Subject Study Guides
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-13-variation-nije-kori-and-proyog-solutions
ভেদ — নিজে করি ও প্রয়োগ সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Chapter 13 Nije Kori & Proyog)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের ত্রয়োদশ অধ্যায় ভেদ (Variation) মাধ্যমিক গণিত পরীক্ষার বীজগণিত বিভাগের এক অবিচ্ছেদ্য স্তম্ভ। মাধ্যমিকে 3 নম্বরের প্রশ্ন এবং 2 নম্বরের সংক্ষিপ্ত প্রশ্নে ভেদের উপপাদ্য ভিত্তিক সমস্যা বা প্রয়োগমূলক বাস্তব সমস্যা প্রায় প্রতি বছরই এসে থাকে। এই আর্টিকেলে যৌগিক ভেদের উপপাদ্যের প্রমাণ, পাঠ্যবইয়ের সমস্ত নিজে করি (13.1 ও 13.2) এবং মাধ্যমিকের সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগসমূহ (Starred Applications) নিখুঁত ধাপে ধাপে উপস্থাপন করা হলো।
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য (Theorem on Joint Variation — পৃষ্ঠা 192)
উপপাদ্য: তিনটি চল $x, y, z$ এমন যে $x \propto y$ (যখন $z$ ধ্রুবক) এবং $x \propto z$ (যখন $y$ ধ্রুবক)। তবে প্রমাণ করি যে, $x \propto yz$ হবে যখন $y$ এবং $z$ উভয়ই পরিবর্তনশীল।
প্রমাণ (Proof):
যেহেতু $x$ এর পরিবর্তন $y$ ও $z$ উভয়ের পরিবর্তনের ওপর নির্ভরশীল, তাই ধরি $y$ এবং $z$ পরিবর্তিত হয়ে যথাক্রমে $y_1$ ও $z_1$ হলো এবং এর ফলে $x$ পরিবর্তিত হয়ে $x_1$ হলো।
আমরা এই পরিবর্তনটিকে দুটি ধাপে বিবেচনা করি:
ধাপ 1: $z$ অপরিবর্তিত বা ধ্রুবক রেখে $y$ পরিবর্তিত হয়ে $y_1$ হলো এবং এর ফলে $x$ পরিবর্তিত হয়ে $x'$ হলো।
যেহেতু $x \propto y$ (যখন $z$ ধ্রুবক), সুতরাং:
$$\frac{x}{x'} = \frac{y}{y_1} \quad \text{............... (1)}$$
ধাপ 2: এখন $y_1$ স্থির রেখে $z$ পরিবর্তিত হয়ে $z_1$ হলো এবং এর ফলে $x'$ পরিবর্তিত হয়ে $x_1$ হলো।
যেহেতু $x \propto z$ (যখন $y$ ধ্রুবক), সুতরাং:
$$\frac{x'}{x_1} = \frac{z}{z_1} \quad \text{............... (2)}$$
(1) ও (2) নং সমীকরণ গুণ করে পাই:
$$\frac{x}{x'} \times \frac{x'}{x_1} = \frac{y}{y_1} \times \frac{z}{z_1}$$
$$\implies \frac{x}{x_1} = \frac{yz}{y_1z_1} \implies \frac{x}{yz} = \frac{x_1}{y_1z_1} = k \quad (\text{অশূন্য ধ্রুবক})$$
$$\therefore x = k \cdot yz \implies x \propto yz$$
$\therefore$ প্রমাণিত হলো যে $x \propto yz$ (যখন $y$ ও $z$ উভয়ই পরিবর্তনশীল)।
নিজে করি 13.1 (Nije Kori 13.1) — পৃষ্ঠা 189
প্রশ্ন 1: দুটি চল $A$ ও $B$-এর মান দেওয়া আছে: $A = 24, B = 8$ এবং $A = 36, B = 12$। চল দুটির মধ্যে কোন প্রকার ভেদ সম্পর্ক আছে নির্ণয় করি এবং ভেদধ্রুবকের মান লিখি।
সমাধান:
প্রথম ক্ষেত্রে: $\frac{A}{B} = \frac{24}{8} = 3$
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: $\frac{A}{B} = \frac{36}{12} = 3$
যেহেতু চল দুটির অনুপাত $\frac{A}{B}$ সর্বদা ধ্রুবক ($= 3$), তাই $A$ ও $B$ সরলভেদে রয়েছে।
$$\therefore A \propto B \implies A = kB$$
এখানে অশূন্য ভেদধ্রুবক $k = 3$।
উত্তর:
চল দুটির মধ্যে সরল ভেদ সম্পর্ক রয়েছে এবং ভেদধ্রুবকের মান 3।
নিজে করি 13.2 (Nije Kori 13.2) — পৃষ্ঠা 192
প্রশ্ন 1: যদি $x \propto \frac{y}{z}$ এবং $y \propto \frac{z}{x}$ হয়, তবে $z$-এর সাথে $x$ ও $y$-এর ভেদ সম্পর্ক কী হবে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত $x \propto \frac{y}{z} \implies x = k_1 \cdot \frac{y}{z} \implies xz = k_1 y \quad \text{............... (1)}$
এবং $y \propto \frac{z}{x} \implies y = k_2 \cdot \frac{z}{x} \implies xy = k_2 z \quad \text{............... (2)}$
(1) নং থেকে $y$-এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$$xy = k_2 z \implies x \left(\frac{xz}{k_1}\right) = k_2 z$$
উভয়পক্ষকে $z$ ($z \neq 0$) দ্বারা ভাগ করে পাই:
