Subject Study Guides
examuttoron.com
|
EXAM UTTORON
Link:
https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-15-tangent-to-circle-nije-kori-and-proyog-solutions
বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য — নিজে করি ও প্রয়োগ সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Tangent to Circle Nije Kori & Proyog)
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 15: বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on Tangent to a Circle)-এর সমস্ত "নিজে করি" (15.1 ও 15.2) এবং মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ "প্রয়োগ" (Starred Proyog)-এর প্রতিটি জ্যামিতিক প্রমাণ ও গাণিতিক হিসাবের চিত্রসহ সম্পূর্ণ সমাধান নিচে উপস্থাপন করা হলো।
চিত্র 1: বৃত্তে পরিলিখিত সামান্তরিকের বিপরীত বাহুর সম্পর্ক ও রম্বস প্রমাণ
নিজে করি 15.1 — সম্পূর্ণ সমাধান
1. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $6\text{ cm}$। কেন্দ্র থেকে $10\text{ cm}$ দূরবর্তী একটি বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
ধরি বৃত্তের কেন্দ্র $O$ এবং বহিঃস্থ বিন্দুটি $P$।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OT = 6\text{ cm}$
কেন্দ্র থেকে বিন্দুর দূরত্ব $OP = 10\text{ cm}$
যেহেতু স্পর্শক $PT$ ও স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ $OT$ পরস্পর লম্ব, তাই $\angle OTP = 90^\circ$।
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OTP$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
$PT = \sqrt{OP^2 - OT^2}$
$PT = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$
উত্তর: স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $8\text{ cm}$।
2. $10\text{ cm}$ ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $12\text{ cm}$ হলে বহিঃস্থ বিন্দুটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস $= 10\text{ cm}$
অতএব ব্যাসার্ধ $r = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $t = 12\text{ cm}$
ধরি কেন্দ্র থেকে বহিঃস্থ বিন্দুর দূরত্ব হলো $d$।
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $d$ হলে:
$d = \sqrt{r^2 + t^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$
উত্তর: বহিঃস্থ বিন্দুটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব $13\text{ cm}$।
3. বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে বৃত্তটির কয়টি স্পর্শক টানা সম্ভব?
উত্তর ও ব্যাখ্যা:
বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেবলমাত্র 1টি স্পর্শক অঙ্কন করা সম্ভব। কারণ ওই বিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখাংশের ওপর কেবল একটিই অভিলম্ব রেখা টানা যায়।
নিজে করি 15.2 — সম্পূর্ণ সমাধান
1. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিস্পর্শ করেছে। একটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $5\text{ cm}$ এবং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $9\text{ cm}$ হলে অন্য বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_1 = 5\text{ cm}$ এবং দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_2$।
যেহেতু বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিস্পর্শ করেছে, তাই তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব:
$d = r_1 + r_2$
বা, $9 = 5 + r_2$
বা, $r_2 = 9 - 5 = 4\text{ cm}$
উত্তর: অন্য বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $4\text{ cm}$।
2. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $3.6\text{ cm}$ এবং একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $7.2\text{ cm}$ হলে অপর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত হতে পারে?
সমাধান:
দুটি বৃত্ত অন্তঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের পরম বিয়োগফলের সমান হয়, অর্থাৎ $d = |r_1 - r_2|$।
এখানে $d = 3.6\text{ cm}$ এবং একটির ব্যাসার্ধ $7.2\text{ cm}$।
কেস 1: যদি প্রদত্ত বৃত্তটি বৃহত্তর হয় ($r_1 = 7.2\text{ cm}$):
$r_1 - r_2 = 3.6$
$7.2 - r_2 = 3.6$
$r_2 = 7.2 - 3.6 = 3.6\text{ cm}$
কেস 2: যদি প্রদত্ত বৃত্তটি ক্ষুদ্রতর হয় ($r_2 = 7.2\text{ cm}$):
$r_1 - 7.2 = 3.6$
$r_1 = 7.2 + 3.6 = 10.8\text{ cm}$
উত্তর: অপর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $3.6\text{ cm}$ অথবা $10.8\text{ cm}$ হতে পারে।
পাঠ্যবইয়ের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ (Starred Applications)
প্রয়োগ 4: প্রমাণ করি যে, বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান এবং তারা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে। (উপপাদ্য 41)
প্রদত্ত:
$O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক বৃত্তকে যথাক্রমে $A$ ও $B$ বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। $P, A$; $P, B$; $O, A$; $O, B$ এবং $O, P$ যুক্ত করা হলো।
