাদের চূড়ার উন্নতি কোণ যথাক্রমে $60^\circ$ ও $30^\circ$। স্তম্ভ দুটির উচ্চতা এবং রাস্তাটির ওপর বিন্দুটির অবস্থান নির্ণয় করি।

সমাধান:

ধরি সমান উচ্চতার স্তম্ভ দুটি হলো $AB = CD = h\text{ মিটার}$।
রাস্তার বিস্তার $BD = 120\text{ মিটার}$।
রাস্তার ওপর একটি বিন্দু $P$। ধরি $BP = x\text{ মিটার}$, অতএব $PD = (120 - x)\text{ মিটার}$।
$P$ থেকে $AB$ স্তম্ভের চূড়ার উন্নতি কোণ $\angle APB = 60^\circ$ এবং $CD$ স্তম্ভের চূড়ার উন্নতি কোণ $\angle CPD = 30^\circ$।

1. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABP$-তে:
$\tan 60^\circ = \frac{AB}{BP} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = \sqrt{3}x$   ...(1)

2. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle CDP$-তে:
$\tan 30^\circ = \frac{CD}{PD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{120 - x} \implies h = \frac{120 - x}{\sqrt{3}}$   ...(2)

(1) ও (2) তুলনা করে পাই:
$\sqrt{3}x = \frac{120 - x}{\sqrt{3}}$
$3x = 120 - x$
$4x = 120 \implies x = 30\text{ মিটার}$

অতএব স্তম্ভটির উচ্চতা:
$h = \sqrt{3} \times 30 = 30\sqrt{3}\text{ মিটার} = 30 \times 1.732 = 51.96\text{ মিটার}$
এবং দ্বিতীয় স্তম্ভটি থেকে বিন্দুটির দূরত্ব $120 - 30 = 90\text{ মিটার}$।

উত্তর: প্রতিটি স্তম্ভের উচ্চতা $30\sqrt{3}\text{ মিটার}$ (বা $51.96\text{ মিটার}$) এবং বিন্দুটি প্রথম স্তম্ভ থেকে $30\text{ মিটার}$ এবং দ্বিতীয় স্তম্ভ থেকে $90\text{ মিটার}$ দূরে অবস্থিত।

নিজে করি অনুশীলনী সমাধান

নিজে করি 1: একটি উলম্ব লাঠির দৈর্ঘ্য $3\text{ মিটার}$ এবং তার ছায়ার দৈর্ঘ্য $\sqrt{3}\text{ মিটার}$ হলে সূর্যের উন্নতি কোণ কত হিসাব করি।

সমাধান:

ধরি লাঠির উচ্চতা $AB = 3\text{ মিটার}$ এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য $BC = \sqrt{3}\text{ মিটার}$।
সূর্যের উন্নতি কোণ $\angle ACB = \theta$।

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-তে:
$\tan\theta = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
আমরা জানি $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$।
অতএব $\theta = 60^\circ$।

উত্তর: সূর্যের উন্নতি কোণ $60^\circ$।

নিজে করি 2: $9\sqrt{3}\text{ মিটার}$ উঁচু একটি দালানের ছাদ থেকে দেখলে ভূমিতে অবস্থিত একটি গাড়ির অবনতি কোণ $30^\circ$। দালানটির পাদদেশ থেকে গাড়িটির দূরত্ব কত?

সমাধান:

ধরি দালানটির উচ্চতা $AB = 9\sqrt{3}\text{ মিটার}$ ($A$ হলো ছাদ, $B$ হলো পাদদেশ)।
ভূমিতে গাড়ির অবস্থান $C$। পাদদেশ থেকে গাড়ির দূরত্ব $BC = x\text{ মিটার}$।
ছাদ $A$ থেকে গাড়ির অবনতি কোণ $30^\circ$ হওয়ায় একান্তর কোণ $\angle ACB = 30^\circ$।

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-তে:
$\tan 30^\circ = \frac{AB}{BC}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{x}$
$x = 9\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 9 \times 3 = 27\text{ মিটার}$

উত্তর: দালানের পাদদেশ থেকে গাড়িটির দূরত্ব $27\text{ মিটার}$।