$$\frac{x^2}{k_1} = k_2 \implies x^2 = k_1 k_2 \implies x = \sqrt{k_1 k_2} = \text{ধ্রুবক}$$
সুতরাং $x$ একটি ধ্রুবক। (1) হতে: $z \propto y$ (যেহেতু $x$ ধ্রুবক)।
উত্তর:
$x$ একটি অশূন্য ধ্রুবক এবং $z \propto y$ (সরল ভেদ)।
মাধ্যমিকের অতি-গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগসমূহ (Starred Board Exam Applications)
প্রয়োগ 12 (পৃষ্ঠা 191): যদি $x \propto y$ হয়, তবে প্রমাণ করি যে $x^2 + y^2 \propto x^2 - y^2$।
প্রমাণ:
প্রদত্ত $x \propto y \implies x = ky$ ($k$ একটি অশূন্য ভেদধ্রুবক, $k \neq \pm 1$)।
এখন:
$$\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \frac{(ky)^2 + y^2}{(ky)^2 - y^2} = \frac{k^2y^2 + y^2}{k^2y^2 - y^2} = \frac{y^2(k^2 + 1)}{y^2(k^2 - 1)} = \frac{k^2 + 1}{k^2 - 1} = m \quad (\text{ধ্রুবক})$$
$$\implies x^2 + y^2 = m(x^2 - y^2)$$
$\therefore x^2 + y^2 \propto x^2 - y^2$ (প্রমাণিত)।
উত্তর:
প্রমাণিত হলো যে $x^2 + y^2 \propto x^2 - y^2$।
প্রয়োগ 19 (পৃষ্ঠা 193 - মাধ্যমিকে বারবার আসা 3 নম্বরের প্রশ্ন): গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি বড় নিরেট গোলক তৈরি করা হলো। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নতুন গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, গোলকের আয়তন = $V$ এবং ব্যাসার্ধ = $r$।
শর্তানুসারে: $V \propto r^3 \implies V = k \cdot r^3$ ($k$ একটি অশূন্য ভেদধ্রুবক)।
তিনটি ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_1 = 3\text{ cm}$, $r_2 = 4\text{ cm}$, $r_3 = 5\text{ cm}$।
$\therefore$ ছোট গোলক তিনটির আয়তন:
$$V_1 = k(3^3) = 27k, \quad V_2 = k(4^3) = 64k, \quad V_3 = k(5^3) = 125k$$
$\therefore$ তিনটি গোলকের মোট আয়তন = $V_1 + V_2 + V_3 = 27k + 64k + 125k = 216k$।
ধরি, নতুন বড় গোলকটির ব্যাসার্ধ = $R$ সেমি।
$\therefore$ নতুন গোলকের আয়তন = $k \cdot R^3$।
শর্তানুসারে:
$$k \cdot R^3 = 216k$$
উভয়পক্ষ থেকে $k$ ($k \neq 0$) বর্জন করে পাই:
$$R^3 = 216 \implies R = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ সেমি}$$
উত্তর:
নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
প্রয়োগ 22 (পৃষ্ঠা 194 - মাধ্যমিকে প্রায়শই আসা 3 নম্বরের প্রশ্ন): একটি চলরাশি $y$ দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি $x$-এর সাথে সরলভেদে এবং অপরটি $x$-এর সাথে ব্যস্তভেদে পরিবর্তিত হয়। $x = 1$ হলে $y = 1$ এবং $x = 2$ হলে $y = 5$ হয়। $x$ ও $y$-এর মধ্যকার সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি $y = u + v$, যেখানে $u \propto x$ এবং $v \propto \frac{1}{x}$।
$\therefore u = k_1 x$ এবং $v = \frac{k_2}{x}$ (যেখানে $k_1, k_2$ অশূন্য ভেদধ্রুবক)।
$$\therefore y = k_1 x + \frac{k_2}{x} \quad \text{............... (1)}$$
শর্ত 1: $x = 1$ হলে $y = 1$:
$$1 = k_1(1) + \frac{k_2}{1} \implies k_1 + k_2 = 1 \quad \text{............... (2)}$$
শর্ত 2: $x = 2$ হলে $y = 5$:
$$5 = k_1(2) + \frac{k_2}{2} \implies 2k_1 + \frac{k_2}{2} = 5 \implies 4k_1 + k_2 = 10 \quad \text{............... (3)}$$
(3) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই:
$$(4k_1 + k_2) - (k_1 + k_2) = 10 - 1$$
$$3k_1 = 9 \implies k_1 = 3$$
(2) নং সমীকরণে $k_1 = 3$ বসালে পাই:
$$3 + k_2 = 1 \implies k_2 = 1 - 3 = -2$$
$\therefore$ সমীকরণ (1)-এ $k_1 = 3$ এবং $k_2 = -2$ বসিয়ে পাই:
$$y = 3x - \frac{2}{x}$$
উত্তর:
$x$ ও $y$-এর মধ্যকার নির্ণেয় সম্পর্ক $y = 3x - \frac{2}{x}$।
ভেদের অঙ্কে সতর্কবার্তা: ভেদ চিহ্ন ($\propto$) তুলে সমান চিহ্ন ($=$) আনার সময় সর্বদা ডানপাশে "যেখানে $k$ একটি অশূন্য ভেদধ্রুবক" বাক্যটি স্পষ্টভাবে লিখতে হবে। এটি না লিখলে মাধ্যমিকে 1 নম্বর কেটে নেওয়া হয়।
