examuttoron.com | EXAM UTTORON

Link: https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-22-pythagoras-theorem-nije-kori-and-proyog-solutions

পিথাগোরাসের উপপাদ্য — নিজে করি ও প্রয়োগ সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Pythagoras Theorem Nije Kori & Proyog)

EXAM UTTORON examuttoron.com

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 22: পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)-এর সমস্ত "নিজে করি" এবং মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ "প্রয়োগ" (Starred Proyog)-এর প্রতিটি জ্যামিতিক প্রমাণ ও গাণিতিক সমস্যার চিত্রসহ সম্পূর্ণ সমাধান নিচে সহজ ভাষায় প্রদান করা হলো।

নিজে করি 22 — সম্পূর্ণ সমাধান

1. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য $12\sqrt{2}\text{ cm}$ হলে সমান বাহু দুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি সমান বাহু দুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য $a\text{ cm}$।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
$a^2 + a^2 = (\text{অতিভুজ})^2$
$2a^2 = (12\sqrt{2})^2$
$2a^2 = 144 \times 2 = 288$
$a^2 = 144$
$a = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$

উত্তর: সমান বাহু দুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য $12\text{ cm}$।

2. একটি রম্বসের কর্ণ দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $16\text{ cm}$ এবং $12\text{ cm}$ হলে তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

আমরা জানি রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্ধেক কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে:
$OA = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}$
$OB = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}$

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle AOB$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে বাহু $AB$ হলো অতিভুজ:
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$

উত্তর: রম্বসটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $10\text{ cm}$।

পাঠ্যবইয়ের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ (Starred Applications)

প্রয়োগ 3: প্রমাণ করি যে, রম্বসের বাহুগুলির বর্গের সমষ্টি তার কর্ণদ্বয়ের বর্গের সমষ্টির সমান (বা $4a^2 = AC^2 + BD^2$)।

প্রদত্ত:

$ABCD$ রম্বসের কর্ণদ্বয় $AC$ এবং $BD$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রামাণ্য:

$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$

প্রমাণ:

রম্বসের জ্যামিতিক ধর্ম অনুসারে:
1. চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান: $AB = BC = CD = DA$
2. কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে, অর্থাৎ $\angle AOB = 90^\circ$ এবং $OA = \frac{AC}{2}, \quad OB = \frac{BD}{2}$।

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle AOB$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
$AB^2 = OA^2 + OB^2$
$AB^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 + \left(\frac{BD}{2}\right)^2$
$AB^2 = \frac{AC^2}{4} + \frac{BD^2}{4}$
$AB^2 = \frac{AC^2 + BD^2}{4}$
বজ্রগুণন করে পাই:
$4AB^2 = AC^2 + BD^2$

যেহেতু রম্বসের চারটি বাহুই সমান ($AB = BC = CD = DA$):
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$

প্রমাণিত।

প্রয়োগ 6: আয়তক্ষেত্র $ABCD$-এর অভ্যন্তরে $O$ যেকোনো একটি বিন্দু। প্রমাণ করি যে $OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2$ (ব্রিটিশ ফ্ল্যাগ উপপাদ্য)।

প্রদত্ত:

$ABCD$ একটি আয়তক্ষেত্র। এর অভ্যন্তরে $O$ যেকোনো একটি বিন্দু। $O, A$; $O, B$; $O, C$ এবং $O, D$ যুক্ত করা হলো।

প্রামাণ্য:

$OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2$

অঙ্কন:

$O$ বিন্দু দিয়ে $AB$ ও $DC$-এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা $POQ$ অঙ্কন করা হলো, যা $AD$-কে $P$ এবং $BC$-কে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করেছে ($POQ \parallel AB \parallel DC$)।

প্রমাণ:

যেহেতু $ABCD$ একটি আয়তক্ষেত্র, তাই $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$।
$POQ \parallel AB$ হওয়ায় $PQ \perp AD$ এবং $PQ \perp BC$।
অতএব $\angle OPA = \angle OPD = \angle OQB = \angle OQC = 90^\circ$।
এছাড়াও $AP = BQ$ এবং $PD = QC$।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে সমকোণী ত্রিভুজগুলি থেকে পাই:
1. সমকোণী $\triangle OPA$-তে: $OA^2 = OP^2 + AP^2$   ...(1)
2. সমকোণী $\triangle OQC$-তে: $OC^2 = OQ^2 + QC^2$   ...(2)
3. সমকোণী $\triangle OQB$-তে: $OB^2 = OQ^2 + BQ^2$   ...(3)
4. সমকোণী $\triangle OPD$-তে: $OD^2 = OP^2 + PD^2$   ...(4)

এখন বামপক্ষ:
$OA^2 + OC^2 = (OP^2 + AP^2) + (OQ^2 + QC^2)$
যেহেতু $AP = BQ$ এবং $QC = PD$, মান বসিয়ে সাজিয়ে পাই:
$OA^2 + OC^2 = (OQ^2 + BQ^2) + (OP^2 + PD^2)$
$(3)$ ও $(4)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:
$OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2$

প্রমাণিত।

প্রয়োগ 11: $\triangle ABC$-এর $\angle C = 90^\circ$ এবং $D, E$ যথাক্রমে $AC$ ও $BC$-এর মধ্যবিন্দু হলে প্রমাণ করি যে $4(AE^2 + BD^2) = 5AB^2$।

প্রদত্ত:

$\triangle ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle C = 90^\circ$। $AC$-এর মধ্যবিন্দু $D$ এবং $BC$-এর মধ্যবিন্দু $E$। $A, E$ এবং $B, D$ যুক্ত করা হলো।

প্রামাণ্য:

$4(AE^2 + BD^2) = 5AB^2$

প্রমাণ:

যেহেতু $D$ হলো $AC$-এর মধ্যবিন্দু, তাই $CD = \frac{AC}{2}$।
যেহেতু $E$ হলো $BC$-এর মধ্যবিন্দু, তাই $CE = \frac{BC}{2}$।

1. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ACE$-তে:
$AE^2 = AC^2 + CE^2 = AC^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AC^2 + \frac{BC^2}{4}$   ...(1)

2. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle BCD$-তে:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = BC^2 + \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = BC^2 + \frac{AC^2}{4}$   ...(2)

$(1)$ ও $(2)$ যোগ করে পাই:
$AE^2 + BD^2 = \left(AC^2 + \frac{BC^2}{4}\right) + \left(BC^2 + \frac{AC^2}{4}\right)$
$AE^2 + BD^2 = \frac{5}{4}AC^2 + \frac{5}{4}BC^2 = \frac{5}{4}(AC^2 + BC^2)$

যেহেতু মূল সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-তে $AC^2 + BC^2 = AB^2$ (পিথাগোরাসের উপপাদ্য):
$AE^2 + BD^2 = \frac{5}{4}AB^2$
উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে পাই:
$4(AE^2 + BD^2) = 5AB^2$

প্রমাণিত।