প্রামাণ্য:
(i) $PA = PB$ (স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য সমান)
(ii) $\angle POA = \angle POB$ (তারা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে)
প্রমাণ:
$PA$ স্পর্শক এবং $OA$ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। অতএব $OA \perp PA$, অর্থাৎ $\angle OAP = 90^\circ$।
অনুরূপভাবে, $PB$ স্পর্শক এবং $OB$ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। অতএব $OB \perp PB$, অর্থাৎ $\angle OBP = 90^\circ$।
এখন সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OAP$ এবং $\triangle OBP$-এর মধ্যে:
1. $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$ (সমকোণ)
2. অতিভুজ $OP$ সাধারণ বাহু
3. $OA = OB$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
অতএব সমকোণ-অতিভুজ-বাহু (RHS) সর্বসমতার শর্তানুসারে:
$\triangle OAP \cong \triangle OBP$ (সর্বসম)
যেহেতু ত্রিভুজ দুটি সর্বসম, তাদের অনুরূপ অংশগুলি সমান হবে:
(i) $PA = PB$ (অনুরূপ বাহু) [প্রমাণিত]
(ii) $\angle POA = \angle POB$ (অনুরূপ কোণ) [প্রমাণিত] এবং $\angle APO = \angle BPO$।
প্রয়োগ 8: প্রমাণ করি যে, কোনো বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক একটি রম্বস।
প্রদত্ত:
$ABCD$ সামান্তরিকটি একটি বৃত্তের চারিদিকে পরিলিখিত হয়েছে। সামান্তরিকের বাহুগুলি $AB, BC, CD$ ও $DA$ বৃত্তটিকে যথাক্রমে $P, Q, R$ ও $S$ বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামাণ্য:
$ABCD$ একটি রম্বস।
প্রমাণ:
যেহেতু $ABCD$ একটি সামান্তরিক, এর বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান:
$AB = CD$ ...(1)
$BC = DA$ ...(2)
আবার, বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে আমরা জানি (প্রয়োগ 6 বা উপপাদ্য 41-এর ফলাফল):
বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকগুলি সমান:
$AP = AS, \quad BP = BQ, \quad CR = CQ, \quad DR = DS$
অতএব:
$AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD)$
$AB + CD = (AS + BQ) + (CQ + DS)$
$AB + CD = (AS + DS) + (BQ + CQ)$
$AB + CD = DA + BC$ ...(3)
এখন $(1)$ ও $(2)$ নং সমীকরণ থেকে মান $(3)$ নং-এ বসিয়ে পাই:
$AB + AB = BC + BC$
বা, $2AB = 2BC$
বা, $AB = BC$
যে সামান্তরিকের একজোড়া সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান, তার চারটি বাহুই সমান হয় ($AB = BC = CD = DA$)।
সুতরাং $ABCD$ সামান্তরিকটি একটি রম্বস।
প্রমাণিত।
প্রয়োগ 10: দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তর বৃত্তটির একটি জ্যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তটির স্পর্শক হলে প্রমাণ করি যে স্পর্শবিন্দুতে জ্যাটি সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
প্রদত্ত:
দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের সাধারণ কেন্দ্র $O$। বৃহত্তর বৃত্তটির একটি জ্যা $AB$ ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে $P$ বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামাণ্য:
$P$ বিন্দু $AB$-এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ $AP = PB$।
অঙ্কন:
$O, P$; $O, A$ এবং $O, B$ যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
যেহেতু $AB$ ক্ষুদ্রতর বৃত্তের একটি স্পর্শক এবং $OP$ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ, তাই উপপাদ্য 40 অনুযায়ী:
$OP \perp AB$
অর্থাৎ $\angle OPA = \angle OPB = 90^\circ$।
এখন বৃহত্তর বৃত্তের ক্ষেত্রে $AB$ একটি জ্যা এবং $OP$ কেন্দ্র $O$ থেকে জ্যা $AB$-এর উপর অঙ্কিত লম্ব।
বৃত্তের জ্যা সংক্রান্ত উপপাদ্য থেকে আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অতএব $AP = PB$।
প্রমাণিত।
প্রয়োগ 14: সরল ও তির্যক সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের সূত্র ও প্রয়োগ
তত্ত্ব ও সূত্রাবলী:
দুটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $d$ এবং তাদের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_1$ ও $r_2$ হলে:
- সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য (Direct Common Tangent):
$$L_d = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}$$ - তির্যক সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য (Transverse Common Tangent):
$$L_t = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$$
গাণিতিক প্রয়োগ:
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $6\text{ cm}$ ও $2\text{ cm}$ এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $10\text{ cm}$ হলে তাদের তির্যক সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
$L_t = \sqrt{10^2 - (6 + 2)^2} = \sqrt{100 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$।
উত্তর: তির্যক সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $6\text{ cm}$।
