examuttoron.com | EXAM UTTORON

Link: https://examuttoron.com/madhyamik-class-10-math-chapter-19-solid-objects-nije-kori-and-proyog-solutions

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা — নিজে করি ও প্রয়োগ সম্পূর্ণ সমাধান (Class 10 Solid Objects Nije Kori & Proyog)

EXAM UTTORON examuttoron.com

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) অনুমোদিত দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশ পাঠ্যবইয়ের অধ্যায় 19: বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real Life Problems on Solid Objects)-এর সমস্ত "নিজে করি" এবং মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ "প্রয়োগ" (Starred Proyog)-এর প্রতিটি গাণিতিক সমস্যার চিত্রসহ পুঙ্খানুপুঙ্খ সমাধান নিচে প্রদান করা হলো।

নিজে করি 19 — সম্পূর্ণ সমাধান

1. $4.2\text{ cm}$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট ধাতব গোলক গলিয়ে $6\text{ cm}$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। চোঙটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

গোলকের ব্যাসার্ধ $R = 4.2\text{ cm}$
চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ $r = 6\text{ cm}$, ধরি চোঙের উচ্চতা $h\text{ cm}$।

যেহেতু গোলক গলিয়ে চোঙ তৈরি করা হয়েছে, তাই উভয়ের আয়তন সমান হবে:
$\text{চোঙের আয়তন} = \text{গোলকের আয়তন}$
$\pi r^2 h = \frac{4}{3}\pi R^3$

উভয়পক্ষ থেকে $\pi$ বর্জন করে পাই:
$6^2 \times h = \frac{4}{3} \times (4.2)^3$
$36 \times h = \frac{4}{3} \times 74.088$
$36 \times h = 4 \times 24.696 = 98.784$
$h = \frac{98.784}{36} = 2.744\text{ cm}$

উত্তর: চোঙটির উচ্চতা $2.744\text{ cm}$।

2. একটি ফাঁপা ধাতব গোলকের অভ্যন্তরীণ ও বহিঃস্থ ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $3\text{ cm}$ ও $5\text{ cm}$। গোলকটি গলিয়ে $4\text{ cm}$ ভূমির ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা হলো। শঙ্কুটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ফাঁপা গোলকের বহিঃব্যাসার্ধ $R_2 = 5\text{ cm}$, অন্তঃব্যাসার্ধ $R_1 = 3\text{ cm}$
ফাঁপা গোলকের ধাতুর আয়তন:
$= \frac{4}{3}\pi (R_2^3 - R_1^3) = \frac{4}{3}\pi (5^3 - 3^3) = \frac{4}{3}\pi (125 - 27) = \frac{4}{3}\pi \times 98 = \frac{392\pi}{3}\text{ ঘনসেমি}$

শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ $r = 4\text{ cm}$, ধরি উচ্চতা $h\text{ cm}$।
শঙ্কুর আয়তন $= \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 4^2 \times h = \frac{16\pi h}{3}$

প্রশ্নানুসারে:
$\frac{16\pi h}{3} = \frac{392\pi}{3}$
$16h = 392$
$h = \frac{392}{16} = 24.5\text{ cm}$

উত্তর: শঙ্কুটির উচ্চতা $24.5\text{ cm}$।

পাঠ্যবইয়ের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ (Starred Applications)

প্রয়োগ 7: $a$ বাহুবিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে বড় মাপের নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলো। অবশিষ্ট কাঠের আয়তন ও মূল ঘনকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান:

$a$ বাহুবিশিষ্ট ঘনকের আয়তন:
$V_{\text{cube}} = a^3\text{ ঘন একক}$

এই ঘনক থেকে কেটে নেওয়া বৃহত্তম গোলকের ব্যাস হবে ঘনকের একটি বাহুর সমান, অর্থাৎ ব্যাস $= a$।
অতএব গোলকের ব্যাসার্ধ $r = \frac{a}{2}$।

বৃহত্তম গোলকটির আয়তন:
$V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8} = \frac{\pi}{6}a^3$
$= \frac{22}{7 \times 6}a^3 = \frac{11}{21}a^3$

অবশিষ্ট বা অপচয়কৃত কাঠের আয়তন:
$= V_{\text{cube}} - V_{\text{sphere}} = a^3 - \frac{11}{21}a^3 = \frac{10}{21}a^3$

অতএব অপচয়কৃত কাঠের আয়তন ও ঘনকের আয়তনের অনুপাত:
$= \frac{10}{21}a^3 : a^3 = 10 : 21$

উত্তর: অনুপাত $10 : 21$ (অথবা অপচয় $\frac{10}{21}$ অংশ)।

প্রয়োগ 11: $a$ দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সর্বাপেক্ষা কম কাঠ নষ্ট করে একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হলো। নষ্ট হওয়া কাঠের পরিমাণ কত?

সমাধান:

ঘনকের আয়তন $= a^3$ ঘন একক।
সর্বাপেক্ষা কম কাঠ নষ্ট করে নির্মিত শঙ্কুর ভূমির ব্যাস হবে ঘনকের বাহুর সমান ($2r = a \implies r = \frac{a}{2}$) এবং উচ্চতা হবে ঘনকের উচ্চতার সমান ($h = a$)।

শঙ্কুর আয়তন:
$V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 a = \frac{1}{3}\pi \frac{a^2}{4} a = \frac{\pi}{12}a^3$
$= \frac{22}{7 \times 12}a^3 = \frac{11}{42}a^3$

নষ্ট হওয়া কাঠের পরিমাণ:
$= a^3 - \frac{11}{42}a^3 = \frac{31}{42}a^3\text{ ঘন একক}$

উত্তর: নষ্ট হওয়া কাঠের পরিমাণ $\frac{31}{42}a^3$ ঘন একক (বা প্রায় $73.8\%$ কাঠ নষ্ট হবে)।

প্রয়োগ 14: একটি চোঙাকার ড্রামের ব্যাসার্ধ $28\text{ cm}$ এবং উচ্চতা $1\text{ মিটার}$ ($100\text{ cm}$)। ড্রামটি জলে পূর্ণ। $7\text{ cm}$ ব্যাসার্ধের একটি অর্ধগোলাকার বাটি দিয়ে জল তুলে খালি করতে কতবার জল তুলতে হবে?

সমাধান:

চোঙাকার ড্রামের ব্যাসার্ধ $R = 28\text{ cm}$, উচ্চতা $H = 100\text{ cm}$
ড্রামের মোট জলের আয়তন $= \pi R^2 H = \pi \times 28^2 \times 100 = \pi \times 784 \times 100 = 78,400\pi\text{ ঘনসেমি}$

অর্ধগোলাকার বাটির ব্যাসার্ধ $r = 7\text{ cm}$
প্রতিবারে অপসারিত জলের আয়তন $= \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi \times 7^3 = \frac{2}{3}\pi \times 343 = \frac{686\pi}{3}\text{ ঘনসেমি}$

জল তোলার মোট সংখ্যা:
$= \frac{78,400\pi}{\frac{686\pi}{3}} = \frac{78,400 \times 3}{686} = \frac{235,200}{686} \approx 342.86 \approx 343$ বার

উত্তর: সম্পূর্ণ খালি করতে 343 বার জল তুলতে হবে।